क्रॉस सहसंबंध कार्य। सहसंबंध और क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन सहसंबंध कार्यों की वर्णक्रमीय घनत्व

सिग्नल और रेखीय प्रणाली

सिग्नल और रैखिक प्रणाली. संकेतों का सहसंबंध

विषय 6. संकेत सहसंबंध

अत्यधिक भय और अत्यधिक साहस का उत्साह समान रूप से पेट को ख़राब कर देता है और दस्त का कारण बनता है।

मिशेल मोंटेने. फ्रांसीसी वकील-विचारक, 16वीं सदी।

यह संख्या है! दोनों कार्यों का तीसरे के साथ 100% सहसंबंध है और एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं। ख़ैर, दुनिया के निर्माण के दौरान सर्वशक्तिमान के पास चुटकुले थे।

अनातोली पिशमिंटसेव। यूराल स्कूल के नोवोसिबिर्स्क भूभौतिकीविद्, 20वीं सदी।

1. संकेतों के स्वत:सहसंबंध कार्य। ऑटोसहसंबंध कार्यों (एसीएफ) की अवधारणा। समय-सीमित संकेतों का ACF। आवधिक संकेतों का ACF. ऑटोकॉवेरिएंस फ़ंक्शंस (एसीएफ)। असतत संकेतों का ACF. शोर संकेतों का ACF. कोड सिग्नल का ACF.

2. संकेतों के क्रॉस-सहसंबंध कार्य (सीसीएफ)। क्रॉस सहसंबंध फ़ंक्शन (सीसीएफ)। शोर संकेतों का क्रॉस-सहसंबंध। असतत संकेतों का वीसीएफ। शोर में आवधिक संकेतों का अनुमान. पारस्परिक सहसंबंध गुणांक का कार्य।

3. सहसंबंध कार्यों की वर्णक्रमीय घनत्व। ACF का वर्णक्रमीय घनत्व। संकेत सहसंबंध अंतराल. वीकेएफ का वर्णक्रमीय घनत्व। एफएफटी का उपयोग करके सहसंबंध कार्यों की गणना।

परिचय

सहसंबंध, और केंद्रित संकेतों के लिए इसका विशेष मामला - सहप्रसरण, संकेत विश्लेषण की एक विधि है। हम विधि का उपयोग करने के लिए विकल्पों में से एक प्रस्तुत करते हैं। आइए मान लें कि एक सिग्नल s(t) है, जिसमें परिमित लंबाई T का कुछ अनुक्रम x(t) हो सकता है (या नहीं भी), जिसकी अस्थायी स्थिति हमें रुचिकर लगती है। सिग्नल एस(टी) के साथ स्लाइडिंग टी लंबाई की समय विंडो में इस अनुक्रम की खोज करने के लिए, सिग्नल एस(टी) और एक्स(टी) के स्केलर उत्पादों की गणना की जाती है। इस प्रकार, हम वांछित सिग्नल x(t) को सिग्नल s(t) पर "लागू" करते हैं, इसके तर्क के साथ फिसलते हैं, और स्केलर उत्पाद के मूल्य से हम तुलना के बिंदुओं पर संकेतों की समानता की डिग्री का अनुमान लगाते हैं।

सहसंबंध विश्लेषण सिग्नलों में (या सिग्नलों के डिजिटल डेटा की श्रृंखला में) एक स्वतंत्र चर पर सिग्नल मूल्यों में परिवर्तन के बीच एक निश्चित कनेक्शन की उपस्थिति को स्थापित करना संभव बनाता है, यानी, जब एक सिग्नल के बड़े मूल्य (सापेक्ष) औसत सिग्नल मानों के लिए) दूसरे सिग्नल के बड़े मूल्यों (सकारात्मक सहसंबंध) से जुड़े होते हैं, या, इसके विपरीत, एक सिग्नल के छोटे मान दूसरे के बड़े मूल्यों (नकारात्मक सहसंबंध), या डेटा से जुड़े होते हैं दो सिग्नल किसी भी तरह से संबंधित नहीं हैं (शून्य सहसंबंध)।

संकेतों के कार्यात्मक स्थान में, कनेक्शन की इस डिग्री को सहसंबंध गुणांक की सामान्यीकृत इकाइयों में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात, सिग्नल वैक्टर के बीच के कोण के कोसाइन में, और, तदनुसार, 1 से मान लेगा (पूर्ण संयोग) सिग्नल) से -1 (पूर्ण विपरीत) और माप की इकाइयों के मूल्य (पैमाने) पर निर्भर नहीं करता है।

ऑटोसहसंबंध संस्करण में, सिग्नल एस (टी) के स्केलर उत्पाद को तर्क के साथ स्लाइड करने वाली अपनी प्रतिलिपि के साथ निर्धारित करने के लिए एक समान तकनीक का उपयोग किया जाता है। ऑटोसहसंबंध आपको उनके पिछले और बाद के मूल्यों (सिग्नल मूल्यों के तथाकथित सहसंबंध त्रिज्या) पर वर्तमान सिग्नल नमूनों की औसत सांख्यिकीय निर्भरता का अनुमान लगाने की अनुमति देता है, साथ ही सिग्नल में समय-समय पर दोहराए जाने वाले तत्वों की उपस्थिति की पहचान करने की भी अनुमति देता है।

गैर-यादृच्छिक घटकों की पहचान करने और इन प्रक्रियाओं के गैर-यादृच्छिक मापदंडों का मूल्यांकन करने के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं के विश्लेषण में सहसंबंध विधियों का विशेष महत्व है।

ध्यान दें कि "सहसंबंध" और "सहप्रसरण" शब्दों के संबंध में कुछ भ्रम है। गणितीय साहित्य में, "सहप्रसरण" शब्द का प्रयोग केन्द्रित कार्यों के लिए किया जाता है, और "सहसंबंध" का प्रयोग मनमाने कार्यों के लिए किया जाता है। तकनीकी साहित्य में, और विशेष रूप से संकेतों और उनके प्रसंस्करण के तरीकों पर साहित्य में, अक्सर सटीक विपरीत शब्दावली का उपयोग किया जाता है। यह मौलिक महत्व का नहीं है, लेकिन साहित्यिक स्रोतों से परिचित होने पर, इन शब्दों के स्वीकृत उद्देश्य पर ध्यान देना उचित है।

6.1. संकेतों के स्वत:सहसंबंध कार्य।

संकेतों के स्वत:सहसंबंध कार्यों की अवधारणा . सिग्नल एस (टी) का ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन (सीएफ - सहसंबंध फ़ंक्शन), ऊर्जा में परिमित, सिग्नल आकार की एक मात्रात्मक अभिन्न विशेषता है, जो सिग्नल में नमूनों के पारस्परिक अस्थायी संबंध की प्रकृति और मापदंडों की पहचान करता है, जो हमेशा होता है आवधिक संकेतों के लिए, साथ ही अंतराल और वर्तमान क्षण के पिछले इतिहास पर वर्तमान समय में पढ़ने के मूल्यों की निर्भरता की डिग्री। ACF सिग्नल s(t) की दो प्रतियों के उत्पाद के अभिन्न अंग द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो समय t द्वारा एक दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित होते हैं:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| क्योंकि j(t). (6.1.1)

इस अभिव्यक्ति से निम्नानुसार, एसीएफ सिग्नल का स्केलर उत्पाद है और शिफ्ट टी के परिवर्तनीय मूल्य पर कार्यात्मक निर्भरता में इसकी प्रतिलिपि है। तदनुसार, ACF में ऊर्जा का भौतिक आयाम होता है, और t = 0 पर ACF का मान सीधे सिग्नल ऊर्जा के बराबर होता है और अधिकतम संभव होता है (सिग्नल के स्वयं के संपर्क के कोण का कोसाइन 1 के बराबर होता है) ):

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

एसीएफ सम कार्यों को संदर्भित करता है, जिसे अभिव्यक्ति (6.1.1) में वेरिएबल टी = टी-टी को प्रतिस्थापित करके सत्यापित करना आसान है:

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

अधिकतम ACF, t=0 पर सिग्नल ऊर्जा के बराबर, हमेशा सकारात्मक होता है, और समय बदलाव के किसी भी मूल्य पर ACF मॉड्यूल सिग्नल ऊर्जा से अधिक नहीं होता है। उत्तरार्द्ध सीधे अदिश उत्पाद के गुणों से अनुसरण करता है (जैसा कि कॉची-बुन्याकोवस्की असमानता करता है):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

क्योंकि j(t) = 1 at t = 0, as(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = ईएस,

क्योंकि j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

एक उदाहरण के रूप में, चित्र में। 6.1.1 दो सिग्नल दिखाता है - एक आयताकार पल्स और समान अवधि टी का एक रेडियो पल्स, और इन सिग्नलों के अनुरूप उनके एसीएफ के आकार। रेडियो पल्स दोलनों का आयाम आयताकार पल्स के आयाम के बराबर सेट किया गया है, जबकि सिग्नल ऊर्जा भी समान होगी, जिसकी पुष्टि एसीएफ के केंद्रीय मैक्सिमा के समान मूल्यों से होती है। परिमित पल्स अवधि के लिए, एसीएफ अवधि भी सीमित होती है, और पल्स अवधि के दोगुने के बराबर होती है (जब एक परिमित पल्स की एक प्रति को उसकी अवधि के अंतराल से बाईं और दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, तो का उत्पाद इसकी प्रतिलिपि के साथ नाड़ी शून्य के बराबर हो जाती है)। एक रेडियो पल्स के एसीएफ के दोलनों की आवृत्ति रेडियो पल्स के भरने के दोलनों की आवृत्ति के बराबर होती है (एसीएफ की पार्श्व न्यूनतम और अधिकतम सीमा हर बार रेडियो पल्स की एक प्रति की आधी अवधि के क्रमिक बदलाव के साथ होती है) इसके भरने के दोलनों का)।

समानता को देखते हुए, एसीएफ का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व आमतौर पर केवल टी के सकारात्मक मूल्यों के लिए किया जाता है। व्यवहार में, संकेत आमतौर पर 0-टी से सकारात्मक तर्क मानों के अंतराल में निर्दिष्ट होते हैं। अभिव्यक्ति में +t चिह्न (6.1.1) का अर्थ है कि जैसे-जैसे t का मान बढ़ता है, सिग्नल s(t+t) की एक प्रति t अक्ष के साथ बाईं ओर स्थानांतरित हो जाती है और 0 से आगे चली जाती है। डिजिटल सिग्नल के लिए, इसके लिए नकारात्मक तर्क मानों के क्षेत्र में डेटा के संगत विस्तार की आवश्यकता होती है। और चूंकि गणना में टी को निर्दिष्ट करने के लिए अंतराल आमतौर पर सिग्नल को निर्दिष्ट करने के लिए अंतराल से बहुत कम होता है, सिग्नल की प्रतिलिपि को तर्क अक्ष के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करना अधिक व्यावहारिक है, यानी, इसके बजाय फ़ंक्शन एस (टी-टी) का उपयोग करें अभिव्यक्ति में s(t+t) का (6.1.1) ).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

परिमित संकेतों के लिए, जैसे-जैसे शिफ्ट टी का मान बढ़ता है, इसकी प्रतिलिपि के साथ सिग्नल का अस्थायी ओवरलैप कम हो जाता है, और, तदनुसार, इंटरेक्शन कोण की कोसाइन और समग्र रूप से स्केलर उत्पाद शून्य हो जाता है:

केन्द्रित सिग्नल मान s(t) से गणना की गई ACF है स्वत: सहप्रसरणसिग्नल फ़ंक्शन:

सीएस(टी) = डीटी, (6.1.2)

जहां एमएस औसत सिग्नल मान है। सहप्रसरण फलन काफी सरल संबंध द्वारा सहसंबंध फलन से संबंधित हैं:

सीएस(टी) = बीएस(टी) - एमएस2।

समय-सीमित संकेतों का ACF। व्यवहार में, एक निश्चित अंतराल पर दिए गए संकेतों का आमतौर पर अध्ययन और विश्लेषण किया जाता है। विभिन्न समय अंतरालों पर निर्दिष्ट संकेतों के एसीएफ की तुलना करने के लिए, अंतराल की लंबाई के सामान्यीकरण के साथ एसीएफ का एक संशोधन व्यावहारिक अनुप्रयोग पाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अंतराल पर सिग्नल निर्दिष्ट करते समय:

बीएस(टी) =एस(टी) एस(टी+टी) डीटी। (6.1.3)

एसीएफ की गणना अनंत ऊर्जा वाले कमजोर रूप से नम संकेतों के लिए भी की जा सकती है, क्योंकि सिग्नल सेटिंग अंतराल अनंत होने पर सिग्नल और उसकी प्रतिलिपि के स्केलर उत्पाद का औसत मूल्य होता है:

बीएस(टी) = . (6.1.4)

इन अभिव्यक्तियों के अनुसार ACF में शक्ति का एक भौतिक आयाम होता है, और यह सिग्नल और उसकी प्रतिलिपि की औसत पारस्परिक शक्ति के बराबर होता है, जो प्रतिलिपि की शिफ्ट पर कार्यात्मक रूप से निर्भर करता है।

आवधिक संकेतों का ACF. आवधिक संकेतों की ऊर्जा अनंत है, इसलिए आवधिक संकेतों के एसीएफ की गणना एक अवधि टी पर की जाती है, जो सिग्नल के स्केलर उत्पाद और अवधि के भीतर इसकी स्थानांतरित प्रतिलिपि का औसत है:

बीएस(टी) = (1/टी)एस(टी) एस(टी-टी) डीटी। (6.1.5)

गणितीय रूप से अधिक कठोर अभिव्यक्ति:

बीएस(टी) = .

टी=0 पर, अवधि के लिए सामान्यीकृत एसीएफ का मूल्य अवधि के भीतर संकेतों की औसत शक्ति के बराबर है। इस मामले में, आवधिक संकेतों का ACF समान अवधि T के साथ एक आवधिक कार्य है। इस प्रकार, सिग्नल s(t) = A cos(w0t+j0) के लिए T=2p/w0 पर हमारे पास है:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

प्राप्त परिणाम हार्मोनिक सिग्नल के प्रारंभिक चरण पर निर्भर नहीं करता है, जो किसी भी आवधिक सिग्नल के लिए विशिष्ट है और एसीएफ के गुणों में से एक है। ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप किसी भी मनमाने सिग्नल में आवधिक गुणों की जांच कर सकते हैं। आवधिक सिग्नल के ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। 6.1.2.

ऑटोकॉवेरिएंस फ़ंक्शंस (एसीएफ) केंद्रित सिग्नल मानों का उपयोग करके समान रूप से गणना की जाती है। इन कार्यों की एक उल्लेखनीय विशेषता संकेतों के फैलाव एसएस 2 (मानक का वर्ग - औसत मूल्य से सिग्नल मूल्यों का मानक विचलन) के साथ उनका सरल संबंध है। जैसा कि ज्ञात है, फैलाव मान औसत सिग्नल शक्ति के बराबर है, जो इस प्रकार है:

|सीएस(टी)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

विचरण मान के लिए सामान्यीकृत FAC मान स्वतःसहसंबंध गुणांक का एक कार्य हैं:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t)। (6.1.8)

इस फ़ंक्शन को कभी-कभी "सच्चा" ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन कहा जाता है। सामान्यीकरण के कारण, इसके मान सिग्नल मूल्यों एस (टी) के प्रतिनिधित्व की इकाइयों (पैमाने) पर निर्भर नहीं होते हैं और सिग्नल के बीच शिफ्ट टी की परिमाण के आधार पर सिग्नल मूल्यों के बीच रैखिक संबंध की डिग्री को चिह्नित करते हैं। नमूने. rs(t) º cos j(t) का मान 1 (रीडिंग का पूर्ण सीधा सहसंबंध) से -1 (व्युत्क्रम सहसंबंध) तक भिन्न हो सकता है।

चित्र में. 6.1.3 इन संकेतों के अनुरूप FAK गुणांक के साथ सिग्नल s(k) और s1(k) = s(k)+शोर का एक उदाहरण दिखाता है - rs और rs1। जैसा कि ग्राफ़ में देखा जा सकता है, FAK ने आत्मविश्वास से संकेतों में आवधिक दोलनों की उपस्थिति का खुलासा किया। सिग्नल s1(k) में शोर ने अवधि को बदले बिना आवधिक दोलनों के आयाम को कम कर दिया। इसकी पुष्टि Cs/ss1 वक्र के ग्राफ़ से होती है, यानी, सिग्नल फैलाव s1(k) के मान के सामान्यीकरण (तुलना के लिए) के साथ सिग्नल s(k) का FAC, जहां कोई स्पष्ट रूप से शोर दालों को देख सकता है , उनके रीडिंग की पूर्ण सांख्यिकीय स्वतंत्रता के साथ, Cs(0) के मूल्य के संबंध में मूल्य Сs1(0) में वृद्धि हुई और ऑटोकोवरियन गुणांक के कार्य को कुछ हद तक "धुंधला" किया गया। यह इस तथ्य के कारण है कि शोर संकेतों के आरएस (टी) का मान टी® 0 पर 1 हो जाता है और टी ≠ 0 पर शून्य के आसपास उतार-चढ़ाव होता है, जबकि उतार-चढ़ाव का आयाम सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होता है और सिग्नल नमूनों की संख्या पर निर्भर करता है (वे जैसे-जैसे नमूनों की संख्या बढ़ती है, शून्य हो जाती है)।

असतत संकेतों का ACF. जब डेटा सैंपलिंग अंतराल Dt = const होता है, तो ACF गणना अंतराल Dt = Dt पर की जाती है और इसे आमतौर पर सैंपल शिफ्ट nDt की संख्या n के एक अलग फ़ंक्शन के रूप में लिखा जाता है:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

असतत सिग्नल आमतौर पर नमूना क्रमांकन k = 0.1,...K के साथ एक निश्चित लंबाई के संख्यात्मक सरणियों के रूप में Dt = 1 पर निर्दिष्ट किए जाते हैं, और ऊर्जा इकाइयों में असतत ACF की गणना एक-तरफ़ा संस्करण में की जाती है, सरणियों की लंबाई को ध्यान में रखते हुए. यदि संपूर्ण सिग्नल सरणी का उपयोग किया जाता है और ACF नमूनों की संख्या सरणी नमूनों की संख्या के बराबर है, तो गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

बीएस(एन) = एसके×एसके-एन। (6.1.10)

इस फ़ंक्शन में गुणक K/(K-n) शिफ्ट n बढ़ने पर गुणा और योग मानों की संख्या में क्रमिक कमी के लिए एक सुधार कारक है। असंकेंद्रित संकेतों के लिए इस सुधार के बिना, एसीएफ मूल्यों में औसत मूल्यों के योग की प्रवृत्ति दिखाई देती है। सिग्नल शक्ति की इकाइयों में मापते समय, गुणक K/(K-n) को गुणक 1/(K-n) से बदल दिया जाता है।

फॉर्मूला (6.1.10) का उपयोग बहुत ही कम किया जाता है, मुख्य रूप से कम संख्या में नमूनों के साथ नियतात्मक संकेतों के लिए। यादृच्छिक और शोर संकेतों के लिए, शिफ्ट बढ़ने पर हर (के-एन) और गुणा किए गए नमूनों की संख्या में कमी से एसीएफ गणना में सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव में वृद्धि होती है। इन शर्तों के तहत अधिक विश्वसनीयता सूत्र का उपयोग करके सिग्नल पावर की इकाइयों में एसीएफ की गणना करके प्रदान की जाती है:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 k-n पर< 0, (6.1.11)

यानी एक स्थिर कारक 1/K द्वारा सामान्यीकरण के साथ और शून्य मानों द्वारा सिग्नल के विस्तार के साथ (k-n शिफ्ट का उपयोग करते समय बाईं ओर या k+n शिफ्ट का उपयोग करते समय दाईं ओर)। यह अनुमान पक्षपातपूर्ण है और इसमें सूत्र (6.1.10) के अनुसार थोड़ा कम फैलाव है। सूत्र (6.1.10) और (6.1.11) के अनुसार सामान्यीकरण के बीच का अंतर चित्र में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। 6.1.4.

फॉर्मूला (6.1.11) को उत्पादों के योग के औसत के रूप में माना जा सकता है, यानी गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में:

बीएस(एन) = एम(एसके एसके-एन) @। (6.1.12)

व्यवहार में, असतत ACF में सतत ACF के समान गुण होते हैं। यह सम भी है, और n = 0 पर इसका मान सामान्यीकरण के आधार पर, असतत सिग्नल की ऊर्जा या शक्ति के बराबर है।

शोर संकेतों का ACF . शोर संकेत को योग v(k) = s(k)+q(k) के रूप में लिखा जाता है। सामान्य तौर पर, शोर का शून्य औसत मान नहीं होता है, और एन नमूनों वाले डिजिटल सिग्नल का पावर-सामान्यीकृत ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है:

Bv(n) = (1/N) as(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/एन) [एएस(के), एस(के-एन)एन + एएस(के), क्यू(के-एन)एन + एक्यू(के), एस(के-एन)एन + एक्यू(के), क्यू(के-एन)एन ] =

बीएस(एन) + एम(एसके क्यूके-एन) + एम(क्यूके एसके-एन) + एम(क्यूके क्यूके-एन)।

बीवी(एन) = बीएस(एन) + + +। (6.1.13)

गणितीय अपेक्षा के विस्तार को ध्यान में रखते हुए उपयोगी सिग्नल s(k) और शोर q(k) की सांख्यिकीय स्वतंत्रता के साथ

एम(एसके क्यूके-एन) = एम(एसके) एम(क्यूके-एन) =

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जा सकता है:

बीवी(एन) = बीएस(एन) + 2 +। (6.1.13")

बिना शोर वाले सिग्नल की तुलना में शोर वाले सिग्नल और उसके एसीएफ का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। 6.1.5.

सूत्रों (6.1.13) से यह पता चलता है कि शोर सिग्नल के एसीएफ में उपयोगी सिग्नल के सिग्नल घटक के एसीएफ में एक सुपरइम्पोज़्ड शोर फ़ंक्शन होता है जो 2+ के मान तक कम हो जाता है। K के बड़े मानों के लिए, जब → 0, Bv(n) » Bs(n). इससे न केवल एसीएफ से आवधिक संकेतों की पहचान करना संभव हो जाता है, जो लगभग पूरी तरह से शोर में छिपे होते हैं (शोर शक्ति सिग्नल शक्ति से बहुत अधिक है), बल्कि अवधि के भीतर उनकी अवधि और आकार को उच्च सटीकता के साथ निर्धारित करना भी संभव बनाता है, और एकल-आवृत्ति हार्मोनिक संकेतों के लिए, अभिव्यक्तियों का उपयोग करके उनका आयाम (6.1.6)।

	बार्कर सिग्नल	सिग्नल का ए.सी.एफ
	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

कोड संकेत एक प्रकार के असतत संकेत हैं। एक निश्चित कोडवर्ड अंतराल M×Dt पर, उनके केवल दो आयाम मान हो सकते हैं: 0 और 1 या 1 और -1। महत्वपूर्ण शोर स्तर पर कोड की पहचान करते समय, कोडवर्ड के ACF के आकार का विशेष महत्व होता है। इस दृष्टिकोण से, सबसे अच्छे कोड वे हैं जिनके एसीएफ साइड लोब मान केंद्रीय शिखर के अधिकतम मूल्य के साथ कोडवर्ड अंतराल की पूरी लंबाई पर न्यूनतम हैं। ऐसे कोड में तालिका 6.1 में दिखाया गया बार्कर कोड शामिल है। जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, कोड के केंद्रीय शिखर का आयाम संख्यात्मक रूप से एम के मान के बराबर है, जबकि एन ¹ 0 पर पार्श्व दोलनों का आयाम 1 से अधिक नहीं है।

6.2. संकेतों के क्रॉस सहसंबंध कार्य।

क्रॉस सहसंबंध फ़ंक्शन विभिन्न संकेतों का (सीसीएफ) (क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन, सीसीएफ) दो संकेतों के आकार में समानता की डिग्री और समन्वय (स्वतंत्र चर) के साथ एक दूसरे के सापेक्ष उनकी सापेक्ष स्थिति दोनों का वर्णन करता है। दो अलग-अलग संकेतों एस (टी) और यू (टी) के लिए ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन के सूत्र (6.1.1) को सामान्यीकृत करते हुए, हम संकेतों के निम्नलिखित स्केलर उत्पाद प्राप्त करते हैं:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

संकेतों का क्रॉस-सहसंबंध इन संकेतों द्वारा प्रतिबिंबित घटनाओं और भौतिक प्रक्रियाओं के एक निश्चित सहसंबंध को दर्शाता है, और जब संकेतों को विभिन्न उपकरणों में अलग-अलग संसाधित किया जाता है, तो इस रिश्ते की "स्थिरता" के माप के रूप में काम कर सकता है। सीमित ऊर्जा वाले संकेतों के लिए, वीसीएफ भी सीमित है, और:

|बीएसयू(टी)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

जो कॉची-बुन्याकोवस्की असमानता और समन्वय बदलाव से सिग्नल मानदंडों की स्वतंत्रता का अनुसरण करता है।

सूत्र (6.2.1) में चर t = t-t को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बीएसयू(टी) =एस(टी-टी) यू(टी) डीटी = यू(टी) एस(टी-टी) डीटी = बस(-टी)।

इसका तात्पर्य यह है कि समता स्थिति, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), टीसीएफ के लिए संतुष्ट नहीं है, और टीसीएफ के मूल्यों को t = 0 पर अधिकतम होना आवश्यक नहीं है।

इसे चित्र में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। 6.2.1, जहां बिंदु 0.5 और 1.5 पर केंद्र के साथ दो समान संकेत दिए गए हैं। टी मानों में क्रमिक वृद्धि के साथ सूत्र (6.2.1) का उपयोग करके गणना का अर्थ है समय अक्ष के साथ बाईं ओर सिग्नल एस2(टी) का क्रमिक बदलाव (एस1(टी के प्रत्येक मान के लिए), मान एस2( t+t) को समाकलन गुणन के लिए लिया जाता है)। T=0 पर सिग्नल ऑर्थोगोनल हैं और B12(t)=0 का मान है। अधिकतम B12(t) तब देखा जाएगा जब सिग्नल s2(t) को मान t=1 द्वारा बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, जिस पर सिग्नल s1(t) और s2(t+t) पूरी तरह से संयुक्त होते हैं।

सूत्र (6.2.1) और (6.2.1") के अनुसार सीसीएफ के समान मान सिग्नल की समान सापेक्ष स्थिति में देखे जाते हैं: जब सिग्नल यू(टी) को एस के सापेक्ष अंतराल टी द्वारा स्थानांतरित किया जाता है (टी) कोर्डिनेट अक्ष के साथ दाईं ओर और सिग्नल एस(टी) बाईं ओर सिग्नल यू(टी) के सापेक्ष, यानी बीएसयू(टी) = बस(-टी)।

चित्र में. 6.2.2 एक आयताकार सिग्नल s(t) और दो समान त्रिकोणीय सिग्नल u(t) और v(t) के लिए CCF के उदाहरण दिखाता है। सभी सिग्नलों की अवधि T समान होती है, जबकि सिग्नल v(t) को अंतराल T/2 द्वारा आगे स्थानांतरित किया जाता है।

सिग्नल s(t) और u(t) समय स्थान में समान हैं और सिग्नल के "ओवरलैप" का क्षेत्र t=0 पर अधिकतम है, जो Bsu फ़ंक्शन द्वारा तय किया गया है। साथ ही, बीएसयू फ़ंक्शन तेजी से असममित है, क्योंकि एक सममित आकार एस (टी) (सिग्नलों के केंद्र के सापेक्ष) के लिए एक असममित सिग्नल आकार यू (टी) के साथ, सिग्नल का "ओवरलैप" क्षेत्र बदलाव की दिशा के आधार पर अलग-अलग परिवर्तन होता है (जैसे-जैसे t का मान शून्य से बढ़ता है, t का चिह्न)। जब सिग्नल की प्रारंभिक स्थिति यू(टी) को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है (सिग्नल एस(टी) - सिग्नल वी(टी) से पहले), सीसीएफ का आकार अपरिवर्तित रहता है और दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है समान शिफ्ट मान द्वारा - चित्र में फ़ंक्शन बीएसवी। 6.2.2. यदि हम (6.2.1) में फ़ंक्शन के भावों को स्वैप करते हैं, तो नया फ़ंक्शन Bvs t=0 के संबंध में प्रतिबिंबित एक फ़ंक्शन Bsv होगा।

इन विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए, कुल सीसीएफ की गणना, एक नियम के रूप में, सकारात्मक और नकारात्मक देरी के लिए अलग-अलग की जाती है:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. बस(t) =u(t) s(t+t) dt. (6.2.1")

शोर संकेतों का क्रॉस-सहसंबंध . दो शोर संकेतों के लिए u(t) = s1(t)+q1(t) और v(t) = s2(t)+q2(t), की प्रतिलिपि को प्रतिस्थापित करने के साथ सूत्र (6.1.13) प्राप्त करने की तकनीक का उपयोग करें सिग्नल s(t) से सिग्नल s2(t) तक, निम्नलिखित रूप में क्रॉस-सहसंबंध सूत्र प्राप्त करना आसान है:

बुव(टी) = बीएस1एस2(टी) + बीएस1क्यू2(टी) + बीक्यू1एस2(टी) + बीक्यू1क्यू2(टी)। (6.2.2)

(6.2.2) के दाईं ओर के अंतिम तीन पद t बढ़ने पर शून्य हो जाते हैं। बड़े सिग्नल सेटिंग अंतराल के लिए, अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

बुव(टी) = बीएस1एस2(टी) + + +। (6.2.3)

शून्य औसत शोर मान और संकेतों से सांख्यिकीय स्वतंत्रता के साथ, निम्नलिखित होता है:

बुव(t) → Bs1s2(t)।

असतत संकेतों का वीसीएफ। एनालॉग सिग्नल के वीसीएफ के सभी गुण अलग सिग्नल के वीसीएफ के लिए भी मान्य हैं, जबकि अलग एसीएफ के लिए ऊपर उल्लिखित अलग सिग्नल की विशेषताएं भी उनके लिए मान्य हैं (सूत्र 6.1.9-6.1.12)। विशेष रूप से, सिग्नल x(k) और y(k) के लिए Dt = const =1 के साथ नमूनों की संख्या K:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

बिजली इकाइयों में सामान्य होने पर:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

शोर में आवधिक संकेतों का अनुमान . परीक्षण और त्रुटि का उपयोग करके "संदर्भ" सिग्नल के साथ क्रॉस-सहसंबंध द्वारा एक शोर संकेत का अनुमान लगाया जा सकता है, क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन को उसके अधिकतम मूल्य पर समायोजित किया जा सकता है।

शोर की सांख्यिकीय स्वतंत्रता और → 0 के साथ एक सिग्नल u(k)=s(k)+q(k) के लिए, q2(k)= के साथ सिग्नल पैटर्न p(k) के साथ क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन (6.2.2) 0 रूप लेता है:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) +।

और चूँकि → 0 जैसे-जैसे N बढ़ता है, तो Bup(k) → Bsp(k)। जाहिर है, फ़ंक्शन Bup(k) का अधिकतम मान तब होगा जब p(k) = s(k)। टेम्पलेट p(k) के आकार को बदलकर और फ़ंक्शन Bup(k) को अधिकतम करके, हम इष्टतम आकार p(k) के रूप में s(k) का अनुमान प्राप्त कर सकते हैं।

क्रॉस सहसंबंध गुणांक फ़ंक्शन (वीकेएफ) सिग्नल एस(टी) और यू(टी) की समानता की डिग्री का एक मात्रात्मक संकेतक है। ऑटोसहसंबंध गुणांक के फ़ंक्शन के समान, इसकी गणना फ़ंक्शंस के केंद्रित मानों के माध्यम से की जाती है (क्रॉस-कोवरियनस की गणना करने के लिए केवल एक फ़ंक्शंस को केंद्र में रखना पर्याप्त है), और मानों के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जाता है मानक कार्यों s(t) और v(t):

आरएसयू(टी) = सीएसयू(टी)/एसएसएसवी. (6.2.6)

टी बदलाव के साथ सहसंबंध गुणांक के मूल्यों को बदलने का अंतराल -1 (पूर्ण विपरीत सहसंबंध) से 1 (पूर्ण समानता या एक सौ प्रतिशत सहसंबंध) तक भिन्न हो सकता है। शिफ्ट टी पर जहां आरएसयू (टी) के शून्य मान देखे जाते हैं, सिग्नल एक दूसरे से स्वतंत्र (असंबद्ध) होते हैं। क्रॉस-सहसंबंध गुणांक आपको संकेतों के भौतिक गुणों और उनके परिमाण की परवाह किए बिना, संकेतों के बीच संबंध की उपस्थिति स्थापित करने की अनुमति देता है।

सूत्र (6.2.4) का उपयोग करके सीमित लंबाई के शोर वाले असतत संकेतों के सीसीएफ की गणना करते समय, मूल्यों के घटित होने की संभावना है |rsu(n)| > 1.

आवधिक संकेतों के लिए, सीसीएफ की अवधारणा आमतौर पर लागू नहीं होती है, समान अवधि वाले संकेतों के अपवाद के साथ, उदाहरण के लिए, सिस्टम की विशेषताओं का अध्ययन करते समय इनपुट और आउटपुट सिग्नल।

6.3. सहसंबंध कार्यों की वर्णक्रमीय घनत्व।

एसीएफ वर्णक्रमीय घनत्व निम्नलिखित सरल विचारों से निर्धारित किया जा सकता है।

अभिव्यक्ति (6.1.1) के अनुसार, एसीएफ सिग्नल और उसकी प्रतिलिपि के स्केलर उत्पाद का एक फ़ंक्शन है, जो अंतराल टी द्वारा -¥ पर स्थानांतरित किया जाता है।< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

डॉट उत्पाद को सिग्नल और उसकी प्रतियों के वर्णक्रमीय घनत्व के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका उत्पाद पारस्परिक शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

अंतराल टी द्वारा एब्सिस्सा अक्ष के साथ सिग्नल का विस्थापन वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व में सिग्नल स्पेक्ट्रम को exp (-jwt) से गुणा करके और संयुग्मित स्पेक्ट्रम के लिए कारक exp (jwt) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है:

सेंट*(डब्ल्यू) = एस*(डब्ल्यू) क्स्प(जेडब्ल्यूटी)।

इसे ध्यान में रखते हुए हमें मिलता है:

बीएस(टी) = (1/2पी)एस(डब्ल्यू) एस*(डब्ल्यू) एक्सपी(जेडब्ल्यूटी) डीडब्ल्यू =

= (1/2पी)|एस(डब्ल्यू)|2 एक्सपी(जेडब्ल्यूटी) डीडब्ल्यू। (6.3.1)

लेकिन अंतिम अभिव्यक्ति सिग्नल के ऊर्जा स्पेक्ट्रम (वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण है। नतीजतन, सिग्नल का ऊर्जा स्पेक्ट्रम और इसके ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंधित हैं:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

इस प्रकार, ACF का वर्णक्रमीय घनत्व सिग्नल के वर्णक्रमीय शक्ति घनत्व से अधिक कुछ नहीं है, जो बदले में, ACF के माध्यम से प्रत्यक्ष फूरियर रूपांतरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

बाद की अभिव्यक्ति एसीएफ के रूप और उनकी अवधि को सीमित करने की विधि पर कुछ प्रतिबंध लगाती है।

चावल। 6.3.1. एक गैर-मौजूद एसीएफ का स्पेक्ट्रम

सिग्नल का ऊर्जा स्पेक्ट्रम हमेशा सकारात्मक होता है; सिग्नल की शक्ति नकारात्मक नहीं हो सकती। नतीजतन, एसीएफ में आयताकार पल्स का आकार नहीं हो सकता है, क्योंकि आयताकार पल्स का फूरियर रूपांतरण एक वैकल्पिक अभिन्न साइन है। एसीएफ पर पहली तरह की कोई विसंगति (छलांग) नहीं होनी चाहिए, क्योंकि एसीएफ की समता को ध्यान में रखते हुए, ±t समन्वय के साथ कोई भी सममित छलांग एक निश्चित निरंतर फ़ंक्शन के योग में एसीएफ का "पृथक्करण" उत्पन्न करती है। और ऊर्जा स्पेक्ट्रम में नकारात्मक मूल्यों की संगत उपस्थिति के साथ अवधि 2t की एक आयताकार पल्स उत्तरार्द्ध का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। 6.3.1 (फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाए गए हैं, जैसा कि सम फ़ंक्शंस के लिए प्रथागत है, केवल उनके दाईं ओर)।

पर्याप्त रूप से विस्तारित संकेतों के एसीएफ आमतौर पर आकार में सीमित होते हैं (-टी/2 से टी/2 तक सीमित डेटा सहसंबंध अंतराल का अध्ययन किया जाता है)। हालाँकि, ACF की काट-छांट अवधि T के एक आयताकार चयन पल्स द्वारा ACF का गुणन है, जो आवृत्ति डोमेन में एक वैकल्पिक इंटीग्रल साइन फ़ंक्शन sync(wT/2) के साथ वास्तविक पावर स्पेक्ट्रम के कनवल्शन द्वारा परिलक्षित होता है। एक ओर, यह पावर स्पेक्ट्रम की एक निश्चित चिकनाई का कारण बनता है, जो अक्सर उपयोगी होता है, उदाहरण के लिए, जब महत्वपूर्ण शोर स्तर पर संकेतों का अध्ययन किया जाता है। लेकिन, दूसरी ओर, यदि सिग्नल में कोई हार्मोनिक घटक होता है, साथ ही चोटियों और छलांग के किनारे वाले हिस्सों पर नकारात्मक शक्ति मूल्यों की उपस्थिति होती है, तो ऊर्जा शिखर के परिमाण का एक महत्वपूर्ण कम अनुमान हो सकता है। इन कारकों की अभिव्यक्ति का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। 6.3.2.

चावल। 6.3.2. विभिन्न लंबाई के एसीएफ का उपयोग करके सिग्नल के ऊर्जा स्पेक्ट्रम की गणना।

जैसा कि ज्ञात है, सिग्नल पावर स्पेक्ट्रा में कोई चरण विशेषता नहीं होती है और उनसे सिग्नल का पुनर्निर्माण करना असंभव है। नतीजतन, पावर स्पेक्ट्रा के अस्थायी प्रतिनिधित्व के रूप में सिग्नल के एसीएफ में सिग्नल की चरण विशेषताओं के बारे में जानकारी नहीं होती है और एसीएफ का उपयोग करके सिग्नल का पुनर्निर्माण असंभव है। समय के साथ स्थानांतरित एक ही आकार के सिग्नलों का ACF समान होता है। इसके अलावा, विभिन्न आकृतियों के सिग्नलों में समान ACF हो सकते हैं यदि उनके पास समान पावर स्पेक्ट्रा हो।

आइए समीकरण (6.3.1) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

और इस अभिव्यक्ति में मान t=0 प्रतिस्थापित करें। परिणामी समानता सर्वविदित है और कहलाती है पारसेवल की समानता

s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.

यह आपको सिग्नल विवरण के समय और आवृत्ति डोमेन दोनों में सिग्नल ऊर्जा की गणना करने की अनुमति देता है।

संकेत सहसंबंध अंतराल एसीएफ की चौड़ाई और तर्क द्वारा सिग्नल मूल्यों के महत्वपूर्ण सहसंबंध की डिग्री का आकलन करने के लिए एक संख्यात्मक पैरामीटर है।

यदि हम मानते हैं कि सिग्नल s(t) में W0 के मान के साथ लगभग एक समान ऊर्जा स्पेक्ट्रम है और wв तक की ऊपरी सीमा आवृत्ति है (एक केंद्रित आयताकार पल्स का आकार, जैसे चित्र 6.3.3 में सिग्नल 1 के साथ) एफवी = 50 हर्ट्ज एक तरफा प्रतिनिधित्व में), तो सिग्नल का एसीएफ अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowв/p) पाप(wвt)/(wвt)।

सिग्नल सहसंबंध अंतराल tk को अधिकतम से शून्य रेखा के पहले चौराहे तक ACF के केंद्रीय शिखर की चौड़ाई माना जाता है। इस मामले में, ऊपरी सीमा आवृत्ति wв के साथ एक आयताकार स्पेक्ट्रम के लिए, पहला शून्य क्रॉसिंग wвt = p पर sync(wвt) = 0 से मेल खाता है, जिसमें से:

tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)

सिग्नल स्पेक्ट्रम की ऊपरी सीमा आवृत्ति जितनी अधिक होगी, सहसंबंध अंतराल उतना ही छोटा होगा। ऊपरी सीमा आवृत्ति पर सुचारू कटऑफ वाले संकेतों के लिए, wв पैरामीटर की भूमिका औसत स्पेक्ट्रम चौड़ाई (छवि 6.3.3 में सिग्नल 2) द्वारा निभाई जाती है।

एकल माप में सांख्यिकीय शोर का पावर वर्णक्रमीय घनत्व एक यादृच्छिक फ़ंक्शन Wq(w) है जिसका औसत मान Wq(w) Þ sq2 है, जहां sq2 शोर विचरण है। सीमा में, 0 से ¥ तक शोर के एक समान वर्णक्रमीय वितरण के साथ, शोर ACF का मान Bq(t) Þ sq2 t Þ 0 पर, Bq(t) Þ 0 t ¹ 0 पर होता है, यानी सांख्यिकीय शोर नहीं होता है सहसंबद्ध (tk Þ 0).

परिमित संकेतों के ACF की व्यावहारिक गणना आमतौर पर शिफ्ट अंतराल t = (0, (3-5)tk) तक सीमित होती है, जिसमें, एक नियम के रूप में, संकेतों के स्वत: सहसंबंध पर मुख्य जानकारी केंद्रित होती है।

वर्णक्रमीय घनत्व वीकेएफ एएफसी के समान विचारों के आधार पर, या सीधे सूत्र (6.3.1) से सिग्नल एस (डब्ल्यू) के वर्णक्रमीय घनत्व को दूसरे सिग्नल यू (डब्ल्यू) के वर्णक्रमीय घनत्व के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है:

बीएसयू(टी) = (1/2पी)एस*(डब्ल्यू) यू(डब्ल्यू) एक्सपी(जेडब्ल्यूटी) डीडब्ल्यू। (6.3.5)

या, संकेतों का क्रम बदलते समय:

बस(टी) = (1/2पी)यू*(डब्ल्यू) एस(डब्ल्यू) एक्सपी(जेडब्ल्यूटी) डीडब्ल्यू। (6.3.5")

उत्पाद S*(w)U(w) सिग्नल s(t) और u(t) के पारस्परिक ऊर्जा स्पेक्ट्रम Wsu(w) का प्रतिनिधित्व करता है। तदनुसार, U*(w)S(w) = Wus(w). इसलिए, एसीएफ की तरह, क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन और संकेतों की पारस्परिक शक्ति का वर्णक्रमीय घनत्व फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

बस(t) Û वुस(w) º W*su(w). (6.3.6")

सामान्य मामले में, सम कार्यों के स्पेक्ट्रा के अपवाद के साथ, सीसीएफ कार्यों के लिए समता के साथ गैर-अनुपालन की स्थिति से यह पता चलता है कि पारस्परिक ऊर्जा स्पेक्ट्रा जटिल कार्य हैं:

यू(डब्ल्यू) = एयू(डब्ल्यू) + जे ब्यू(डब्ल्यू), वी(डब्ल्यू) = एवी(डब्ल्यू) + जे बीवी(डब्ल्यू)।

वुव = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = पुनः वुव(w) + j Im वुव(w),

चित्र में. 6.3.4 आप एक दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित एक ही आकार के दो संकेतों के उदाहरण का उपयोग करके सीसीएफ के गठन की विशेषताओं को स्पष्ट रूप से देख सकते हैं।

चावल। 6.3.4. वीकेएफ का गठन।

सिग्नल के आकार और उनकी सापेक्ष स्थिति को फॉर्म ए में दिखाया गया है। सिग्नल एस (टी) के स्पेक्ट्रम के मॉड्यूल और तर्क को फॉर्म बी में दिखाया गया है। स्पेक्ट्रम मॉड्यूल यू (टी) मॉड्यूल एस (डब्ल्यू) के समान है ). वही दृश्य आपसी सिग्नल पावर स्पेक्ट्रम S(w)U*(w) के मापांक को दर्शाता है। जैसा कि ज्ञात है, जटिल स्पेक्ट्रा को गुणा करते समय, स्पेक्ट्रा के मॉड्यूल को गुणा किया जाता है, और चरण कोण जोड़े जाते हैं, जबकि संयुग्म स्पेक्ट्रम यू*(डब्ल्यू) के लिए चरण कोण संकेत बदलता है। यदि सीसीएफ (6.2.1) की गणना के लिए सूत्र में पहला संकेत सिग्नल एस (टी) है, और ऑर्डिनेट अक्ष पर सिग्नल यू (टी-टी) एस (टी) से आगे है, तो चरण कोण एस (डब्ल्यू) ) जैसे-जैसे आवृत्ति कोणों को बढ़ाती है (2p द्वारा मानों के आवधिक रीसेट को ध्यान में रखे बिना), और चरण कोण U*(w) निरपेक्ष मानों में चरण कोण s से कम होते हैं, तो नकारात्मक मानों की ओर वृद्धि होती है टी) और सकारात्मक मूल्यों की ओर वृद्धि (संयुग्मन के कारण)। स्पेक्ट्रा को गुणा करने का परिणाम (जैसा कि चित्र 6.3.4, दृश्य सी में देखा जा सकता है) चरण कोण एस (डब्ल्यू) से कोण मान यू * (डब्ल्यू) का घटाव है, जबकि चरण कोण स्पेक्ट्रम S(w)U*(w) नकारात्मक मानों के क्षेत्र में रहता है, जो संपूर्ण CCF फ़ंक्शन (और इसके चरम मान) को एक निश्चित मात्रा में t अक्ष के साथ शून्य से दाईं ओर स्थानांतरित करना सुनिश्चित करता है (समान संकेतों के लिए - कोटि अक्ष के अनुदिश संकेतों के बीच अंतर की मात्रा से)। जब सिग्नल की प्रारंभिक स्थिति u(t) को सिग्नल s(t) की ओर स्थानांतरित किया जाता है, तो चरण कोण S(w)U*(w) कम हो जाते हैं, सिग्नल के पूर्ण संरेखण के साथ शून्य मान की सीमा में, जबकि फ़ंक्शन Bsu(t) ACF में रूपांतरण से पहले की सीमा में शून्य मान t पर स्थानांतरित हो जाता है (समान सिग्नल s(t) और u(t) के लिए)।

जैसा कि नियतिवादी संकेतों के लिए जाना जाता है, यदि दो संकेतों का स्पेक्ट्रा ओवरलैप नहीं होता है और, तदनुसार, संकेतों की पारस्परिक ऊर्जा शून्य है, तो ऐसे संकेत एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल होते हैं। ऊर्जा स्पेक्ट्रा और संकेतों के सहसंबंध कार्यों के बीच संबंध संकेतों की बातचीत का एक और पक्ष दिखाता है। यदि संकेतों का स्पेक्ट्रा ओवरलैप नहीं होता है और उनका पारस्परिक ऊर्जा स्पेक्ट्रम सभी आवृत्तियों पर शून्य है, तो एक दूसरे के सापेक्ष किसी भी समय बदलाव के लिए उनका सीसीएफ भी शून्य है। इसका मतलब यह है कि ऐसे संकेत असंबंधित हैं। यह नियतात्मक और यादृच्छिक संकेतों और प्रक्रियाओं दोनों के लिए मान्य है।

एफएफटी का उपयोग करके सहसंबंध कार्यों की गणना करना विशेष रूप से लंबी संख्या श्रृंखला के लिए, बड़े सहसंबंध अंतराल पर समय डोमेन में क्रमिक बदलावों की तुलना में दसियों और सैकड़ों गुना तेज एक विधि है। विधि का सार एसीएफ के लिए सूत्र (6.3.2) और वीसीएफ के लिए (6.3.6) से आता है। यह ध्यान में रखते हुए कि ACF को समान सिग्नल के लिए CCF का एक विशेष मामला माना जा सकता है, हम नमूने K की संख्या के साथ सिग्नल x(k) और y(k) के लिए CCF के उदाहरण का उपयोग करके गणना प्रक्रिया पर विचार करेंगे। इसमें शामिल हैं:

1. सिग्नल x(k) → X(k) और y(k) → Y(k) के FFT स्पेक्ट्रा की गणना। नमूनों की अलग-अलग संख्या के साथ, छोटी पंक्ति को बड़ी पंक्ति के आकार के शून्य से भर दिया जाता है।

2. पावर घनत्व स्पेक्ट्रा Wxy(k) = X*(k) Y(k) की गणना।

3. उलटा एफएफटी Wxy(k) → Bxy(k)।

आइए विधि की कुछ विशेषताओं पर ध्यान दें।

उलटा एफएफटी, जैसा कि ज्ञात है, फ़ंक्शन x(k) ③ y(k) के चक्रीय कनवल्शन की गणना करता है। यदि फ़ंक्शन नमूनों की संख्या K के बराबर है, तो फ़ंक्शन स्पेक्ट्रा के जटिल नमूनों की संख्या भी K के बराबर है, साथ ही उनके उत्पाद Wxy(k) के नमूनों की संख्या भी है। तदनुसार, व्युत्क्रम FFT के दौरान नमूनों Bxy(k) की संख्या भी K के बराबर है और K के बराबर अवधि के साथ चक्रीय रूप से दोहराई जाती है। इस बीच, सूत्र (6.2.5) के अनुसार संकेतों के पूर्ण सरणियों के रैखिक कनवल्शन के साथ, ICF के केवल आधे हिस्से का आकार K अंक है, और पूर्ण द्विपक्षीय आकार 2K बिंदु है। नतीजतन, व्युत्क्रम एफएफटी के साथ, कनवल्शन की चक्रीयता को ध्यान में रखते हुए, इसके पार्श्व अवधियों को दो कार्यों के सामान्य चक्रीय कनवल्शन की तरह, सीसीएफ की मुख्य अवधि पर आरोपित किया जाएगा।

चित्र में. 6.3.5 दो संकेतों और रैखिक कनवल्शन (बी1xy) और एफएफटी (बी2xy) के माध्यम से चक्रीय कनवल्शन द्वारा गणना किए गए वीसीएफ मूल्यों का एक उदाहरण दिखाता है। ओवरलैपिंग साइड पीरियड के प्रभाव को खत्म करने के लिए, नमूनों की संख्या को दोगुना करने तक, सीमा में शून्य के साथ संकेतों को पूरक करना आवश्यक है, जबकि एफएफटी परिणाम (चित्रा 6.3.5 में बी 3xy ग्राफ) पूरी तरह से रैखिक के परिणाम को दोहराता है कनवल्शन (नमूनों की संख्या में वृद्धि के लिए सामान्यीकरण को ध्यान में रखते हुए)।

व्यवहार में, सिग्नल एक्सटेंशन शून्य की संख्या सहसंबंध फ़ंक्शन की प्रकृति पर निर्भर करती है। शून्य की न्यूनतम संख्या को आमतौर पर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण सूचना भाग के बराबर माना जाता है, यानी, (3-5) सहसंबंध अंतराल के बारे में।

साहित्य

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कॉपीराइट©2008डेविडॉवएक।वी.

क्रॉस सहसंबंध समानांतर प्रोफाइल से या अलग-अलग समय पर विभिन्न उपकरणों द्वारा किए गए अवलोकनों आदि से निर्मित असंगत ग्राफ़ की निर्भरता की समस्या को हल करता है। निर्भरता का माप अभिन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है

आर xy( टी)= , (11.13)

कहाँ टी- दूसरे फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुसार बदलाव।

दो आसन्न प्रोफाइलों पर अलग-अलग फ़ील्ड मानों से गणना किए गए फ़ंक्शन को क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन (एमसीएफ) कहा जाता है और सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है

वी(एम) =

कहाँ जेड आई (एक्स आई)- बिंदु पर पहली प्रोफ़ाइल पर फ़ील्ड मान एक्समैं; जेड 2 (एक्स आई + एम) - बिंदु पर दूसरे प्रोफ़ाइल पर फ़ील्ड मान मैं+म; और आसन्न प्रोफाइल पर औसत फ़ील्ड मान हैं।

क्रॉस-सहसंबंध के परिणामस्वरूप, प्रोफाइल पर तिरछे लम्बे एक विषम शरीर का पता लगाया जा सकता है। विभिन्न भूभौतिकीय और भूवैज्ञानिक मानचित्रों के साथ चुंबकीय विसंगति मानचित्रों का सहसंबंध अक्सर दृश्य रूप से किया जाता है। प्रोफाइलों में चुंबकीय क्षेत्र का अंतर-प्रोफ़ाइल सहसंबंध शोर की पृष्ठभूमि से एक उपयोगी संकेत को अलग करने की सहसंबंध विधि की याद दिलाता है, जिसे भूकंपीय अन्वेषण में विनियमित दिशात्मक रिसेप्शन की विधि के रूप में जाना जाता है।

मैनुअल "नियमित आकार के पिंडों के गुरुत्वाकर्षण और चुंबकीय विसंगतियों के सहसंबंध कार्यों का एटलस" (ओ.ए. ओडेकोव, जी.आई. कराटेव, ओ.के. बसोव, बी.ए. कुर्बानसाखातोव) विसंगतियों की व्याख्या के लिए सहसंबंध विधियों के विकास के लिए समर्पित है। एटलस में नियमित आकार के निकायों के लिए सहसंबंध कार्यों के ग्राफ़ शामिल हैं, जिसके लिए सैद्धांतिक वक्र डी.एस. द्वारा एटलस में दिए गए हैं। मिकोवा. ग्राफ़ सहसंबंध अनुसंधान के सिद्धांत और अभ्यास पर एक पाठ से पहले हैं, और एसीएफ के व्यावहारिक अनुप्रयोग के मुद्दों को सावधानीपूर्वक विकसित किया गया है।

विसंगतियों के लिए स्वत:सहसंबंध प्लॉट जेड(वे विसंगतियों के लिए भी लागू होते हैं एन) तीन स्तरों के लिए दिए गए हैं। विभिन्न प्रकार की विसंगतियों के संयोजन के लिए क्रॉस-सहसंबंध ग्राफ़ दिखाए गए हैं। पाठ प्रारंभिक चुंबकीय विसंगतियों को संसाधित और व्याख्या करते समय ऑटोसहसंबंध ग्राफ़ का उपयोग करने की सलाह पर प्रस्तावों का सारांश देता है।

सांख्यिकीय अनुसंधान में ऑटोसहसंबंध और क्रॉस-सहसंबंध नवीनतम तकनीकें हैं। हालाँकि हाल के वर्षों के साहित्य में उन पर शायद ही विचार किया गया है, उनके सार और अनुप्रयोग के बारे में प्रस्तुत जानकारी एनोटेशन की प्रकृति में है। ऐसा लगता है कि बड़ी मात्रा में फ़ील्ड अवलोकनों को संसाधित करते समय, इन विधियों को अपना सही स्थान मिल जाएगा। चुंबकीय विसंगतियों की व्याख्या के लिए सहसंबंध कार्यों का उपयोग करने की समस्या के महत्व के बारे में, ए.के. मालोविचको ने लिखा: “आधुनिक भूभौतिकीय साहित्य में इस समस्या पर बहुत ध्यान दिया जाता है, हालांकि सामान्य तौर पर यह बहस का मुद्दा लगता है। इसकी व्याख्या करते समय, कूलम्ब के नियम और प्रसिद्ध सूत्रों के उपयोग के आधार पर कार्यात्मक क्षेत्रों का अध्ययन करने की संभावनाओं को नजरअंदाज कर दिया जाता है” /25/।

फूरियर परिवर्तनों के सिद्धांत के साथ क्षणिक प्रक्रियाओं के अध्ययन से संबंधित समस्याओं को हल करते समय सहसंबंध सिद्धांतों को जोड़ा जाता है। सहसंबंध कार्यों में इंटीग्रल कनवल्शन-प्रकार के इंटीग्रल हैं, इसलिए सिद्धांत के विकास को स्वाभाविक रूप से वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व, आवृत्ति विशेषताओं और ऊर्जा स्पेक्ट्रा का उपयोग करके माना जाता है।

विश्लेषण की सहसंबंध विधियों द्वारा हल की गई चुंबकीय पूर्वेक्षण की समस्याओं का वर्णन एस.ए. की पुस्तक में किया गया है। सेर्केरोवा /29/.

क्रॉस सहसंबंध फ़ंक्शन(वीकेएफ) दो यादृच्छिक प्रक्रियाओं के बीच सहसंबंध गुणों का आकलन है, जो दो प्रोफाइलों, दो पथों आदि पर फ़ील्ड अवलोकनों द्वारा दर्शाया जाता है।

वीकेएफ की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

(4.7)

कहाँ एन- प्रत्येक कार्यान्वयन में अंकों की संख्या, यानी प्रत्येक प्रोफ़ाइल, मार्ग आदि के लिए।

और इन प्रोफाइलों और मार्गों के लिए देखे गए डेटा के औसत मूल्य हैं।

जब औसत मान शून्य के बराबर हों: सूत्र (4.7) सरल हो जाता है

(4.8)

पर एम=0 वीसीएफ मान प्रोफाइल, निशान आदि के साथ समान नामित अवलोकन नमूनों के लिए फ़ील्ड मानों के उत्पाद के बराबर है।

जब वीसीएफ का मान एक असतत द्वारा स्थानांतरित फ़ील्ड मानों के उत्पाद के बराबर होता है। इस मामले में, हम मान लेंगे कि बाद की प्रोफ़ाइल के बाईं ओर बदलाव एक अलग है, यानी। , पिछले वाले के सापेक्ष, अर्थात्। , एक सकारात्मक पूर्वाग्रह से मेल खाता है, अर्थात। , और दाईं ओर बदलाव मान से मेल खाता है।

चूँकि विभिन्न फ़ील्ड मानों को गुणा किया जाता है, ACF की गणना के विपरीत, ACF एक सम फ़ंक्शन नहीं है, अर्थात। .

जब वीसीएफ का मान दो असतत आदि द्वारा स्थानांतरित फ़ील्ड मानों के उत्पाद के बराबर होता है।

व्यवहार में, सामान्यीकृत सीसीएफ का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसे (4.8) के रूप में परिभाषित किया गया है।

पहले और दूसरे पथ प्रोफाइल के लिए फ़ील्ड मानों के मानक विचलन कहाँ और हैं।

वीकेएफ ने भूभौतिकीय डेटा प्रोसेसिंग की तीन मुख्य समस्याओं को हल करने में आवेदन पाया है:

1) प्रोफ़ाइल, निशान और प्रोफ़ाइल से प्रोफ़ाइल (ट्रेस से ट्रेस) के बीच सिग्नल आकार में मामूली बदलाव के बीच असंबंधित हस्तक्षेप की स्थिति के तहत सिग्नल के सहसंबंध गुणों का आकलन, जो आमतौर पर व्यवहार में किया जाता है, क्योंकि बीच की दूरी प्रोफाइल को इस तरह से चुना जाता है कि सिग्नल प्रोफाइल के बीच सहसंबद्ध होते हैं, और इसके विपरीत, हस्तक्षेप असंबद्ध होगा। भूकंपीय अन्वेषण में, जियोफोन के बीच की दूरियां इस तरह से चुनी जाती हैं कि अनियमित शोर तरंगें आसन्न निशानों के बीच असंबद्ध हों। इस स्थिति में, वीसीएफ बराबर होगा

वे। यदि सिग्नल के आकार मेल खाते हैं, तो अंतिम योग सिग्नल के ACF के बराबर होगा।

नतीजतन, वीसीएफ एसीएफ की तुलना में सिग्नल के सहसंबंध गुणों का अधिक विश्वसनीय रूप से अनुमान लगाता है।

2) वीसीएफ के सकारात्मक चरम के आधार पर संकेतों के विस्तार का अनुमान। टीसीएफ का सकारात्मक चरम प्रोफाइल और निशानों के बीच एक संकेत सहसंबंध की उपस्थिति का संकेत देता है, क्योंकि तर्क का मूल्य जिस पर टीसीएफ का चरम हासिल किया जाता है, वह पिछले पर अपनी स्थिति के सापेक्ष बाद की प्रोफ़ाइल पर सिग्नल के विस्थापन से मेल खाता है। एक। इस प्रकार, सीसीएफ के सकारात्मक एक्स्ट्रेमा के परिमाण के आधार पर, प्रोफाइल से प्रोफाइल में सिग्नल शिफ्ट निर्धारित किया जाता है, जिससे सिग्नल की सीमा का आकलन होता है।

विभिन्न विस्तारों के संकेतों (विसंगतियों) के मामले में, वीसीएफ में दो या दो से अधिक सकारात्मक चरम सीमाएँ होती हैं।

चित्र 4.2ए पांच प्रोफाइलों के साथ भौतिक क्षेत्र के अवलोकनों के परिणाम और इन अवलोकनों के अनुरूप वीसीएफ ग्राफ दिखाता है, जिससे प्रोफाइल से प्रोफाइल तक दो असतत द्वारा उनके विस्थापन के अनुरूप संकेतों की सीमा निर्धारित की जाती है।

दो संकेतों के हस्तक्षेप के मामले में, जैसा कि चित्र 4.2, बी में दिखाया गया है, दो सकारात्मक चरम दर्ज किए जाते हैं और, जो बाद में, जब संकेतों की दिशा में कई प्रोफाइलों पर डेटा जोड़ते हैं, तो उन्हें स्पष्ट रूप से अलग करने की अनुमति मिलती है। सर्वेक्षण क्षेत्र.

अंत में, प्रोफाइल के किसी भी जोड़े के लिए सीसीएफ के चरम में तेज बदलाव, प्रोफाइल के पड़ोसी जोड़े के चरम की तुलना में क्षेत्र वितरण में गड़बड़ी की पहचान करने के लिए सीसीएफ का उपयोग करना संभव बनाता है, जैसा कि चित्र 4.2 सी में दिखाया गया है। ईसीएफ एक्स्ट्रेमा के इस विस्थापन का उपयोग करते हुए, भूभौतिकीय सर्वेक्षण प्रोफाइल के स्ट्राइक के करीब वाले दोषों को आमतौर पर मैप किया जाता है।

भूकंपीय रिकॉर्ड को संसाधित करते समय, आसन्न निशानों से डेटा के बीच वीसीएफ का निर्माण कुल स्थैतिक और गतिज सुधारों का अनुमान प्रदान करता है, जो वीसीएफ के सकारात्मक चरम के भुज द्वारा निर्धारित होता है। किनेमेटिक्स के ज्ञान के साथ, यानी समय खंड की वेग विशेषताओं, स्थैतिक सुधार के मूल्य को निर्धारित करना आसान है।

सहसंबंध कनवल्शन के समान एक गणितीय ऑपरेशन है, जो आपको दो संकेतों से तीसरा संकेत प्राप्त करने की अनुमति देता है। ऐसा होता है: ऑटोसहसंबंध (ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन), क्रॉस-सहसंबंध (क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन, क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन)। उदाहरण:

[क्रॉस सहसंबंध फ़ंक्शन]

[स्वत:सहसंबंध समारोह]

सहसंबंध शोर की पृष्ठभूमि के खिलाफ पहले से ज्ञात संकेतों का पता लगाने की एक तकनीक है, जिसे इष्टतम फ़िल्टरिंग भी कहा जाता है। यद्यपि सहसंबंध कनवल्शन के समान है, उनकी गणना अलग-अलग तरीके से की जाती है। उनके अनुप्रयोग के क्षेत्र भी भिन्न हैं (c(t)=a(t)*b(t) - दो कार्यों का कनवल्शन, d(t)=a(t)*b(-t) - क्रॉस-सहसंबंध)।

सहसंबंध एक ही कनवल्शन है, केवल एक सिग्नल बाएं से दाएं उलटा होता है। ऑटोसहसंबंध (ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन) एक सिग्नल और τ द्वारा स्थानांतरित इसकी प्रतिलिपि के बीच कनेक्शन की डिग्री को दर्शाता है। क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन 2 अलग-अलग संकेतों के बीच कनेक्शन की डिग्री को दर्शाता है।

स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन के गुण:

• 1) R(τ)=R(-τ). फलन R(τ) सम है।
• 2) यदि x(t) समय का एक ज्यावक्रीय फलन है, तो इसका स्वसहसंबंध फलन उसी आवृत्ति का एक कोज्या फलन है। प्रारंभिक चरण की जानकारी लुप्त हो गई है। यदि x(t)=A*sin(ωt+φ), तो R(τ)=A 2/2 * cos(ωτ)।
• 3) ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन और पावर स्पेक्ट्रम फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा संबंधित हैं।
• 4) यदि x(t) कोई आवधिक फलन है, तो इसके लिए R(τ) को एक स्थिर घटक और एक साइनसोइडली भिन्न घटक से स्वत: सहसंबंध कार्यों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• 5) R(τ) फ़ंक्शन सिग्नल के हार्मोनिक घटकों के प्रारंभिक चरणों के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है।
• 6) समय के एक यादृच्छिक फलन के लिए, बढ़ते τ के साथ R(τ) तेजी से घटता है। वह समय अंतराल जिसके बाद R(τ) 0 के बराबर हो जाता है, स्वसहसंबंध अंतराल कहलाता है।
• 7) एक दिया गया x(t) एक अच्छी तरह से परिभाषित R(τ) से मेल खाता है, लेकिन उसी R(τ) के लिए अलग-अलग फ़ंक्शन x(t) अनुरूप हो सकते हैं

शोर के साथ मूल संकेत:

मूल सिग्नल का स्वत:सहसंबंध कार्य:

क्रॉस सहसंबंध फ़ंक्शन (एमसीएफ) के गुण:

• 1) वीकेएफ न तो सम है और न ही विषम फलन है, अर्थात्। R xy (τ) R xy (-τ) के बराबर नहीं है।
• 2) वीसीएफ अपरिवर्तित रहता है जब कार्यों का विकल्प बदलता है और तर्क का संकेत बदलता है, अर्थात। R xy (τ)=R xy (-τ).
• 3) यदि यादृच्छिक फलन x(t) और y(t) में स्थिर घटक नहीं होते हैं और स्वतंत्र स्रोतों द्वारा बनाए जाते हैं, तो उनके लिए R xy (τ) 0 की ओर प्रवृत्त होता है। ऐसे फलन को असंबद्ध कहा जाता है।

शोर के साथ मूल संकेत:

समान आवृत्ति की वर्ग तरंग:

मूल सिग्नल और मेन्डर का सहसंबंध:

ध्यान! प्रत्येक इलेक्ट्रॉनिक व्याख्यान नोट्स उसके लेखक की बौद्धिक संपदा है और केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए वेबसाइट पर प्रकाशित किया जाता है।

सूचना प्रसारण प्रणालियों में, अक्सर विशेष रूप से चयनित गुणों वाले संकेतों की आवश्यकता होती है। इस मामले में, संकेतों का चुनाव उनकी पीढ़ी और रूपांतरण की तकनीकी सादगी से नहीं, बल्कि समस्या के इष्टतम समाधान की संभावना से तय होता है। ऐसे कार्यों में आमतौर पर सिंक्रनाइज़ेशन, पहचान, माप, गोपनीयता और शोर प्रतिरक्षा बढ़ाना आदि शामिल होते हैं।

इन समस्याओं को हल करने की सटीकता उस डिग्री से निर्धारित होती है जिस तक सिग्नल एस (टी) और इसकी "कॉपी" एस (टी-एक्स), समय में स्थानांतरित हो जाते हैं, एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

सिग्नल एस(टी) और एस(टी-टी) के बीच अंतर की डिग्री निर्धारित करने के लिए उपयोग करें स्वत: सहसंबंध कार्य(ACF) V(t) सिग्नल s(t) का। इसे सिग्नल और उसकी विलंबित प्रतिलिपि के स्केलर उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है:

यदि s(t) प्रकृति में आवेगी है, तो यह अभिन्न अंग निश्चित रूप से मौजूद है।

स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन के मूल गुण:

1. - m =0 पर, ACF सिग्नल ऊर्जा के बराबर है।

2. - अर्थात। ACF एक सम फलन है।

3. - किसी भी टी के लिए, एसीएफ मॉड्यूल सिग्नल ऊर्जा से अधिक नहीं होता है।

उदाहरण के तौर पर, आयाम यू और अवधि टीएन (चित्र 1.13) के साथ एक आयताकार वीडियो पल्स के एसीएफ के प्रकार पर विचार करें।

चावल। 1.13. चित्र में एक आयताकार पल्स का ACF। चित्र 1.13 में, छायांकित क्षेत्र सिग्नल अलियासिंग दिखाते हैं जिसमें उत्पाद s(t)s(t-i) गैर-शून्य है। यही स्थिति होगी |टी|

इस प्रकार, ACF एक केंद्रीय अधिकतम वाला एक सममित वक्र है जो हमेशा सकारात्मक होता है। सिग्नल एस(टी) के प्रकार के आधार पर, एसीएफ नीरस या दोलनशील रूप से घटता है।

किसी सिग्नल का ACF संबंध द्वारा आवृत्ति स्पेक्ट्रम पर उसकी ऊर्जा के वितरण से निकटता से संबंधित है

स्पेक्ट्रम पर ऊर्जा वितरण के आधार पर संकेतों के सहसंबंध गुणों का मूल्यांकन करना संभव है। सिग्नल फ़्रीक्वेंसी बैंड जितना व्यापक होगा, समय में ACF उतना ही संकीर्ण होगा। विलंब आईजे में परिवर्तन होने पर एक ही आकार के दो संकेतों x(t-ij) और x(t-x) के संयोग के क्षण को सटीक रूप से मापने की संभावना के दृष्टिकोण से एक संकीर्ण ACF वाला सिग्नल बेहतर है। आधुनिक रेडियो संचार प्रणालियों को डिज़ाइन करते समय, सिग्नल को ब्रॉडबैंड के रूप में चुना जाता है।

सिद्धांत रूप में, दिए गए सहसंबंध गुणों के साथ सिग्नल को संश्लेषित करने की समस्या को हल करना संभव है। सर्वोत्तम एसीएफ संरचना वाले सिग्नलों का एक उदाहरण अलग बार्कर सिग्नल (कोड), पूरक कोड और अन्य जटिल सिग्नल हैं। रडार, रेडियो संचार और अन्य क्षेत्रों में सिग्नल का पता लगाने और उसके मापदंडों को मापने की समस्या को हल करने के संबंध में इन संकेतों के सहसंबंध गुण इष्टतम हैं।

दो सिग्नल x(t) और y(t) उनके आकार और समय अक्ष पर उनके सापेक्ष स्थान दोनों में भिन्न हो सकते हैं। इन अंतरों का आकलन करने के लिए, उपयोग करें क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन(वीकेएफ) xy (x) में। दो वास्तविक संकेतों x(t) और y(t) के CCF को फॉर्म के अदिश उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है

सीमित ऊर्जा वाले संकेतों के क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन के गुण:

1. xy(0) में आवश्यक रूप से अधिकतम मान नहीं है

2. - सिग्नल ऊर्जा हियु.

3. वीकेएफ पदनाम में अनुक्रमण क्रम को बदलते समय और अभिव्यक्ति (31) में निर्दिष्ट रिकॉर्डिंग के रूप को देखते समय, वीकेएफ ग्राफ कोर्डिनेट अक्ष x = O के सापेक्ष उलटा होता है

4. (एकेएफ के समान)

एसीएफ वीसीएफ का एक विशेष मामला है।

असीमित ऊर्जा के साथ सिग्नल का सहसंबंध कार्य।

ऐसे संकेतों के लिए, उनकी ऊर्जा की अनंतता के कारण सूत्र (1.31) का उपयोग करके एसीएफ का निर्धारण करना असंभव है। ऐसे संकेतों में आवधिक संकेत शामिल हैं। ऐसे सिग्नलों के मॉडलों का ऊर्जा मूल्यांकन औसत विशिष्ट शक्ति का परिचय देकर किया जाता है

जहाँ T एक मनमाना समय अंतराल है।

आवधिक संकेतों के लिए, जिनकी ऊर्जा परिभाषा के अनुसार असीम रूप से बड़ी है, अवधि टी में औसत आसानी से किया जाता है

एक हार्मोनिक सिग्नल x(t) = Ucoscoot के लिए, औसत विशिष्ट शक्ति P = U 2/2। आवधिक संकेत x ncp (t) पर सूत्र (33) लागू करना, जिसे फूरियर श्रृंखला के रूप में दर्शाया गया है

और ऑर्थोगोनैलिटी स्थिति को ध्यान में रखते हुए

और

ऐसे सिग्नल की औसत शक्ति P के लिए हमें प्राप्त होता है

एक आवधिक सिग्नल की कुल औसत शक्ति सिग्नल बनाने वाले हार्मोनिक्स की औसत शक्तियों के योग के बराबर होती है, जिसमें निश्चित रूप से, स्थिर घटक (शून्य हार्मोनिक) की शक्ति भी शामिल होती है।

निरंतर और आवधिक संकेत के लिए, ACF सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

अनंत अंतराल टी के औसत के साथ।

एक हार्मोनिक सिग्नल के लिए, ACF का रूप होता है

परिमित संकेतों के एसीएफ और वीसीएफ के विपरीत, एक आवधिक फ़ंक्शन का एसीएफ स्वयं एक आवधिक फ़ंक्शन है और इसमें शक्ति का आयाम होता है। तर्क t के मान, जिसके लिए B(t) = 0, सिग्नल और उसकी प्रतियों के समय बदलाव को निर्धारित करते हैं, जिस पर कोई सहसंबंध नहीं है। आवधिक सिग्नल का मान B(0) संख्यात्मक रूप से सिग्नल शक्ति के बराबर है; एक हार्मोनिक सिग्नल के लिए B(0) = U 2 /2.