Минимаксное решение. Критерий Гурвица. Определение устойчивости по критерию гурвица
Критерии устойчивости
Определение устойчивости АСУ по корням характеристического уравнения сопряжено с большими трудностями, связанными с решением дифференциального уравнения и большим объемом вычислений. Поэтому в практике ТАУ для определения устойчивости чаще используют критерии устойчивости.
Критерием устойчивости называется совокупность правил, методов или алгоритмов, которые позволяют судить об устойчивости АСУ без решения характеристического уравнения, используя другие признаки. Все критерии можно разделить на две группы: алгебраические критерии устойчивости и частотные критерии устойчивости. К алгебраическим критериям устойчивости относятся:
1) критерий устойчивости Вишнеградского;
2) критерий устойчивости Гурвица;
3) критерий устойчивости Рауса.
К частотным критериям устойчивости относятся:
4) частотный критерий устойчивости Найквиста;
5) частотный критерий устойчивости Михайлова.
Критерий устойчивости Гурвица можно сформулировать в форме, предложенной автором:
Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, характеристическое уравнение которого имеет вид:
то для того, чтобы она была устойчива, т.е. чтобы все действительные корни и действительные части комплексных корней характеристического уравнения были бы отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты уравнения имели бы один и тот же знак, а диагональный детерминант порядка п-1 , составленный из коэффициентов уравнения, и все его диагональные миноры были бы положительными.
Диагональный детерминант составляется следующим образом: по диагонали определителя выписывают коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a n -1 по а 1 . Таким образом, получается матрица, содержащая n-1 строку и n-1 столбец. Столбцы заполняют следующим образом: вверх выписывают коэффициенты с убывающими индексами, а вниз – с возрастающими. При достижении нулевого или n -го индекса далее ставят нули.
(8.6)
Таким образом, получается квадратная матрица размером (n-1 )* (n-1 ), на главной диагонали которой расположены коэффициенты от a n -1 по a 1 .
Каждый диагональный минор получают из предыдущего минора путем вычеркивания последней строки и последнего столбца.
(8.7)
(8.8)
(8.9)
D 1 =a n -1 (8.10)
Для решения вопроса об устойчивости АСУ выполняется анализ матрицы по следующим правилам:
1) если определители матрицы и всех диагональных миноров положительны, то АСУ устойчива;
2) если определитель или хотя бы один минор равен нулю, то АСУ находится на границе устойчивости;
3) если определитель или хотя бы один минор отрицательны, то АСУ неустойчива.
Рассмотрим конкретные примеры исследования систем на устойчивость с помощью критерия Гурвица.
Пример №1. АСУ включает статический объект второго порядка с передаточной функцией 
и интегральный регулятор с передаточной функцией . Определить при каком значении коэффициента передачи регулятора система будет устойчивой.
Запишем передаточную функцию замкнутой системы, при этом неважно по какому каналу будет записана передаточная функция, так как нас будет интересовать только знаменатель передаточной функции.
(811)
Знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю, является характеристическим уравнением, т.е.
(8.12)
Подставим в уравнение (8.12) значения передаточных функций:
(8.13)
Приводя уравнение (8.13) к общему знаменателю и приравнивая числитель к нулю, получим характеристическое уравнение для системы
Составим главный детерминант, который для данного случая имеет второй порядок:
(8,15)
Из последнего равенства получим
(8.16)
В уравнении (8.16) слева записан параметр настройки регулятора, а справа параметры объекта. Чтобы система была более устойчивой, необходимо иметь как можно меньшее значение коэффициента передачи регулятора. Но в этом случае регулятор будет медленно воздействовать на объект. Поэтому приходится принимать компромиссное решение: чтобы система была устойчивой и регулятор достаточно быстро воздействовал на объект.
Если в уравнении (8.16) поставить знак равенства, т.е. 
, то система окажется на границе устойчивости. Если 
, то система будет неустойчивой. Поскольку параметры объекта изменяются довольно медленно, то воздействовать на характер переходного процесса можно, изменяя параметры регулятора.
Коэффициент передачи регулятора, при котором система оказывается на границе устойчивости, называется критическим.
Условие (8.17) можно записать и так
(8.18)
Уравнение (8.18) перепишем в форме
Уравнение (8.19) является уравнением гиперболы Вышнеградского, который сформулировал критерий устойчивости для систем, описываемых уравнениями не выше третьего порядка.
При переходе от уравнения (8.18) к уравнению (8.19) необходимо соблюдать следующие правила:
1) параметры X и Y должны быть безразмерными;
2) параметр X должен быть пропорционален коэффициенту передачи регулятора.
(8.20)
Построим гиперболу Вышнеградского в полученных координатах (рис. 8.4).
Рисунок 8.4 – Гипербола Вышнеградского для систем третьего порядка
Пример №2. Рассмотрим задачу, сформулированную в примере №1, но для случая, когда объект имеет передаточную функцию вида
Приравняв в уравнении (8.14) Т 2 к нулю, получим характеристическое уравнение
(8.22)
Составим главный детерминант, который для данного случая имеет первый порядок:
Получено условие, которое выполняется при любых параметрах системы.
Системы, которые при определенных значениях своих параметров могут быть устойчивыми, называются структурно-устойчивыми.
Пример №3. АСУ включает астатический объект второго порядка с передаточной функцией 
и интегральный регулятор с передаточной функцией . Определить, при каком значении коэффициента передачи регулятора система будет устойчивой.
Используя уравнение (8.13) и подставляя в него значения передаточных функций, получим
(8.23)
(8.24)
Перепишем уравнение (8.24) следующим образом:
Тогда главный детерминант примет вид:
В данном случае главный детерминант отрицательный, т.е. система неустойчивая, при этом она неустойчивая при любых своих параметрах. О таких системах говорят, что она структурно-неустойчивая.
Из последнего примера можно сделать вывод: что интегральный регулятор нельзя устанавливать на астатическом объекте, так как в любом случае мы получим неустойчивую систему.
Несмотря на простоту применения критерия Гурвица, он обладает рядом недостатков:
1) необходимо рассматривать передаточную функцию замкнутой системы, которая получается достаточно сложной;
2) с помощью критерия можно анализировать системы, у которых в знаменателе передаточной функции стоит рациональный многочлен.
Действительно, если передаточная функция объекта 
, а регулятора , то характеристическое уравнение имеет вид:
С помощью критерия устойчивости Гурвица эту систему исследовать нельзя. В этом случае нужны другие критерии.
Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - y) и в самом выгодном состоянии с вероятностью y , где y - коэффициент доверия. Если результат h ji - прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так:
W = max[ y max+(1- y)min]
Когда целевая функция представляет затраты (потери), то:
W = min[ y min+(1- y)max]
Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).
Инструкция Для расчета и оформления решения в формате Word и Excel необходимо выбрать
Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - y) и y , где 0Пример . Исходные данные:
| 8 | 4 | 6 | 20 |
| 7 | 7 | 7 | 7 |
| 6 | 12 | 8 | 10 |
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
| A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | min(a ij) |
| A 1 | 8 | 4 | 6 | 20 | 4 |
| A 2 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| A 3 | 6 | 12 | 8 | 10 | 6 |
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Критерий Севиджа .
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 8 - 8 = 0; r 21 = 8 - 7 = 1; r 31 = 8 - 6 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 12 - 4 = 8; r 22 = 12 - 7 = 5; r 32 = 12 - 12 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 8 - 6 = 2; r 23 = 8 - 7 = 1; r 33 = 8 - 8 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 20 - 20 = 0; r 24 = 20 - 7 = 13; r 34 = 20 - 10 = 10
| A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 |
| A 1 | 0 | 8 | 2 | 0 |
| A 2 | 1 | 5 | 1 | 13 |
| A 3 | 2 | 0 | 0 | 10 |
| A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | max(a ij) |
| A 1 | 0 | 8 | 2 | 0 | 8 |
| A 2 | 1 | 5 | 1 | 13 | 13 |
| A 3 | 2 | 0 | 0 | 10 | 10 |
Критерий Гурвица .
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s i)
где s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s i .
s 1 = 0.5 4+(1-0.5) 20 = 12
s 2 = 0.5 7+(1-0.5) 7 = 7
s 3 = 0.5 6+(1-0.5) 12 = 9
| A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | min(a ij) | max(a ij) | y min(a ij) + (1-y)max(a ij) |
| A 1 | 8 | 4 | 6 | 20 | 4 | 20 | 12 |
| A 2 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| A 3 | 6 | 12 | 8 | 10 | 6 | 12 | 9 |
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Обобщенный критерий Гурвица .
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ 1 =1-λ, λ2=λ3=…=λ n-1 =0, λ n =λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии A i по Гурвицу есть:
G i =(1-λ)min a ij + λmax a ij
Оптимальной стратегией A i0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста . λ выбирается из ус
НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
(КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА)
Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком
А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.
Адольф Гурвиц (нем. Adolf Hurwitz ),26 марта 1859 , Хильдесхайм - 18 ноября 1919 , Цюрих - немецкий математик.
Гурвиц поступил в университет Мюнхена в1877 году. Через год он переезжает вБерлин . Заканчивает обучение вЛейпциге (1880 ). Преподавательскую карьеру начал вКёнигсбергском университете , где в1884 году стал профессором. С1892 года профессор Политехнической школы вЦюрихе . Среди его студентов в Цюрихе былиДавид Гильберт иАльберт Эйнштейн .
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА
Чтобы все корни характеристического уравнения АС
a 0 s n +a 1 s n -1 + ...+ a n -1 s + a n = 0 ,
имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a 0 > 0 выполнение условия:
все n определителей Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов
|
a n -1 | ||||||||
|
a n -2 |
a n |
должны быть положительны.
Матрица Гурвица составляется следующим образом:
на главной диагонали записывают коэффициенты характеристического уравнения от a 1 доa n (в порядке возрастания индекса),
в каждом столбце выше возрастающими индексами,
в каждом столбце ниже диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательноубывающими индексами;
на местах коэффициентов с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули.
Определители Гурвица – это так называемые
ДИАГОНАЛЬНЫЕ МИНОРЫ:
;
;
;
. . .
Последний столбец матрицы содержит
всегда только один элемент a
n
,
отличный от нуля, поэтому согласно
известному свойству определителей
Если a n = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень - астатическая система),
если
,
то - колебательная граница устойчивости
(комплексные корни).
Если хотя бы один из определителей Гурвица
отрицателен или равен нулю ,
то система неустойчива.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА
Главное достоинство критерия Гурвица состоит в том, что могут быть записаны формулы , по которым для конкретных порядков АС может быть не только установлена её устойчивость, но и проанализировано влияние параметров АС на это свойство.
Наиболее
известно неравенство 
для АС 3-го
порядка
(все
коэффициенты ХПАС должны быть одного
знака, чаще считают - положительными).
Его намного раньше А. Гурвица получил
И.А. Вышнеградский.
Для АС 4-го порядка кроме положительности всех коэффициентов ХПАС должно выполняться неравенство . Видно, что неравенство Вышнеградского является составной частью критерия.
Для
АС 5-го порядка
условия Гурвица имеют вид: 
,,
,
.
Обратите внимание, что «вычисляемых»
неравенств стало теперь два и одно из
них - неравенство Вышнеградского, которое
входит и во второе условие.
Для АС 6-го порядка аналитический вид неравенств Гурвица таков:
,
,
(первое «вычисляемое» неравенство),
(второе «вычисляемое» неравенство).
При использовании формул, вытекающих из критерия Гурвица для конкретных порядков АС, нужно обращать внимание на форму записи полинома и индексацию его коэффициентов – начиная с 4-го порядка, можно получить неверную оценку устойчивости.
Сложность аналитических выражений точных алгебраических критериев устойчивости привела к разработке простых достаточных критериев устойчивости (А.В. Липатова - Н.И. Соколова, В.С. Воронова и др.).
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986. – 248 с.
2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под редакцией В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1978, 512 с.
Критерий основан на построении определителя, составленного из коэффициентов, входящих в характеристическое уравнение системы.
Запишем характеристическое уравнение для системы 6-го порядка в виде
Аналогично можно записать уравнение системы любой степени, если порядок системы обозначить n . В нашем случае n =6.Уравнение записывается таким образом, чтобы коэффициент при высшей производной (а 6) был положительным, т.е. а 6 > 0.
Порядок построения определителя Гурвица.
1. По главной диагонали записываются все коэффициенты от до а 0 включительно (=5).
2. Вверх по диагонали записываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, а вниз от диагонали – в порядке возрастания индексов.
3. На месте коэффициентов, не входящих в характеристическое уравнение, ставят нули.
4. Определители меньших порядков получают вычеркиванием последнего столбца и последней строки.
5. Определитель высшего порядка D n =a 0 D n -1 (D 6 =а 0 D 5).
Условие устойчивости по Гурвицу
Система автоматического управления будет устойчивой, если все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, от D n (D 6) до D 1 будут положительными, при этом а n (а 6) должно быть больше нуля.
Построим определитель Гурвица для системы шестого порядка.
Система устойчива, если а 0 >0; D 5 >0; D 4 >0; D 3 >0; D 2 >0; D 1 =а 5 >0.
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, система будет неустойчива.
Если главный определитель системы D п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для систем 1, 2, 3-го порядков. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнений первого порядка
условие устойчивости
а 1 > 0 и D 1 = а 0 > 0,
т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов уравнения (<0).
2. Для уравнений второго порядка
,
условие устойчивости
а 2 > 0, D 1 = а 1 > 0; D 2 = а 0 а 1 > 0.
Таким образом, и для системы второго порядка положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.
3. Для уравнений третьего порядка
условие устойчивости
а 3 > 0, D 1 = а 2 > 0; D 2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 > 0; D 3 = а 0 D 2 > 0.
Последнее неравенство Δ 3 > 0 эквивалентно неравенству D 2 > 0. Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов уравнения требуется, чтобы D 2 > 0.
Критерий Гурвица применяют для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким.
В статье рассмотрены такие понятия, как критерии Гурвица, Сэвиджа и Вальда. Упор сделан преимущественно на первый. Критерий Гурвица подробно описан как с алгебраической точки зрения, так и с позиции принятия решения в условиях неопределенности.
Стоит начать с определения понятия устойчивости. Оно характеризует способность системы возвращаться к равновесному состоянию по окончании возмущения, которое нарушило сформировавшееся ранее равновесие.
Важно отметить, что его оппонент - неустойчивая система - постоянно удаляется от своего равновесного состояния (совершает колебания вокруг него) с возвращающей амплитудой.
Критерии устойчивости: определение, виды
Это свод правил, которые позволяют судить о существующих знаках корней характеристического уравнения без поиска его решения. А последние, в свою очередь, предоставляют возможность судить об устойчивости конкретной системы.
Как правило, они бывают:
- алгебраическими (составление по конкретному характеристическому уравнению алгебраических выражений с применением специальных правил, которые характеризуют устойчивость САУ);
- частотными (объект изучения - частотные характеристики).
Критерий устойчивости Гурвица с алгебраической точки зрения
Им выступает алгебраический критерий, подразумевающий рассмотрение определенного характеристического уравнения в виде стандартной формы:
A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0 .
Посредством его коэффициентов формируется матрица Гурвица.
Правило составления матрицы Гурвица
В направлении сверху вниз по порядку выписываются все коэффициенты соответствующего характеристического уравнения, начиная от aᵥ₋₁ до a0. Во всех столбцах вниз от главной диагонали указывают коэффициенты возрастающих степеней оператора p, затем вверх - убывающих. Недостающие элементы заменяются нулями.
Принято считать, что когда все имеющиеся диагональные миноры рассматриваемой матрицы положительны. Если главный определитель равен нулю, то можно говорить о нахождении ее на границе устойчивости, причем аᵥ=0. В случае соблюдения остальных условий рассматриваемая система располагается на границе новой апериодической устойчивости (предпоследний минор приравнивается к нулю). При положительном значении оставшихся миноров - на границе уже колебательной устойчивости.
Принятие решения в ситуации неопределенности: Гурвица, Сэвиджа
Они являются критериями выбора наиболее целесообразной вариации стратегии. Критерий Сэвиджа (Гурвица, Вальда) применяется в ситуации, когда имеют место неопределенные априорные вероятности состояний природы. Их основа - анализ либо платежной матрицы. В случае неизвестности распределения вероятностей будущих состояний вся имеющаяся информация сводится к списку ее возможных вариантов.
Итак, стоит начать с максиминного критерия Вальда. Он выступает критерием крайнего пессимизма (осторожного наблюдателя). Данный критерий можно сформировать и для чистых, и для смешанных стратегий.
Свое название он получил на основании предположения статиста касательно того, что природа может реализовать состояния, в рамках которых величина выигрыша приравнена к наименьшему значению.
Этот критерий тождественен пессимистическому, который применяется в ходе решения матричных игр, чаще всего в чистых стратегиях. Так, сначала необходимо выбрать из каждой строки минимальное значение элемента. Затем выделяется стратегия ЛПР, которая соответствует максимальному элементу среди уже отобранных минимальных.
Выбранные посредством рассматриваемого критерия варианты лишены риска, так как ЛПР не сталкивается с более плохим результатом, чем тот, который выступает ориентиром.
Итак, самой приемлемой, согласно критерию Вальда, признана чистая стратегия, так как она в худших условиях гарантирует максимально предельный выигрыш.
Далее стоит рассмотреть критерий Сэвиджа. Здесь при выборе 1-го из доступных решений на практике, как правило, останавливаются на таком, который приведет к минимальным последствиям в случае, если выбор все же окажется ошибочным.
Согласно данному принципу, всякое решение характеризуется некой величиной дополнительных потерь, возникающих в ходе его осуществления, по сравнению с правильным при имеющимся состоянии природы. Очевидно, что правильное решение не может нести дополнительные потери, ввиду чего их величина приравнена к нулю. Так, в роли наиболее целесообразной принимается стратегия, величина потерь в которой минимальна при худшем стечении обстоятельства.
Критерий пессимизма-оптимизма
Так по-другому называется критерий Гурвица. В процессе выбора решения, в ходе оценки сложившейся ситуации вместо двух крайностей придерживаются так называемой промежуточной позиции, которая учитывает вероятность как благоприятного, так и наихудшего поведения природы.
Данный компромиссный вариант предложил Гурвиц. Согласно ему, для всякого решения понадобится установить линейную комбинацию min и max, далее выбрать стратегию, которая соответствует их наибольшему значению.
Когда оправдано применение рассматриваемого критерия?
Использовать критерий Гурвица целесообразно в ситуации, характеризующейся следующими признаками:
- Существует необходимость взятия во внимание наихудшего из вариантов.
- Отсутствие знаний касательно вероятностей состояний природы.
- Допустим некоторый риск.
- Реализуется достаточно малое число решений.
Заключение
Напоследок будет нелишне напомнить, что в статье были рассмотрены критерии Гурвица, Сэвиджа и Вальда. Критерий Гурвица подробно описан с различных точек зрения.
