Критерии устойчивости Вальда, Гурвица, Сэвиджа. Минимаксное решение. Критерий Гурвица

Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a 1 до a n ;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Рисунок 5.2.1 - Определитель Гурвица

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

1) n = 1 => уравнение динамики: a 0 p + a 1 = 0. Определитель Гурвица: = 1 = a 1 > 0 при a 0 > 0, то есть условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0;
2) n = 2 => уравнение динамики: a 0 p 2 + a 1 p + a 2 = 0. Определители Гурвица: 1 = a 1 > 0, D 2 = a 1 a 2 - a 0 a 3 = a 1 a 2 > 0, так как a 3 = 0, то есть условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0;
3) n = 3 => уравнение динамики: a 0 p 3 + a 1 p 2 + a 2 p + a 3 = 0. Определители Гурвица: 1 = a 1 > 0, 2 = a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, 3 = a 32 > 0, условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0, a 3 > 0, a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0;

Таким образом при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.

Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя n = a nn-1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя n-1 . Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (3 30) строят сначала главный определитель Гурвица

(см. скан)

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от до в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения т. е. при были положительными.

Таким образом, при для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Раскрывая, например, определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвертого порядков, можно получить следующие условия устойчивости:

1) для уравнения первого порядка условия устойчивости

2) для уравнения второго порядка условия устойчивости

3) для уравнения третьего порядка условия устойчивости

4) для уравнения четвертого порядка условия устойчивости

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнения третьего и четвертого порядков кроме положительности коэффициентов необходимо соблюдение дополнительных неравенств (3.44) и (3.46).

При 5 число подобных дополнительных неравенств возрастает, процесс раскрытия определителей становится довольно трудоемким и громоздким. Поэтому критерий устой- чивости Гурвица обычно применяют при При 5 целесообразно применять формулируемый ниже критерий устойчивости Льенара - Шипара либо при использовании критерия устойчивости Гурвица переходить к численным методам с использованием ЭВМ.

В последнем столбце главного определителя Гурвица (3.38) отличен от нуля только один коэффициент поэтому

Из (3.47), видно, что при для проверки устойчивости системы достаточно найти только определители Гурвица от до Если все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система находится на границе устойчивости, когда главный определитель равен нулю:

Последнее равенство возможно в двух случаях: или . В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристического уравнения равен нулю); во втором случае - на границе колебательной устойчивости (два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).

Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принять за неизвестный какой-либо один параметр (например, коэффициент усиления, постоянную времени и т. д.) и определить его предельное (критическое) значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

Следует заметить, что критерий Гурвица можно получить из критерия Рауса, поэтому иногда критерий Гурвица называют критерием Рауса - Гурвица.

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - y) и в самом выгодном состоянии с вероятностью y , где y - коэффициент доверия. Если результат h ji - прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так:

W = max[ y max+(1- y)min]

Когда целевая функция представляет затраты (потери), то:

W = min[ y min+(1- y)max]

Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).

Инструкция Для расчета и оформления решения в формате Word и Excel необходимо выбрать

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - y) и y , где 0Пример . Исходные данные:

8	4	6	20
7	7	7	7
6	12	8	10

Критерий Вальда .
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	min(a ij)
A 1	8	4	6	20	4
A 2	7	7	7	7	7
A 3	6	12	8	10	6

Выбираем из (4; 7; 6) максимальный элемент max=7
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Критерий Севиджа .
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 8 - 8 = 0; r 21 = 8 - 7 = 1; r 31 = 8 - 6 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 12 - 4 = 8; r 22 = 12 - 7 = 5; r 32 = 12 - 12 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 8 - 6 = 2; r 23 = 8 - 7 = 1; r 33 = 8 - 8 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 20 - 20 = 0; r 24 = 20 - 7 = 13; r 34 = 20 - 10 = 10

A i	П 1	П 2	П 3	П 4
A 1	0	8	2	0
A 2	1	5	1	13
A 3	2	0	0	10

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	max(a ij)
A 1	0	8	2	0	8
A 2	1	5	1	13	13
A 3	2	0	0	10	10

Выбираем из (8; 13; 10) минимальный элемент min=8

Критерий Гурвица .
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s i)
где s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s i .
s 1 = 0.5 4+(1-0.5) 20 = 12
s 2 = 0.5 7+(1-0.5) 7 = 7
s 3 = 0.5 6+(1-0.5) 12 = 9

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	min(a ij)	max(a ij)	y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
A 1	8	4	6	20	4	20	12
A 2	7	7	7	7	7	7	7
A 3	6	12	8	10	6	12	9

Выбираем из (12; 7; 9) максимальный элемент max=12
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Обобщенный критерий Гурвица .
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ 1 =1-λ, λ2=λ3=…=λ n-1 =0, λ n =λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии A i по Гурвицу есть:
G i =(1-λ)min a ij + λmax a ij
Оптимальной стратегией A i0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста . λ выбирается из ус

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны. По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица.

Для этого по главной диагонали делителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго (т.е. а 1 , а 2 , а 3 , ... ,а n), затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз - с убывающим индексом.

Например, для третьего коэффициента в главной диагонали а 3 вверх записываются а 4 , а 5 (индекс возрастает), а вниз - а 2 , а 1 , а 0 . На остальные оставшиеся места вписываются нули.

Д
ля проверки правильности заполнения определителя Гурвица необходимо учесть, что по строкам чередуются коэффициенты с нечётными и чётными индексами. Так первая строка - нечётные а 1 а 3 а 5 а 7 ..., вторая строка - четные а 0 а 2 а 4 а 6 и т.д.

Покажем вычисление миноров в определителе Гурвица для системы 6-го порядка.

Последний определитель обычно не рассчитывается. В данном случае
. Если выполняется первое необходимое условие устойчивости (все а>0), то при>0всегда положителен.

Пусть необходимо определить устойчивость системы пятого порядка. Тогда а 6 =0 >0 неравенства принимают вид:

Если необходимо определить устойчивость системы четвертого порядка, то

неравенства принимают вид:

Для устойчивости системы третьего порядка достаточно

Для систем седьмого порядка определение устойчивости по Гурвицу обычно не делают из-за громоздкости расчетов.

ПРИМЕР 1. Определить устойчивость САУ по критерию Гурвица по следующему характеристическому уравнению:

Решение. 1. Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Значит необходимое условие устойчивости выполняется.

2. Составляется определитель Гурвица

Определяют значения миноров согласно неравенствам:

Ответ. Все миноры определителя Гурвица положительны, значит вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна и, согласно теореме Ляпунова, САУ устойчива.