डमी के लिए सीमाएं कैसे हल करें? उच्च गणित में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए यह आवश्यक है

जो लोग सीखना चाहते हैं कि सीमाएं कैसे खोजें, इस लेख में हम आपको इसके बारे में बताएंगे। हम सिद्धांत में गहराई से नहीं जाएंगे; शिक्षक आमतौर पर इसे व्याख्यान में देते हैं। इसलिए "उबाऊ सिद्धांत" को आपकी नोटबुक में लिख लिया जाना चाहिए। यदि यह मामला नहीं है, तो आप शैक्षणिक संस्थान के पुस्तकालय या अन्य इंटरनेट संसाधनों से ली गई पाठ्यपुस्तकें पढ़ सकते हैं।

इसलिए, उच्च गणित के अध्ययन में सीमा की अवधारणा काफी महत्वपूर्ण है, खासकर जब आप अभिन्न कलन से परिचित होते हैं और सीमा और अभिन्न के बीच संबंध को समझते हैं। वर्तमान सामग्री सरल उदाहरणों के साथ-साथ उन्हें हल करने के तरीकों पर भी गौर करेगी।

समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1
गणना करें a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; बी)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
समाधान
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ बी)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ लोग अक्सर हमें इन सीमाओं को हल करने में मदद के अनुरोध के साथ भेजते हैं। हमने उन्हें एक अलग उदाहरण के रूप में उजागर करने और यह समझाने का निर्णय लिया कि इन सीमाओं को एक नियम के रूप में याद रखने की आवश्यकता है। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!
उत्तर
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

फॉर्म की अनिश्चितता के साथ क्या करें: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

उदाहरण 3
$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ को हल करें
समाधान
हमेशा की तरह, हम सीमा चिह्न के नीचे अभिव्यक्ति में मान $ x $ को प्रतिस्थापित करके प्रारंभ करते हैं। $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ अब आगे क्या है? आख़िर में क्या होना चाहिए? चूँकि यह अनिश्चितता है, यह अभी तक कोई उत्तर नहीं है और हम गणना जारी रखते हैं। चूँकि हमारे पास अंशों में एक बहुपद है, इसलिए हम इसे स्कूल के सभी लोगों से परिचित सूत्र $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ का उपयोग करके गुणनखंडित करेंगे। तुम्हे याद है? महान! अब आगे बढ़ें और इसे गाने के साथ प्रयोग करें :) हमने पाया कि अंश $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ हम उपरोक्त परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए समाधान करना जारी रखते हैं: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
उत्तर
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

आइए पिछले दो उदाहरणों की सीमा को अनंत तक बढ़ाएं और अनिश्चितता पर विचार करें: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

उदाहरण 5
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ की गणना करें
समाधान
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ क्या करें? मुझे क्या करना चाहिए? घबराओ मत, क्योंकि असंभव संभव है। अंश और हर दोनों में से x को निकालना और फिर उसे कम करना आवश्यक है। इसके बाद सीमा की गणना करने का प्रयास करें। आओ कोशिश करते हैं... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ उदाहरण 2 से परिभाषा का उपयोग करने और x के लिए अनंत को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
उत्तर
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

सीमा की गणना के लिए एल्गोरिदम

तो, आइए संक्षेप में उदाहरणों का सारांश दें और सीमाओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं:

सीमा चिह्न के बाद वाले व्यंजक में बिंदु x रखें। यदि एक निश्चित संख्या या अनंत प्राप्त हो जाए तो सीमा पूरी तरह से हल हो जाती है। अन्यथा, हमारे पास अनिश्चितता है: "शून्य को शून्य से विभाजित करें" या "अनंत को अनंत से विभाजित करें" और निर्देशों के अगले चरणों पर आगे बढ़ें।
"शून्य को शून्य से विभाजित करने" की अनिश्चितता को खत्म करने के लिए, आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा। समान को कम करें. सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में बिंदु x रखें।
यदि अनिश्चितता "अनंत को अनंत से विभाजित" है, तो हम अंश और हर दोनों को अधिकतम डिग्री तक निकाल देते हैं। हम X को छोटा करते हैं. हम सीमा के नीचे से x के मानों को शेष अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं।

इस लेख में, आपने सीमाओं को हल करने की मूल बातें सीखीं, जिनका उपयोग अक्सर कैलकुलस पाठ्यक्रम में किया जाता है। बेशक, ये परीक्षकों द्वारा पेश की जाने वाली सभी प्रकार की समस्याएं नहीं हैं, बल्कि केवल सबसे सरल सीमाएँ हैं। हम भविष्य के लेखों में अन्य प्रकार के असाइनमेंट के बारे में बात करेंगे, लेकिन आगे बढ़ने के लिए पहले आपको यह पाठ सीखना होगा। आइए चर्चा करें कि यदि जड़ें, डिग्री हैं, तो क्या करें, अनंत समकक्ष कार्यों का अध्ययन करें, उल्लेखनीय सीमाएं, एल'हॉपिटल का नियम।

यदि आप स्वयं सीमाओं का पता नहीं लगा सकते, तो घबराएं नहीं। हमें हमेशा मदद करके खुशी होती हैं!

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लिखित।

नया। नटानज़ोन एस.एम. गणितीय विश्लेषण में लघु पाठ्यक्रम. 2004 98 पीपी. डीजेवीयू. 1.2 एमबी.
यह प्रकाशन 1997-1998 और 2002-2003 शैक्षणिक वर्षों में स्वतंत्र मॉस्को विश्वविद्यालय के प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए लेखक द्वारा दिए गए व्याख्यानों की एक संक्षिप्त रिकॉर्डिंग है।

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नया। ई.बी. बोरोनिना। गणितीय विश्लेषण। लेक्चर नोट्स। 2007 160 पृष्ठ पीडीएफ. 2.1 एमबी.
यह पुस्तक तकनीकी विश्वविद्यालयों के उन छात्रों के लिए लिखी गई है जो गणितीय विश्लेषण में परीक्षा की तैयारी करना चाहते हैं। इस पुस्तक की सामग्री पूरी तरह से "गणितीय विश्लेषण" पाठ्यक्रम के कार्यक्रम से मेल खाती है, जिसके लिए परीक्षा रूस के अधिकांश उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रदान की जाती है। कार्यक्रम आपको पूछे गए प्रश्न का आवश्यक उत्तर शीघ्रता से और बिना अनावश्यक कठिनाइयों के खोजने में मदद करता है।
प्रश्न लेखक द्वारा व्यक्तिगत अनुभव के आधार पर, शिक्षकों की आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए संकलित किए गए थे।