Необходимое и достаточное условие монотонности. Исследование функции на монотонность и экстремумы

Монотонность функции. Экстремумы

Теорема 5.5.(необходимое условие монотонности функции)

Если функция f (x а ; b ), то f ¢(x )³ 0 "х Î(а ; b ). Если функция f (x ) дифференцируема и не возрастает на (а ; b ), то f ¢(x ) £ 0 "х Î(а ; b )

Доказательство : Пусть f (x ) дифференцируема и не убывает на (а ; b ), т.е. "х 1 , х 2 Î(а ; b ): х 1 < х 2 выполняется f (x 1) £ f (x 2). Возьмем любую точку х 0 Î(а ; b ). В силу дифференцируемости функции f (x ) существует

Если Dх > 0, то х 0 +Dх > х 0 и f (x 0 + Dх ) ³ f (x 0), откуда Dу ³ 0, значит, ³ 0.

Если Dх < 0, то х 0 +Dх < х 0 и f (x 0 + Dх ) £ f (x 0), откуда Dу £0, но тогда ³ 0. Таким образом, (согласно одной из теорем о предельном переходе в неравенстве).

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. Проведите это доказательство самостоятельно.

Теорема 5.6.(достаточное условие монотонности)

Если f ¢(x ) > 0 на (а , b ), то f (x ) строго возрастает на этом интервале. Если f ¢(x ) < 0 на (а , b ) то f (x ) строго убывает на этом интервале.

Доказательство : 1) Пусть f ¢(x ) > 0 на (а , b ). Возьмем "х 1 , х 2 Î(а ; b ): х 1 < х 2 . По теореме Лагранжа имеем

где х 0 Î(х 1 , х 2). Т.к. f ¢(x 0) > 0, а х 1 < х 2 , т.е. х 2 – х 1 > 0, то f (x 2) – f (x 1) > 0, откуда f (x 2) > f (x 1) – функция возрастает. ЧТД

2) Случай убывания функции доказать самостоятельно.

Теоремы 5.5 и 5.6. нельзя объединить в одно необходимое и достаточное условие. Действительно, условие f ¢(x ) > 0 на (а , b ) не является необходимым условием возрастания функции f (x ), т.к., например, для строго возрастающей функции f (x ) = х 3 выполняется условие f ¢(x ) = 3х 2 ³ 0.

С геометрической точки зрения теорема 5.6 утверждает, что если касательные к графику функции во всех точках интервала образуют острый угол с осью ОХ, то функции возрастающая. Убыванию функции соответствует тупой угол наклона касательной к оси ОХ (рис. 3).

Определение 5.1.

Точка х 0 ÎD(f ) называется точкой минимума функции f (x f (x ) ³ f (x 0). Значение f (x 0) называется минимумом функции.

Точка х 0 ÎD(f ) называется точкой максимума функции f (x ), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f (x ) £ f (x 0). Значение f (x 0) называетсямаксимумом функции.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Если при х ¹ х 0 из окрестности точки х 0 выполняется строгое неравенство f (x ) > f (x 0) или f (x ) < f (x 0), то в этом случае говорят о строгом экстремуме в точке х 0 , в противном случае – о нестрогом. На рисунке в точках А и D строгий максимум, в точках В и С нестрогий минимум.

Может так случиться, что некоторый максимум функции f (x ) окажется меньше ее минимума. Это не противоречит определению, т.к. в нем говорится об окрестности точки экстремума, т.е. о близлежащих к точке экстремума точках области определения функции. Поэтому для точек максимума и минимума используется термин «локальный» экстремум, т.е. связанный с определенным местом.

Теорема 5.7. (необходимое условие экстремума )

Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то первая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство : Пусть, для определенности, х 0 – точка максимума. Тогда для всех х из некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство

Dу = f (x ) – f (x 0) < 0

Рассмотрим односторонние производные функции в точке х 0 . В силу условия Dу < 0 может быть либо конечным, отрицательным числом, либо равен -¥, либо равен 0. Аналогично, либо конечное положительное число, либо +¥, либо 0. Т.е.

Отсюда следует, что f ¢(x 0) либо не существует (т.к. f ¢(x 0 +0) ¹ f ¢(x 0 – 0) или бесконечные), либо f ¢(x 0) = 0.

Геометрически теорема 5.7 утверждает, что в точке экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси ОХ, либо параллельна ОУ, либо ее вообще нельзя провести (рис. 4).

Таким образом, из теоремы следует, что точки экстремума следует искать среди точек, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками (первого рода). Точка экстремума обязательно является критической точкой, но не всякая критическая точка может быть точкой экстремума. Например, для функции у = х 3 точка х = 0 – критическая, т.к.

у ¢ (0) = 0,

но точкой экстремума она не является (вспомните график этой функции).

Теорема 5.8 . (достаточное условие экстремума)

Пусть х 0 – критическая точка непрерывной и дифференцируемой в окрестности точки х 0 функции f (x ) . Если при х 0 f ¢(x ) > 0, а при x >х 0 f ¢(x )<0, то х 0 – точка максимума функции. Если при х < x 0 , а при x >х 0 , то х 0 – точка минимума функции.

Доказательство :

Пусть при х 0 f ¢(x )>0, а при x >х 0 f ¢(x )<0. Рассмотрим интервал (а ; b ) – окрестность точки х 0 . Поскольку при х Î(а ; b ) , х 0 выполняется условие f ¢(x )>0, то на интервале (а ; х 0), согласно теореме 5.6, функция возрастает, т.е. f (x )<f (x 0) . А так как при x >х 0 f ¢(x )<0, то на интервале (х 0 ; b ) функция убывает, значит, вновь выполняется неравенство f (x ) < f (x 0). А это значит, что точка х 0 – точка максимума (причем, строгого). ЧТД.

Аналогично доказывается второе утверждение, касающееся точки минимума.

Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y= f (x ) можно, придерживаясь следующего алгоритма:

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную f¢ (x ) заданной функции.

3) Найти критические точки первого рода (точки возможного экстремума) из условия f¢ (x ) = 0 или f¢ (x ) не существует, х ÎD (f ).

4) Разбить область определения D (f ) функции критическими точками на интервалы (внутри этих интервалов производная функции сохраняет знак).

5) Определить знак производной на каждом из полученных интервалов. На тех интервалах, где f¢ (x ) > 0, функция возрастает, а там, где f¢ (x )< 0 – функция убывает.

6) Если при переходе через критическую точку слева направо:

· f¢ (x ) меняет знак с « + » на «–» , то эта точка есть точка максимума функции;

· f¢ (x ) меняет знак с « – » на « + » , то эта точка есть точка минимума функции;

· f¢ (x ) не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция постоянна (немонотонна) , если она не убывает и не возрастает.

Теорема (необходимый признак монотонности):

1. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале возрастает, то ее производная на этом интервале неотрицательна, т.е .

2. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале убывает, то ее производная на этом интервале неположительна, .

3. Если функция не изменяется, то ее производная равна нулю, т.е. .

Теорема (достаточный признак монотонности):

Пусть f(x) непрерывна на интервале (a;b) и имеет производную во всех точках, тогда:

1. Если внутри (a;b) положительна, то f(x) возрастает.

2. Если внутри (a;b) отрицательна, то f(x) убывает.

3. Если , то f(x) постоянна.

Исследование функции на экстремумы.

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум - точкой максимума.

1. Найдите область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найдите производную .

3. Найдите критические точки, т.е. точки в которых производная функции равна нулю или не существует.

4. В каждом из интервалов на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции.

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точной максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Записать результат исследования функции промежутки монотонности и экстремума.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.

1. Найти производную .

2. Найти на данном отрезке критические точки.

3. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Выпуклость и вогнутость функции.

Дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках.

Линии, образуемые выпуклостью вверх, называются выпуклыми, а образуемые выпуклостью вниз - вогнутыми.

Геометрически ясно, что выпуклая дуга лежит под любой своей касательной, а вогнутая дуга – над касательной.

Точки перегиба функции.

Точкой перегиба называется такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой.

В точке перегиба касательная пересекает линию, в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.

Интервалу убывания первой производной соответствует участок выпуклости графика функции, а интервалу возрастания – участок вогнутости.

Теорема (о точках перегиба):

Если вторая производная всюду в интервале отрицательна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, выпуклая. Если вторая производная всюду в интервале положительна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, вогнутая.

Необходимый признак точки перегиба:

Если – абсцисса точки перегиба, то либо , либо не существует.

Достаточный признак точки перегиба:

Точка есть точка перегиба линии y = f(x), если , а ;

При слева от нее лежит участок выпуклости, справа – участок вогнутости, а при слева лежит участок вогнутости, а справа – выпуклости.

Асимптоты.

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Виды асимптот:

1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одна из прямых значений или равно или .

I. Цели и задачи занятия

1. Выработать навыки исследования функций на монотонность и экстремумы с помощью первой производной.

2. Показать обучающимся важность данной темы в курсе изучаемой дисциплины.

3. Воспитывать у обучающихся настойчивость в достижении поставленной цели.

II. План проведения и расчет учебного времени

III. Учебно-материальное обеспечение

Классная доска, раздаточный материал, планшет, видеопроектор, экран.

IV. Методические материалы

К проведению практического занятия

Во вводной части занятия (5 мин.) после объявления темы и целей практического занятия целесообразно изложить последовательность обсуждения учебных вопросов.

Первый учебный вопрос (10 мин).

Монотонность и экстремумы.

При изложении первого учебного вопроса следует напомнить обучающимся понятие монотонной функции, необходимое и достаточное условия существования экстремума в точке.

Функция называется возрастающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если => (если => – неубывающая).

Функция называется убывающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если => (если => – невозрастающая).

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными (строго монотонными). Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Признаки монотонности: Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то () для .

Геометрическое утверждение означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с (т.к. => – острый).

Точками экстремума функции являются точки максимума и минимума.

Необходимое условие экстремума: Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если функция дифференцируема на интервале и () для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (т.е. подозрительными на экстремум, в них возможен экстремум, но может и не быть).

Первое достаточное условие существование экстремума: Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума, с «–» на «+», то – точка минимума (если знак не меняется – экстремума нет).

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы:

1. Найти производную функции .

2. Найти все критические точки из области определения функции, для этого:

а) – найти корни, которые являются внутренними точками области определения;

б) найти значения аргумента, при которых производная не существует.

3. Установить знаки производной функции при переходе через критические точки и выписать точки экстремума.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Второе достаточное условие существование экстремума: Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

№ 44.20. Определите промежутки монотонности функции
 критических точек нет

№ 44.21. Определите промежутки монотонности функции
Найдем стационарные точки, решив уравнение

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.22. Определите промежутки монотонности функции
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.23. Определите промежутки монотонности функции
 критических точек нет
Найдем стационарные точки, решив уравнение

 критических точек нет
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.24. Определите промежутки монотонности функции
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.25. Определите промежутки монотонности функции
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.48. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер
 критических точек нет
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.49. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер
 критических точек нет
Найдем стационарные точки, решив уравнение

 критических точек нет
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.50. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер
 критических точек нет
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.51. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер
Найдем стационарные точки, решив уравнение

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.52. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.53. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер
Найдем стационарные точки, решив уравнение

 критических точек нет
Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.54. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер
Найдем стационарные точки, решив уравнение

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.61. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер
Найдем стационарные точки, решив уравнение

Общая схема исследования функции
Найти область определения функции. Выяснить характер поведения функции в граничных точках области определения.
Выяснить обладает ли функция особенностями: четность, нечетность, периодичность.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Выяснить, имеет ли кривая вертикальные и наклонные асимптоты.
Найти интервалы возрастания и убывания функции. Исследовать функцию на экстремум.
Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции. Найти точки перегиба.
Построить график.

Производная помогает также при исследовании функции на возрастание и убывание. Напомним вначале соответствующее определение.

Определение. Пусть функция определена на промежутке . Говорят, что она возрастает (убывает) на промежутке , если таких, что .

Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и , то возрастает (убывает) на интервале .

Пусть производная функции непрерывна на промежутке . Для исследования ее на возрастание и убывание обычно придерживаются следующего плана:

1) Найти точки из , где . Эти точки называются стационарными.

2) Во всех промежутках, на которые разбивают стационарные точки, определить знак . Для этого достаточно определить знак в одной точке каждого промежутка (знак внутри каждого промежутка не меняется, поскольку в противном случае внутри этого промежутка по теореме Больцано-Коши должен быть нуль производной, что невозможно). Если внутри промежутка , то здесь согласно теореме возрастает. Если , то убывает.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Пример . Исследовать на возрастание и убывание функцию

Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой.

1) . Найдем стационарные точки: . Корнями уравнения являются числа , .

2) Точки , разбивают числовую прямую на три интервала: , , .

На первом интервале возьмем .

Следовательно, на промежутке возрастает. На промежутке возьмем , . Поэтому убывает. На интервале возьмем , . Поэтому на интервале возрастает.

Определение. Пусть функция определена в . Точка называется точкой локального максимума (минимума), если cуществует такая, что

Если неравенства (1) строгие при , то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума). Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и является точкой экстремума, то

Доказательство теоремы не сложно получить из определения производной.

Замечание. Из теоремы следует, что точки экстремума функции нужно искать среди стационарных точек и точек, где производная не существует. Одно из достаточных условий экстремума непосредственно вытекает из следующей теоремы.

Замечание. Необходимое условие не является достаточным. Например, для функции имеем , но точка не является экстремумом, поскольку функция возрастает на всей числовой прямой.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в точке и дифференцируема в . Тогда:

а) если производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой локального максимума;

б) если производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой локального минимума функции .

Заметим, что из теоремы следует, что в предыдущем примере точка является точкой локального максимума, а точка является точкой локального минимума функции .

Часто при решении различных задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения функции на некотором множестве .

Рассмотрим как решается эта задача сначала для случая, когда это отрезок . Пусть функция непрерывна на отрезке и дифферецируема на интервале за исключением, быть может, конечного числа точек. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Из приведенных теорем вытекает следующий план отыскания наибольшего и наименьшего значений функции .

1) Найти производную и нули производной из .

2) Найти значения

а) в нулях производной из ;

б) на концах отрезка ;

в) в точках, где производная не существует.

3) Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Заметим, что находить промежутки возрастания и убывания здесь совсем не обязательно.

Замечание 2. Если является интервалом, полуинтервалом или бесконечным промежутком, то выше приведенным планом пользоваться нельзя. В этом случае для решения задачи о наибольшем и наименьшем значении нужно найти промежутки возрастания и убывания функции, пределы в граничных точках и с помощью не сложного анализа получить ответ.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Найдем промежутки возрастания и убывания. Для этого найдем производную:

Точка разбивает промежуток на два интервала: и . Найдем в этих интервалах знак производной. Для этого вычислим

Таким образом, на полуинтервале функция убывает, а на промежутке возрастает. Поэтому Наибольшего значения не существует, так как . В этом случае пишут: .