Спектральная плотность. Спектральная плотность сигнала
Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако, как указывалось, можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.
Обобщенная формула Рэлея. Докажем важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов.
Пусть два сигнала в общем случае комплекснозначные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:
Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например через его спектральную плотность:
Здесь внутренний интеграл представляет собой, очевидно, спектральную плотность сигнала . Поэтому
Полученное соотношение представляет собой обобщенную формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.
Обобщение понятия спектральной плотности.
Будем считать, что сигнал представляет собой абсолютно интегрируемую функцию. Тогда его преобразование Фурье - обычная классическая функция частоты. Пусть наряду с этим сигнал не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и в обычном классическом смысле преобразование Фурье не существует. Однако можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что является обобщенной функцией в том смысле, который был установлен в § 1.2. Для этого в соответствии с обобщенной формулой Рэлея достаточно положить, что - функционал, который, действуя на известную функцию , дает следующий результат:
Приемы вычисления спектров неинтегрируемых сигналов целесообразно рассмотреть на конкретных примерах.
Спектральная плотность постоянного во времени сигнала. Простейший неинтегрируемый сигнал - это постоянная величина и . Предположим, что - произвольный вещественный абсолютно интегрируемый сигнал с известной спектральной плотностью
Раскрывая формулу (2.43), имеем
Но, как легко заметить,
Отсюда на основании фильтрующего свойства дельтафункции приходим к выводу, что равенство (2.43) возможно лишь при условии, что
Физический смысл полученного результата нагляден - неизменный во времени сигнал имеет спектральную составляющую только на нулевой частоте.
Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала.
Пусть - комплексный экспоненциальный сигнал с заданной вещественной частотой Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, поскольку при функция s(t) не стремится ни к какому пределу. Преобразование Фурье этого сигнала, рассматриваемое в обобщенном смысле, должно удовлетворять соотношению
Отсюда искомая спектральная плотность S (со), выражается таким образом:
Отметим следующее:
1. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки где она имеет дельта-особенность.
2. Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки и сосредоточивается в области либо положительных, либо отрицательных частот.
Спектральная плотность гармонических колебаний. Пусть По формуле Эйлера
Найденный выше спектр комплексного экспоненциального сигнала, а также свойство линейности преобразования Фурье позволяют сразу записать выражение спектральной плотности косинусоидального сигнала:
Читатель может легко проверитьсамостоятельно, что для синусоидального сигнала справедливо соотношение
Следует заметить, что выражение (2.46) представляет собой четную, а выражение (2.47) - нечетную функцию частоты.
Спектральная плотность произвольного периодического сигнала.
Ранее периодические сигналы исследовались методами теории рядов Фурье. Теперь можно расширить представления об их спектральных свойствах, описав периодические сигналы с помощью преобразования Фурье.
Периодический сигнал, заданный своим рядом Фурье в комплексной форме. На основании формулы (2.45), принимая во внимание свойство линейности преобразования Фурье, сразу получаем выражение спектральной плотности такого сигнала:
Соответствующий график спектральной плотности своей конфигурацией повторяет обычную спектральную диаграмму периодического сигнала. График образован дельта-импульсами в частотной области, которые располагаются в точках с координатами
Спектральная плотность функции включения.
Вычислим спектральную плотность функции включения , которую для простоты определим во всех точках, кроме точки t = 0 [ср. с (1.2)]:
Заметим прежде всего, что функция включения получается путем предельного перехода из экспоненциального видеоимпульса:
Поэтому можно попытаться получить спектральную плотность функции включения, выполнив предельный переход при а- О в формуле спектральной плотности экспоненциального колебания:
Непосредственный переход к пределу, согласно которому справедлив при всех частотах, кроме значения , когда необходимо более тщательное рассмотрение.
Прежде всего выделим в спектральной плотности экспоненциального сигнала вещественную и мнимую части:
Можно убедиться в том, что
Действительно, предельное значение этой дроби при любых обращается в нуль, и в то же ремя
независимо от величины а, откуда и следует сделанное утверждение.
Итак, получено взаимно однозначное соответствие функции включения и ее спектральной плотности:
Дельта-особенность при свидетельствует о том, что функция включения имеет постоянную составляющую, равную 1/2.
Спектральная плотность радиоимпульса.
Как известно, радиоимпульс задается в виде произведения некоторого видеоимпульса играющего роль огибающей, и неинтегрируемого гармонического колебания: .
Чтобы найти спектральную плотность радиоимпульса, будем полагать известной функцию - спектр его огибающей. Спектр косинусоидального сигнала с произвольной начальной фазой получается путем элементарного обобщения формулы (2.46):
Спектр радиоимпульса есть свертка
Приняв во внимание фильтрующее свойство дельтафункции, получаем важный результат:
Рис. 2.8 иллюстрирует трансформацию спектра видеоимпульса при умножении его на высокочастотный гармонический сигнал.
Рис. 2.8. Частотные зависимости модуля спектральной плотности: а - видеоимпульса; б - радиоимпульса
Видно, что переход от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видеоимпульса в область высоких частот - вместо единственного максимума спектральной плотности при наблюдаются два максимума при абсолютные значения максимумов сокращаются вдвое.
Отметим, что графики на рис. 2.8 отвечают ситуации, когда частота значительно превышает эффективную ширину спектра видеоимпульса (именно такой случай обычно и реализуется на практике). При этом не наблюдается ощутимого «перекрытия» спектров, отвечающих положительным и отрицательным частотам. Однако может оказаться, что ширина спектра видеоимпульса велика настолько (при коротком импульсе), что выбранное значение частоты не устраняет эффект «перекрытия». Как следствие, профили спектров видеоимпульса и радиоимпульса перестают быть подобными.
Пример 2.3. Спектральная плотность прямоугольного радиоимпульса.
Для простоты положим начальную фазу нулевой и запишем математическую модель радиоимпульса в виде
Зная спектр соответствующего видеоимпульса [см. формулу (2.20)], на основании (2.50) находим искомый спектр:
На рис. 2.9 изображены результаты расчета спектральной плотности по формуле (2.51) для двух характерных случаев,
В первом случае (рис. 2.9,а) импульс огибающей содержит 10 периодов высокочастотного заполнения частота здесь достаточно высока для того, чтобы избежать «перекрытия». Во втором случае (рис. 2.9, б) радиоимпульс состоит всего лишь из одного периода заполнения Наложение составляющих, которые соответствуют областям положительных и отрицательных частот, приводит к характерной асимметрии лепестковой структуры графика спектральной плотности радиоимпульса.
Рис. 2.9. Графики спектральных плотностей радиоимпульса с прямоугольной огибающей: а - при ; б - при
В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье .
Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:
| X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . {\displaystyle X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.} | (1) |
Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия
| E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (f) | 2 d f . {\displaystyle E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.} | (2) |
Функция S x (f) = | X (f) | 2 {\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}} характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.
Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) {\displaystyle x(t)} , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:
| S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . {\displaystyle S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)e^{-i2\pi f\tau }d\tau .} | (3) |
Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) {\displaystyle k_{x}(\tau)} :
| k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . {\displaystyle k_{x}(\tau)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.} | (4) |
Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {\displaystyle f=0} и τ = 0 {\displaystyle \tau =0} , имеем
| S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , {\displaystyle S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)d\tau ,} | (5) |
| σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . {\displaystyle \sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.} | (6) |
Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f {\displaystyle S_{x}(f)df} можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 {\displaystyle f-df/2} до f + d f / 2 {\displaystyle f+df/2} . Если понимать под x (t) {\displaystyle x(t)} случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}} – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} называют спектром мощности случайного процесса.
Свойства спектральной плотности
- Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:
| S x (f) ≥ 0 {\displaystyle S_{x}(f)\geq 0} . | (7) |
- Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:
| S x (− f) = S x (f) {\displaystyle S_{x}(-f)=S_{x}(f)} . | (8) |
ных процесса друг с другом никак не связаны (статистически независимы), то
Rxy (τ) = 0
6.3 Спектральная плотность случайного процесса
Понятие о спектральной плотности связано с разложением стационарного случайного процесса на гармонические составляющие, подобные обычному разложению в ряд Фурье. Это позволяет при расчете автоматических систем, использовать частотные методы анализа.
Спектральная плотность S x (ω) случайного процессаx(t) характеризует спектральный (частотный) состав случайной величины и представляет собой частотную функцию для средних значений квадратов амплитуд гармоник, на которые может быть разложен случайный процесс.
Для стационарного случайного процесса спектральная плотность S x (ω) может быть получена как изображение Фурье корреляционной функцииR x (τ)
Sx (ω )= ∫ Rx (τ )å− j ωτ dτ
С помощью обратного преобразования Фурье можно определить корреляционную функцию через спектральную плотность
Rx (τ )= | ∞ Sx (ω )åj ωτ dω |
||
На рисунке 6.3 показаны графики корреляционной функции R x (τ) (смотри рисунок 6.2) и соответствующие им графики спектральной плотности S(ω). Это соотношение аналогично соотношению между переходной и частотной характеристикой системы: чем продолжительнее переходный процесс, тем уже его частотная характеристика. При рассмотрении случайных процессов: чем шире график корреляционной функции (кривые 3, 4) , тем уже график спектральной плотности и наоборот.
Рисунок 6. 3 – Корреляционные функции и соответствующие спектральные плотности центрированных стационарных процессов
В предельном случае, когда случайная величина x(t) является постоянной величиной и корреляционная функция тоже постоянная и равнаD x = a 2
(прямая 1), то спектральная плотность существует только при нулевой частоте и равна
Sx (ω )= 2π a2 δ (ω )
В другом предельном случае, когда случайная величина x(t) является абсолютно случайным процессом (белый шум), то корреляционная функция существует только приτ = 0 (прямая 2). Спектральная плотность такого случайного процесса равномерно распределена по всем частотам и равна
Sx (ω )= C2
Для непериодического случайного процесса (кривые 3, 4) корреляционная функция аппроксимируется R (τ )= D x å − α τ , тогда спектральная плотность определяется
Sx (ω )= 2D x α
α 2+ ω 2
Если случайная величина x(t) имеет периодическую составляющую при ω = ω0 , то спектральная плотность при частотах ω = + ω0 и ω = - ω0 будет иметь соответствующие пики (кривая 5). Корреляционная функция такого слу-
чайного процесса аппроксимируется | R(τ ) = Dx å− α | cos βτ . Спектральная |
|||||||||
плотность определяется | Dx α | Dx α | |||||||||
S÷ (ω )= | |||||||||||
α2 + (ω+ β) 2 | α2 + (ω− β) 2 |
||||||||||
Одним из основных параметров работы системы при случайных воздействиях является среднеквадратичное отклонение, которое характеризует отклонение случайной величины от его среднего значения. Если известна спектральная плотность сигнала S(ω) , то приτ = 0 можно определить дисперсию
Rx (0)= | ∫ Sx (ω )åj ω 0 dω = | ∫ Sx (ω ) dω |
|||
Тогда среднеквадратичное отклонение (СКО)
σ x = Dx = Rx (0)
По полученным основным характеристикам случайного процесса исследование автоматической системы на статистическую точность работы проводят
в следующей последовательности:
- по заданному случайному процессу определяют его корреляционную
функцию R x (τ) ;
- по корреляционной функции R x (τ) определяют спектральную плотность сигнала на входе системыS x (ω) ;
- по известной частотной передаточной функции системы W(jω) определяют спектральную плотность на выходе системыS y (ω) ;
- по полученной спектральной плотности на выходе системы S y (ω) определяют корреляционную функцию выходного сигналаR y (τ) ;
По корреляционной функции выходного сигнала R y (τ) определяют дисперсиюD y = R y (0) и среднеквадратичное отклонение регулируемой величины.
6.4 Анализ точности работы линейной системы при случайном воздействии
Если входное воздействие, приложенное к линейной системе, является случайным стационарным процессом x(t), то выходная величина y(t) то же будет случайным стационарным процессом. При этом предполагается, что рассматриваемая система устойчива. Ясно, что в этих условиях судить о точности работы системы нужно не по мгновенным значениям выходной величины, а по некоторым средним значениям, которые вычисляются по спектральной плотности выходного сигналаS y (ω) .
Пусть спектральная плотность входного сигнала S x (ω) , тогда спектральная плотность выходного сигналаS y (ω) определяется (без вывода)
S y (ω )= W (j ω )2 S x (ω )
Спектральная плотность выходного сигнала автоматической системы равна спектральной плотности входного сигнала умноженного на квадрат модуля частотной характеристики исследуемой системы.
Закон распределения случайной величины при прохождении ее через автоматическую систему в общем случае может меняться. Но если на входе линейной системы закон распределения нормальный, то и на выходе системы можно принять нормальное распределение.
Пусть математическое ожидание m x стационарного процессаx(t), на
входе линейной системы не равно нулю, тогда на основании принципа суперпозиции для линейных систем этот случайный процесс на входе системы можно представить
x1 (t)= mx + xo c (t),
где x o (t ) - центрированный случайный процесс на входе системы.
В этом случае математическое ожидание на выходе системы m y определяется, еслиm x умножить на частотную передаточную функцию приω =0
my = W(0) mx
Когда на систему одновременно действует случайный сигнал управления x a (t) и случайный сигнал возмущенияx n (t), то спектральная плотность ошибки регулированияS oш (ω) определяется
Sîø (ω )= Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω ),
где S a (ω) - спектральная плотность сигнала управления;S n (ω) - спектральная плотность сигнала возмущения;
W a (jω) - передаточная функция по ошибке регулирования;W n (jω) - передаточная функция по возмущению.
Дисперсия ошибки регулирования D y и общее среднеквадратичное ее значениеσ у определяется по формулам
Dy = 1 / 2π ∞ ∫ [ Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω )] dω ,
При подаче на вход системы случайных сигналов управления и возмущения общая среднеквадратичная ошибка определяется по теореме Пифагора по СКО управления и СКО возмущения
Отметим преимущества и недостатки оценки точности работы системы по среднеквадратичной ошибке регулирования (СКО). С помощью СКО можно оценить вероятность появления ошибки сверху. Так оценивает усредненное, статистическое значение ошибки, а не величина мгновенного значения ошибки. Поэтому для систем, где недопустимы большие ошибки (хотя и кратковременные) применяется другой метод расчета. Кроме этого, полученное СКО справедливо для больших промежутков времени (при T → ∞ ), а ошибки, связанные с кратковременным переходным процессом, практически не учитываются.
Если спектральные плотности и частотные передаточные функции заданы в виде дробно-рациональных функций от ω, то можно сразу определить дисперсию выходного сигналаD y , образно говоря, минуя определенияS y (ω) выходного сигнала иR y (τ) выходного сигнала. Значение дисперсии выходного сигнала определяется по табличному интегралуJ n в зависимости от порядка характеристического уравнения системы. Для этого подинтегральное выражение приводится к табличному виду
1 ∞ | 1 ∞ G(ω )dω | |||||||||||
J n= | W(jω ) | S(ω )dω = | −∫ ∞ | |||||||||
H(jω ) | ||||||||||||
где G(ω )= b0 ω 2n − 2 + b1 ω 2n − 4 + ...+ bn − 1 ; H(jω )= a0 (jω )n + a1 (jω )n − 1 + ...+ an.
Покажем формулы вычисления табличного интеграла по коэффициентам передаточной функции
J 1= | − b 0 a 2 + b 1 a 0 ; |
|||||||
2a0 a1 | 2a0 a1 a2 |
|||||||
J 3= | − b 0a 2a 3+ b 1a 0a 3− b 2a 0a 1 | |||||||
2a0 a3 (a1 a2 − a0 a3 ) | ||||||||
Для более высокой степени характеристического уравнения вычисления этих табличных интегралов становится громоздким. Поэтому используются другие методы статистического анализа.
Параметры системы, выбранные по критерию минимизации СКО необходимо оценить по возможности их технической реализации и, кроме этого, оценить изменившиеся динамические характеристики системы.
Пример 6.1 –По критерию минимизации СКО Определить оптимальное значение коэффициента усиленияK y для заданной линейной следящей системы (рисунок 6.4). На вход системы поступает случайный сигнал, управляющая
спектральная плотность которого S α = (2 D γ α ) . Одновременно на вход посту-
α 2+ ω 2
пают случайные помехи в виде белого шума со спектральной плотностью S n (ω) =С 2
Определяем частотную | передаточную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию по ошибке управления | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W (jω )= | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + Ky | / jω jω + Ky | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рисунок 6.4 – Структурная | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
схема системы к примеру 6.1 | 2 Частотная передаточная функция замк- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нутой системы | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W (jω )= | K y / | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + Ky | / jω jω + Ky | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 Дисперсия ошибки регулирования по управлению | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 ∞ | 2 2D γ α | 2Dγ α ∞ | ω2 d ω | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 π−∞ ∫ | 2 π−∞ ∫ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
jω + Ky | α 2+ ω 2 | (jω + Ky )(α + jω ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2Dγ α ∞ | ω2 d ω | α J | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 π−∞ ∫ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(j ω )2 | + (K y +α ) j ω +K y α | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному интегралу J 2
G(ω) = ω2 , | +α ) j ω +K | b0 = 1, b1 = 0, | |||||||||||||||||||||
H(ω )= (jω ) 2 + | 1 , a | + α , a | |||||||||||||||||||||
− b a | K y α | ||||||||||||||||||||||
J 2= | |||||||||||||||||||||||
2(Ky + α ) Ky α | 2(Ky | +α ) | |||||||||||||||||||||
2a0 a1 a2 | |||||||||||||||||||||||
5 Это значение J 2 подставим в формулуD ош | |||||||||||||||||||||||
D îø= | 2Dγ α | Dγ α | |||||||||||||||||||||
2(Ky + α ) = | |||||||||||||||||||||||
K y + α | |||||||||||||||||||||||
6 Дисперсия ошибки регулирования от случайных помех в виде белого шума
2 ∞ | |||||||||||||||||
D пом= | −∞∫ | С2 dω = | −∞∫ | С2 Ky 2 J1 |
|||||||||||||
jω + Ky | jω + Ky | ||||||||||||||||
7 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному интегралу J 1
H(ω )= jω + Ky , a0 = 1, a1 = Ky |
|||||
J 1= | |||||
2a0 a1 | 2K y |
||||
Это значение J 1 подставим в формулуD ïîì | ||||||||||||||||
С2 Ky | С2 Ky | |||||||||||||||
2K y | ||||||||||||||||
Дисперсия суммарной ошибки D общ | ||||||||||||||||
D α | С2 Ky | |||||||||||||||
D +D |
||||||||||||||||
K y + α | ||||||||||||||||
10 Для определения оптимального значения K y , при котором суммарная ошибка минимальная, построим графикиD ош , D пом , D общ в зависимости отK y (рисунок 6.5).
D ошD помD общ
D общ
D пом
D ош
К оптК у
Рисунок 6.5 – Графическое определение оптимального значения K y к примеру 6.1
По графикам видно, что с увеличением K y дисперсия ошибки по управлениюD ош уменьшается, а дисперсия ошибки от помехD пом увеличивается. При большем коэффициенте усиления помехи свободнее проходят через систему. В зависимости от степени неопределенности сигнала управления (коэффициент α) и от интенсивности помех (коэффициент С2 ) можно получить разное оптимальное значениеK y .
6.5 Особенности расчета случайного процесса в нелинейной системе
Если случайный сигнал проходит нелинейное звено, то расчет такой системы существенно усложняется по сравнению с расчетом прохождения случайного сигнала через линейное звено. На рисунке 6.6 показано прохождение случайного сигнала через нелинейный элемент с насыщением F(x).
а - прохождение случай- |
|||
ного сигнала через нели- |
|||
нейный элемент; |
|||
б - случайный входной |
|||
в - нелинейный элемент с |
|||
насыщением; |
|||
г - выходной сигнал по- |
|||
сле нелинейного элемен- |
|||
б а
Рисунок 6.6 – Прохождение случайного сигнала через нелинейный элемент
В данном примере за счет участка насыщения случайный сигнал не полностью проходит через нелинейный элемент и в результате дисперсия выходного сигнала или «коридор», в пределах которого размещаются выходной сигнал, будет меньше. На рисунке 6.6 показано, что часть случайного входного сигнала попала на зону насыщения и не прошла через нелинейное звено. Это привело к изменению дисперсии выходного сигнала (она уменьшается) и к уменьшению его среднего значения. Уточняем, уменьшение этих параметров выходного случайного сигнала произошло не за счет коэффициента усиления, а из-за нелинейности характеристики элемента в виде зоны насыщения.
Рассмотрим вначале структурную схему линейной системы управления (рисунок 6.7), на вход который подается случайный сигнал
x(t) = mx (t)+ xo (t)
где m x - математическое ожидание входного сигнала;
x ° (t) - помехи и шумы входного сигнала, которые характеризуются дисперсией(D x ).
В этой линейной системе, используя принцип суперпозиции, можно отдельно и независимо друг от друга определить математическое ожидание вы-
ходного сигнала m
my (t)
yт (t)
x° (t)
y° (t)
y q (t) - действительный выходной
y т (t) -теоретически рассчитанный выходной сигнал
Рисунок 6.7 – Прохождение случайного сигнала через линейную систему управления
yq (t) |
|||
mx (t) | my (t) |
||
K0 (mx , σx )W(0) | |||
ym (t)
K1 (mx , σx )W(p)
Рисунок 6.8 – Прохождение случайного сигнала через нелинейное звено
сунок 6.7). Этот расчет показан в подразделе 6.4 и в примере 6.1.
Если такой же случайный сигнал будет подан на нелинейную систему управления (рисунок 6.8), то математическое ожидание на выходе системы зависит от изменения дисперсии, а изменение дисперсии зависит от изменения математического ожидания. Эти две характеристики случайного процесса становится взаимно связанны. Обозначим через K 0 (m x , σ x ) эту взаимозависимость математического ожидания от дисперсии входного сигналаD x. . При расчете удобнее вместо дисперсииD x использовать среднеквадратичное отклонениеσ x .
Соответственно обозначим через K 1 (m x , σ x ) взаимосвязь среднеквадратичного отклонения от математического ожидания. Тогда
ym (t)= my + yo (t)= K0 mx + K1 xo (t)
Для нахождения этих коэффициентов K 0 иK 1 при расчете прохождения сигнала через нелинейное звено используетсяметод стати-
стической линеаризации нелинейного элемента
Метод статистической линеаризации основан на замене нелинейного элемента статистически эквивалентным линеаризованным элементом.
Этот метод статистической линеаризации по общей идее (аналогичен методу гармонической линеаризации.
Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье. В главе 5 были приведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображению Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времени х (с), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде
и проинтегрируем по всем
заменим выражением (11.54):
Величина, находящаяся в квадратных скобках (11.57), как нетрудно видеть, является исходной функцией времени (11.55). Поэтому в результате получается так называемая формула Релея (теорема Парсеваля), которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье:
Правая часть (11.58) и (11.39) представляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассматривается ток, протекающий по некоторому резистору с сопротивлением К, то энергия, выделившаяся в этом резисторе за время и будет
Формулы (11.58) и (11.59) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье.
Однако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энергия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (11.58) можно представить в виде
Вводя обозначение
носит название спектральной плотности. Важным
По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от со до со + й?со.
В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при этом, что можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула (11.62) должна быть записана в виде
- спектральная плотность для положительных частот.
так как при этом формулы получают более симметричный характер.
Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральными зависимостями типа (11.54) и (11.55). Это свойство приводится без доказательств .
Таким образом, могут быть записаны следующие формулы:
Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, то иногда формулы (11.65) и (11.66) представляют в более простом виде;
)
Это вытекает из того, что имеют место равенства:
и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (11.65) и (11.66), так как слева стоят вещественные функции.
заключается в том, что чем уже график спектральной плотности (рис, 11.16, а), т. е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плотности, тем медленнее изменяется величина х во времени. Наоборот, чем шире график спектральной плотности (рис. 11.16, б), т. е. чем большие частоты представлены в спектральной плотности, тем тоньше структура функции х (г) и тем быстрее происходят изменения.г во времени.
Как видно из этого рассмотрения, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной но сравнению со связью между корреляционной функцией и самим процессом (рис. 11.14). Отсюда вытекает, что более широкому графику спектральной плотности должен соответствовать более узкий график корреляционной функции и наоборот.
И 8 (со). Эти функции, в отличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает, что функция 8 (т) расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом;
Аналогичное определение относится к функции 8 (со). Иногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52):
и следовательно,
где О - дисперсия.
Взаимные спектральные плотности также являются мерой связи между двумя случайными величинами. При отсутствии связи взаимные спектральные плотности равны нулю.
Рассмотрим некоторые примеры.
Эта функция изображена на рис. 11.17, а. Соответствующее ей изображение Фурье на основании табл. 11.3 будет
Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат (рис. 11,17, б).
Это означает, что вся мощность рассматриваемого процесса сосредоточена на пулевой частоте, что и следовало ожидать.
Эта функция изображена на рис. 11.18, а, В соответствии с табл. 11.3 спектральная плотность будет
3. Для периодической функции, разлагаемой в ряд Фурье
кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рис. 11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых нериодичностей.
не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков.
Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем управления. Будем рассматривать только центрированные
При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии:
учет постоянного смещения в системе управления является элементарным.
(рис. 11.21, а):
Пример такого процесса - тепловые шумы резистора, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом резисторе
Абсолютная температура.
На основании (11,68) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция
отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной величины х.
а следовательно, бесконечно большая мощность.
Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б):
Полоса частот для спектральной плотности.
Этому процессу соответствует корреляционная функция
Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному из полосы частот:
Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (11.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, использовать выражение
Коэффициент, определяющий ширину полосы частот.
Процесс приближается к белому шуму, так
как для этих частот
Интегрирование (11.77) по всем частотам дает возможность определить дисперсию:
Поэтому спектральная плотность (11.77) может быть записана в другом виде:
Корреляционная функция для этого процесса
Корреляционная функция также изображена на рис. 11.21, в.
Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона (11.4).
График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.
Будет средним значением интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянное значение. Применительно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели по прямой.
Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения
При нахождении этого произведения могут быть два случая.
относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:
относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно пулю:
так как произведения с положительным и отрицательным знаками будут равновероятными. Корреляционная функция будет равна
Вероятность нахождения их в разных интервалах.
Вероятность отсутствия
Для интервала времени
так как эти события независимые.
В результате для конечного промежутка Ат получаем
Знак модуля при т поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78):
Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) записана для угловой скорости процесса (рис. 11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки с0 у следящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью и производными более высоких порядков, относительно которых процесс стационарен. Это дает возможность использовать спектральную плотность (11.81) при расчете динамической ошибки следящей системы.
3. Нерегулярная качка. Некоторые объекты, например корабли, самолеты и другие, находясь под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. п.), движутся но случайному закону Так как сами объекты имеют определенную им свойственную, частоту колебаний, то они обладают свойством подчёркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение.
Типичный график нерегулярной качки изображен на рис. 11.23. Из рассмотрения этого графика видно, что, несмотря на случайный характер, это
движение довольно близко к периодическому.
В практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением
Дисперсия.
находятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний).
Корреляционной функции (11.82) соответствует спектральная плотность (см. табл. 11.3)
Неудобством аппроксимации (11.82) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или углового ускорения), В этом случае величина О будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения.
Если, например, записать формулу (11.82) для угла, то этому процессу будет соответствовать нерегулярная камка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся к бесконечности, т. е. это будет физически нереальный процесс.
Более удобная формула для аппроксимации угла качки
Однако и эта аппроксимация соответствует физически нереальному процессу, так как дисперсия углового ускорения получается стремящейся к бесконечности.
Для получения конечной дисперсии углового ускорения требуются еще более сложные формулы аппроксимации, которые здесь не приводятся.
Типичные кривые для корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки приведены на рис. 11.24.
Функция не является периодической, поэтому она не может быть разложена в ряд Фурье. С другой стороны, функция из-за неограниченной длительности не интегрируема и поэтому не может быть представлена интегралом Фурье. Для избежания этих трудностей вводится вспомогательная функция , которая совпадает с функцией на интервале и равна нулю вне этого интервала:
(5.15)
Функция интегрируема и для нее существует прямое преобразование Фурье (интеграл Фурье):
(5.16)
Спектральной плотностью мощности случайного сигнала (или просто спектральной плотностью ) называется функция вида:
(5.17)
Спектральная плотность - это функция, характеризующая распределение средних значений квадратов амплитуд гармоник сигнала. Спектральная плотность обладает следующими свойствами:
1. Чем быстрее изменяется стационарный случайный процесс, тем шире график .
2. Отдельные пики на графике спектральной плотности свидетельствуют о наличии у случайного сигнала периодических составляющих.
3. Спектральная плотность является четной функцией:
(5.18)
Спектральная плотность связана с дисперсией сигнала следующим соответствием:
(5.19)
Экспериментально спектральная плотность определяется (вычисляется) по следующей схеме:
Рис. 5.6.
Спектральная плотность связана с корреляционной функцией следующим выражением (по теореме Хинчина-Винера):
(5.20)
(5.21)
Если разложить множители и с помощью формулы Эйлера и учесть, что , и являются четными функциями, а - нечетная функция, то выражения (5.20), (5.21) можно преобразовать к следующему виду:
(5.22)
(5.23)
Выражения (5.23), (5.24) применяют в практических расчетах. Нетрудно заметить, что при выражение (5.24) определяет дисперсию стационарного случайного процесса.:
(5.24)
Соотношения, связывающие корреляционную функцию и спектральную плотность, обладают всеми присущими преобразованию Фурье свойствами и определяют следующие сравнительные характеристики: чем шире график , тем уже график , и наоборот, чем быстрее убывает функция , тем медленнее уменьшается функция . Эту взаимосвязь иллюстрируют графика на рис (5.7), (5.8)
Рис. 5.7.
Рис. 5.8.
Линии 1 на обоих рисунках соответствуют медленно меняющемуся случайному сигналу, в спектре которого преобладают низкочастотные гармоники. Линии 2 соответствуют быстроменяющемуся сигналу, в спектре которого преобладают высокочастотные гармоники.
Если случайный сигнал изменяется во времени очень резко и между его предыдущими и последующими значениями корреляция практически отсутствует, то корреляционная функция имеет вид дельта-функции (линия 3). График спектральной плотности в этом случае представляет горизонтальную прямую в диапазоне. Это указывает на то, что амплитуды гармоник во всем диапазоне частот одинаковы. Такой сигнал называется белым шумом (по аналогии с белым светом, у которого, как известно, интенсивность всех компонент одинакова).
Понятие «белого шума» является математической абстракцией. Физически сигналы в виде белого шума неосуществимы, так как бесконечно широкому спектру соответствует бесконечно большая дисперсия, а следовательно, бесконечно большая мощность. Однако часто реальные системы с конечным спектром можно приближенно рассматривать как белый шум. Это упрощение правомерно в тех случаях, когда спектр сигнала значительно шире полосы пропускания системы, на которую действует сигнал.
