Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-1.jpg" alt="> МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ 1. Признаки монотонности функции. "> МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ 1. Признаки монотонности функции. 2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. 3. Достаточные условия существования экстремума. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-2.jpg" alt=">Вопрос 1. Признаки монотонности функции О. 1. 1. Функция у = f(х)"> Вопрос 1. Признаки монотонности функции О. 1. 1. Функция у = f(х) называется возрастающей (неубывающей) на промежутке Х, если для х1, х2 Х из того, что х1 f(х2) (f(х1) ≥ f(х2)).

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-3.jpg" alt=">Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве,"> Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. О характере изменения функции на промежутке Х можно судить по знаку ее производной. Связь между знаком производной и направлением изменения функции выражается следующими теоремами, которые представляют собой необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции (признаки монотонности).

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-4.jpg" alt=">Т. 1. 1. (необходимые условия монотонности функции) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а;"> Т. 1. 1. (необходимые условия монотонности функции) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а; b) функция у = f(х) возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо, чтобы для х (а; b): f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0). Т. 1. 2. (достаточные условия монотонности функции) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а; b) функция у = f(х) возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы для х (а; b): f′(x) > 0 (f′(x)

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-5.jpg" alt=">Пример 1. Для функции y = lnx с областью определения D(y) = (0;"> Пример 1. Для функции y = lnx с областью определения D(y) = (0; +) получим, что Следовательно, функция y = lnx является возрастающей на всей области определения.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-6.jpg" alt="> Вопрос 2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума О. 2. 1. Точка х0 называется"> Вопрос 2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума О. 2. 1. Точка х0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции у = f(х), если для всех х из некоторой -окрестности точки х0 выполняется неравенство f(х0) > f(х) (f(х0)

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-8.jpg" alt=">Замечание 1. Понятие экстремума носит локальный характер, т. е. неравенства (1) должны выполняться лишь"> Замечание 1. Понятие экстремума носит локальный характер, т. е. неравенства (1) должны выполняться лишь в некоторой окрестности точки х0. 2. Функция может иметь на одном промежутке несколько максимумов и минимумов.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-9.jpg" alt=">3. Не следует путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением"> 3. Не следует путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-10.jpg" alt=">Т. 2. 1. (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум"> Т. 2. 1. (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна 0, т. е. f′(х0) = 0 Эта теорема есть непосредственное следствие теоремы Ферма. Следствие Непрерывная функция у = f(х) может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции f′(x) равна нулю или не существует.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-11.jpg" alt=">Пример 2. ">

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-12.jpg" alt=">О. 2. 2. Точки из области определения функции у = f(х), в которых производная"> О. 2. 2. Точки из области определения функции у = f(х), в которых производная функции f′(x) равна нулю или не существует, называются критическими точками данной функции. Из теоремы 2. 1 следует, что любая точка экстремума функции является критической. Обратное утверждение неверно: не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-13.jpg" alt=">Пример 3. Для функции у = х3 имеем: у′ ="> Пример 3. Для функции у = х3 имеем: у′ = 3 х2 = 0 при х = 0, но экстремума в точке х = 0 функция не имеет.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-14.jpg" alt="> Вопрос 3. Достаточные условия существования экстремума Т. 3. 1. (первое достаточное"> Вопрос 3. Достаточные условия существования экстремума Т. 3. 1. (первое достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция у = f(х) дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки х0 (за исключением, быть может, самой точки) и при переходе через нее слева направо производная f′(x) меняет знак с «+» на «–» , то х0 есть точка максимума, а если с «–» на «+» , то х0 - точка минимума.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-15.jpg" alt="> Первое правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область"> Первое правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область определения функции D(y). 2. Найти производную f′(x). 3. Найти критические точки функции, в которых f′(x) = 0 или не существует. 4. Установить знаки производной слева и справа от каждой критической точки и определить характер экстремумов. 5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-16.jpg" alt=">Пример 4. Найти экстремумы функции Решение 1. D(y) = R. "> Пример 4. Найти экстремумы функции Решение 1. D(y) = R. 2. 3.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-17.jpg" alt=">Точки х = 8, х = 0 D(y) являются критическими точками 4. ">

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-18.jpg" alt=">Т. 3. 2. (второе достаточное условие экстремума) Пусть функция у = f(х) имеет в"> Т. 3. 2. (второе достаточное условие экстремума) Пусть функция у = f(х) имеет в точке х0 и ее окрестности непрерывные первую и вторую производную, причем f′(x 0) = 0 и f″(x 0) 0. Тогда функция f(х) имеет в точке х0 минимум при f″(x 0) > 0 и максимум при f″(x 0)

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-19.jpg" alt="> Второе правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область"> Второе правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область определения функции D(y). 2. Найти производную f′(x). 3. Найти критические точки функции, в которых f′(x) = 0. 4. Найти вторую производную f″(x). 5. Вычислить значения производной f″(x) в каждой из найденных критических точек и определить характер экстремумов. 6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-20.jpg" alt=">Пример 5. Исследовать на экстремум функцию у = х3"> Пример 5. Исследовать на экстремум функцию у = х3 – 3 х2. Решение 1. D(y) = R. 2. у′ = 3 х2 – 6 х. 3. у′ = 0 3 х2 – 6 х = 0 или х = 2 - критические точки (обе принадлежат D(y)). 4. у″ = 6 х – 6. 5. у″(0) = – 6 0 х = 2 – точка минимума. 6.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-21.jpg" alt="> Вопрос 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Пусть функция у ="> Вопрос 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда по теореме Вейерштрасса на этом отрезке функция f(х) достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция f(х) может принять в точке х0 [а; b]. Возможны три случая: 1) х0 = а, 2) х0 = b, 3) х0 (а; b).

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-22.jpg" alt=">Если х0 (а; b), то точку х0 следует искать среди критических точек данной функции."> Если х0 (а; b), то точку х0 следует искать среди критических точек данной функции. Пусть {х1, х2, …, хn}- множество критических точек функции f(х) на отрезке [а; b]. 1. Наибольшее значение функции f(х) на отрезке [а; b] определяется как 2. Наименьшее значение функции f(х) на отрезке [а; b] определяется как

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-23.jpg" alt="> Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(х) на "> Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(х) на отрезке [а; b] 1. Найти критические точки функции f(х) на интервале (а; b). 2. Вычислить значения функции f(х) в найденных критических точках. 3. Вычислить значения функции f(х) на концах отрезка. 4. Среди всех полученных значений функции выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-24.jpg" alt=">Замечание 1. Если функция f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку"> Замечание 1. Если функция f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. 2. Если функция f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом конце.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-25.jpg" alt=">Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 х4 + 4"> Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 х4 + 4 х3 + 1 на отрезке [‒ 2; 1]. Решение 1. у′ = 12 х3 + 12 х2 = 12 х2(х + 1). у′ = 0 12 х2(х + 1) = 0 х = 0 и х = – 1 – критические точки (обе принадлежат отрезку [‒ 2; 1]). 2. у(0) = 1; у(– 1) = 3 – 4 + 1 = 0. 3. а = ‒ 2, b = 1 у(‒ 2) = 48 ‒ 32 + 1 = 17; у(1) = 3 + 4 + 1 = 8. 4.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-26.jpg" alt=">Пример 7. Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (О 2). Требуется"> Пример 7. Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (О 2). Требуется найти концентрацию О 2, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью. Решение В условиях практической необратимости скорость реакции 2 NO + О 2 = 2 NO 2 выражается формулой υ = kx 2 y, где х – концентрация NO в любой момент времени, у – концентрация O 2, k – константа скорости реакции, не зависящая от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-27.jpg" alt=">Концентрацию газов будем выражать в объемных процентах. В этом случае получим у ="> Концентрацию газов будем выражать в объемных процентах. В этом случае получим у = 100 – х, υ = kx 2(100 – х) ≡ υ(х). По условию задачи 0

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-28.jpg" alt=">Найдем значения функции υ(х) на концах отрезка и в критической точке х = 200/3:"> Найдем значения функции υ(х) на концах отрезка и в критической точке х = 200/3: υ(0) = υ(100) = 0, υ(200/3) > 0. Следовательно, скорость реакции υ(х) наибольшая, когда х ≈ 66, 67% и у ≈ 100 – 66, 67 ≈ 33, 33%.

I. Цели и задачи занятия

1. Выработать навыки исследования функций на монотонность и экстремумы с помощью первой производной.

2. Показать обучающимся важность данной темы в курсе изучаемой дисциплины.

3. Воспитывать у обучающихся настойчивость в достижении поставленной цели.

II. План проведения и расчет учебного времени

III. Учебно-материальное обеспечение

Классная доска, раздаточный материал, планшет, видеопроектор, экран.

IV. Методические материалы

К проведению практического занятия

Во вводной части занятия (5 мин.) после объявления темы и целей практического занятия целесообразно изложить последовательность обсуждения учебных вопросов.

Первый учебный вопрос (10 мин).

Монотонность и экстремумы.

При изложении первого учебного вопроса следует напомнить обучающимся понятие монотонной функции, необходимое и достаточное условия существования экстремума в точке.

Функция называется возрастающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если => (если => – неубывающая).

Функция называется убывающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если => (если => – невозрастающая).

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными (строго монотонными). Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Признаки монотонности: Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то () для .

Геометрическое утверждение означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с (т.к. => – острый).

Точками экстремума функции являются точки максимума и минимума.

Необходимое условие экстремума: Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если функция дифференцируема на интервале и () для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (т.е. подозрительными на экстремум, в них возможен экстремум, но может и не быть).

Первое достаточное условие существование экстремума: Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума, с «–» на «+», то – точка минимума (если знак не меняется – экстремума нет).

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы:

1. Найти производную функции .

2. Найти все критические точки из области определения функции, для этого:

а) – найти корни, которые являются внутренними точками области определения;

б) найти значения аргумента, при которых производная не существует.

3. Установить знаки производной функции при переходе через критические точки и выписать точки экстремума.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Второе достаточное условие существование экстремума: Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

Моното́нная фу́нкция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной . Монотонная функция - это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция Тогда

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Определение экстремума

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f "(x) > 0

(f " (x) < 0).

Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f "(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f " (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f " (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

7. Интервалы выпуклости, вогнутости функции .Точки перегиба.

График функции y =f(x) называется выпуклым на интервале (a; b) , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y =f(x) называется вогнутым на интервале (a; b) , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c) . Примеры. Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема . Пусть y =f(x) дифференцируема на (a; b) . Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ""(x ) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ""(x ) > 0 – вогнутый. Доказательство . Предположим для определенности, что f ""(x ) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M 0 с абсциссой x 0  (a ; b ) и проведем через точку M 0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Точка перегиба функции

У этого термина существуют и другие значения, см. Точка перегиба .

Точка перегиба функции внутренняя точкаобласти определения , такая чтонепрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, иявляется одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Неофициальное

В этом случае точка являетсяточкой перегиба графика функции, то есть график функции в точке«перегибается» черезкасательную к нему в этой точке: при касательная лежит под графиком, а при- над графиком(или наоборот)

Производная помогает также при исследовании функции на возрастание и убывание. Напомним вначале соответствующее определение.

Определение. Пусть функция определена на промежутке . Говорят, что она возрастает (убывает) на промежутке , если таких, что .

Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и , то возрастает (убывает) на интервале .

Пусть производная функции непрерывна на промежутке . Для исследования ее на возрастание и убывание обычно придерживаются следующего плана:

1) Найти точки из , где . Эти точки называются стационарными.

2) Во всех промежутках, на которые разбивают стационарные точки, определить знак . Для этого достаточно определить знак в одной точке каждого промежутка (знак внутри каждого промежутка не меняется, поскольку в противном случае внутри этого промежутка по теореме Больцано-Коши должен быть нуль производной, что невозможно). Если внутри промежутка , то здесь согласно теореме возрастает. Если , то убывает.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Пример . Исследовать на возрастание и убывание функцию

Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой.

1) . Найдем стационарные точки: . Корнями уравнения являются числа , .

2) Точки , разбивают числовую прямую на три интервала: , , .

На первом интервале возьмем .

Следовательно, на промежутке возрастает. На промежутке возьмем , . Поэтому убывает. На интервале возьмем , . Поэтому на интервале возрастает.

Определение. Пусть функция определена в . Точка называется точкой локального максимума (минимума), если cуществует такая, что

Если неравенства (1) строгие при , то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума). Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и является точкой экстремума, то

Доказательство теоремы не сложно получить из определения производной.

Замечание. Из теоремы следует, что точки экстремума функции нужно искать среди стационарных точек и точек, где производная не существует. Одно из достаточных условий экстремума непосредственно вытекает из следующей теоремы.

Замечание. Необходимое условие не является достаточным. Например, для функции имеем , но точка не является экстремумом, поскольку функция возрастает на всей числовой прямой.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в точке и дифференцируема в . Тогда:

а) если производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой локального максимума;

б) если производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой локального минимума функции .

Заметим, что из теоремы следует, что в предыдущем примере точка является точкой локального максимума, а точка является точкой локального минимума функции .

Часто при решении различных задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения функции на некотором множестве .

Рассмотрим как решается эта задача сначала для случая, когда это отрезок . Пусть функция непрерывна на отрезке и дифферецируема на интервале за исключением, быть может, конечного числа точек. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Из приведенных теорем вытекает следующий план отыскания наибольшего и наименьшего значений функции .

1) Найти производную и нули производной из .

2) Найти значения

а) в нулях производной из ;

б) на концах отрезка ;

в) в точках, где производная не существует.

3) Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Заметим, что находить промежутки возрастания и убывания здесь совсем не обязательно.

Замечание 2. Если является интервалом, полуинтервалом или бесконечным промежутком, то выше приведенным планом пользоваться нельзя. В этом случае для решения задачи о наибольшем и наименьшем значении нужно найти промежутки возрастания и убывания функции, пределы в граничных точках и с помощью не сложного анализа получить ответ.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Найдем промежутки возрастания и убывания. Для этого найдем производную:

Точка разбивает промежуток на два интервала: и . Найдем в этих интервалах знак производной. Для этого вычислим

Таким образом, на полуинтервале функция убывает, а на промежутке возрастает. Поэтому Наибольшего значения не существует, так как . В этом случае пишут: .

Монотонность функции. Экстремумы

Теорема 5.5.(необходимое условие монотонности функции)

Если функция f (x а ; b ), то f ¢(x )³ 0 "х Î(а ; b ). Если функция f (x ) дифференцируема и не возрастает на (а ; b ), то f ¢(x ) £ 0 "х Î(а ; b )

Доказательство : Пусть f (x ) дифференцируема и не убывает на (а ; b ), т.е. "х 1 , х 2 Î(а ; b ): х 1 < х 2 выполняется f (x 1) £ f (x 2). Возьмем любую точку х 0 Î(а ; b ). В силу дифференцируемости функции f (x ) существует

Если Dх > 0, то х 0 +Dх > х 0 и f (x 0 + Dх ) ³ f (x 0), откуда Dу ³ 0, значит, ³ 0.

Если Dх < 0, то х 0 +Dх < х 0 и f (x 0 + Dх ) £ f (x 0), откуда Dу £0, но тогда ³ 0. Таким образом, (согласно одной из теорем о предельном переходе в неравенстве).

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. Проведите это доказательство самостоятельно.

Теорема 5.6.(достаточное условие монотонности)

Если f ¢(x ) > 0 на (а , b ), то f (x ) строго возрастает на этом интервале. Если f ¢(x ) < 0 на (а , b ) то f (x ) строго убывает на этом интервале.

Доказательство : 1) Пусть f ¢(x ) > 0 на (а , b ). Возьмем "х 1 , х 2 Î(а ; b ): х 1 < х 2 . По теореме Лагранжа имеем

),

где х 0 Î(х 1 , х 2). Т.к. f ¢(x 0) > 0, а х 1 < х 2 , т.е. х 2 – х 1 > 0, то f (x 2) – f (x 1) > 0, откуда f (x 2) > f (x 1) – функция возрастает. ЧТД

2) Случай убывания функции доказать самостоятельно.

Теоремы 5.5 и 5.6. нельзя объединить в одно необходимое и достаточное условие. Действительно, условие f ¢(x ) > 0 на (а , b ) не является необходимым условием возрастания функции f (x ), т.к., например, для строго возрастающей функции f (x ) = х 3 выполняется условие f ¢(x ) = 3х 2 ³ 0.

С геометрической точки зрения теорема 5.6 утверждает, что если касательные к графику функции во всех точках интервала образуют острый угол с осью ОХ, то функции возрастающая. Убыванию функции соответствует тупой угол наклона касательной к оси ОХ (рис. 3).

Определение 5.1.

Точка х 0 ÎD(f ) называется точкой минимума функции f (x f (x ) ³ f (x 0). Значение f (x 0) называется минимумом функции.

Точка х 0 ÎD(f ) называется точкой максимума функции f (x ), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f (x ) £ f (x 0). Значение f (x 0) называетсямаксимумом функции.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Если при х ¹ х 0 из окрестности точки х 0 выполняется строгое неравенство f (x ) > f (x 0) или f (x ) < f (x 0), то в этом случае говорят о строгом экстремуме в точке х 0 , в противном случае – о нестрогом. На рисунке в точках А и D строгий максимум, в точках В и С нестрогий минимум.

Может так случиться, что некоторый максимум функции f (x ) окажется меньше ее минимума. Это не противоречит определению, т.к. в нем говорится об окрестности точки экстремума, т.е. о близлежащих к точке экстремума точках области определения функции. Поэтому для точек максимума и минимума используется термин «локальный» экстремум, т.е. связанный с определенным местом.

Теорема 5.7. (необходимое условие экстремума )

Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то первая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство : Пусть, для определенности, х 0 – точка максимума. Тогда для всех х из некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство

Dу = f (x ) – f (x 0) < 0

Рассмотрим односторонние производные функции в точке х 0 . В силу условия Dу < 0 может быть либо конечным, отрицательным числом, либо равен -¥, либо равен 0. Аналогично, либо конечное положительное число, либо +¥, либо 0. Т.е.

,

Отсюда следует, что f ¢(x 0) либо не существует (т.к. f ¢(x 0 +0) ¹ f ¢(x 0 – 0) или бесконечные), либо f ¢(x 0) = 0.

Геометрически теорема 5.7 утверждает, что в точке экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси ОХ, либо параллельна ОУ, либо ее вообще нельзя провести (рис. 4).

Таким образом, из теоремы следует, что точки экстремума следует искать среди точек, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками (первого рода). Точка экстремума обязательно является критической точкой, но не всякая критическая точка может быть точкой экстремума. Например, для функции у = х 3 точка х = 0 – критическая, т.к.

у ¢ (0) = 0,

но точкой экстремума она не является (вспомните график этой функции).

Теорема 5.8 . (достаточное условие экстремума)

Пусть х 0 – критическая точка непрерывной и дифференцируемой в окрестности точки х 0 функции f (x ) . Если при х 0 f ¢(x ) > 0, а при x >х 0 f ¢(x )<0, то х 0 – точка максимума функции. Если при х < x 0 , а при x >х 0 , то х 0 – точка минимума функции.

Доказательство :

Пусть при х 0 f ¢(x )>0, а при x >х 0 f ¢(x )<0. Рассмотрим интервал (а ; b ) – окрестность точки х 0 . Поскольку при х Î(а ; b ) , х 0 выполняется условие f ¢(x )>0, то на интервале (а ; х 0), согласно теореме 5.6, функция возрастает, т.е. f (x )<f (x 0) . А так как при x >х 0 f ¢(x )<0, то на интервале (х 0 ; b ) функция убывает, значит, вновь выполняется неравенство f (x ) < f (x 0). А это значит, что точка х 0 – точка максимума (причем, строгого). ЧТД.

Аналогично доказывается второе утверждение, касающееся точки минимума.

Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y= f (x ) можно, придерживаясь следующего алгоритма:

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную f¢ (x ) заданной функции.

3) Найти критические точки первого рода (точки возможного экстремума) из условия f¢ (x ) = 0 или f¢ (x ) не существует, х ÎD (f ).

4) Разбить область определения D (f ) функции критическими точками на интервалы (внутри этих интервалов производная функции сохраняет знак).

5) Определить знак производной на каждом из полученных интервалов. На тех интервалах, где f¢ (x ) > 0, функция возрастает, а там, где f¢ (x )< 0 – функция убывает.

6) Если при переходе через критическую точку слева направо:

· f¢ (x ) меняет знак с « + » на «–» , то эта точка есть точка максимума функции;

· f¢ (x ) меняет знак с « – » на « + » , то эта точка есть точка минимума функции;

· f¢ (x ) не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.