Отсюда следует, что α ≈ | φ ′ (ξ) | {\displaystyle \alpha \approx |\varphi "(\xi)|} . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы ∀ x ∈ [ a , b ] | φ ′ (x) | ≤ 1. {\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.}

Общий алгоритм последовательных приближений [ | ]

Применительно к общему случаю операторных уравнений этот метод называется методом последовательных приближений или методом простой итерации . Однако уравнение можно преобразовывать к сжимающему отображению , имеющему тот же корень, разными способами. Это порождает ряд частных методов, имеющих как линейную, так и более высокие скорости сходимости.

Применительно к СЛАУ [ | ]

Рассмотрим систему:

{ a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n {\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\\ldots &&\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{array}}\right.}

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1) (x 1 x 2 ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)^{i+1}=\left({\begin{array}{cccc}a_{11}+1&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}+1&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)^{i}-\left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)}

Метод будет сходится с линейной скоростью, если ‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖ < 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}

Двойные вертикальные черты означают некоторую норму матрицы .

Решение уравнения f(x)=0 по методу Ньютона, начальное приближение: x 1 =a.

Метод Ньютона (метод касательных) [ | ]

Одномерный случай [ | ]

Оптимизация преобразования исходного уравнения f (x) = 0 {\displaystyle f(x)=0} в сжимающее отображение x = φ (x) {\displaystyle x=\varphi (x)} позволяет получить метод с квадратичной скоростью сходимости.

Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации x ∗ {\displaystyle x^{*}} выполнялось φ ′ (x ∗) = 0 {\displaystyle \varphi "(x^{*})=0} . Будем искать решение данного уравнения в виде φ (x) = x + α (x) f (x) {\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)} , тогда:

Воспользуемся тем, что f (x) = 0 {\displaystyle f(x)=0} , и получим окончательную формулу для α (x) {\displaystyle \alpha (x)} :

С учётом этого сжимающая функция примет вид:

Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения f (x) = 0 {\displaystyle f(x)=0} сводится к итерационной процедуре вычисления:

Итерационные методы

В итерационных методах предполагается осуществление трех следующих этапов: построение для вычисления последовательных приближений итерационного процесса, сходящегося к точному решению (т. е. построение последовательности векторов сходящейся к точному решению ; определение критерия сходимости этого процесса, позволяющего определить момент достижения требуемой точности; исследование скорости сходимости и оптимизации итерационного процесса с целью уменьшения числа операций, необходимых для достижения требуемой точности.

Итерационные методы позволяют получить решение с наперед заданной точностью, если доказана сходимость метода. Строго точного решения итерационные методы не дают, поскольку оно достигается как предел последовательности векторов. Прямой метод, вообще говоря, дает точное решение, но из-за ошибок округления, имеющих место на любых компьютерах, оно не может быть достигнуто, и a priori даже трудно оценить, насколько это решение отличается от точного. В связи с отмеченным итерационные методы иногда позволяют получить решение с большей точностью, чем прямые.

Рассмотрим несколько итерационных методов решения линейных уравнений.

Метод простой итерации

В методе простой итерации система (2.1) линейных алгебраических уравнений Ax = b приводится к эквивалентной системе вида

Решение системы (2.9) и, следовательно, решение исходной системы (2.1) ищется как предел последовательности векторов при :

k = 0, 1, 2,…, (2.10)

где - начальное приближение для вектора решения.

Достаточное условие сходимости метода простой итерации определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 1. Если какая-либо норма матрицы , согласованная с рассматриваемой нормой вектора , меньше единицы (), то последовательность в методе простой итерации сходится к точному решению системы (2.9) со скоростью, не меньшей скорости геометрической прогрессии со знаменателем при любом начальном приближении .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства теоремы введем погрешность . Вычитая из соотношения равенство (2.10), получаем . Переходя к нормам, имеем

Отметим, что неравенство из предыдущего выражения является условием согласованности нормы матрицы и вектора. Если , то при любом векторе начальной погрешности (или иначе – при любом начальном векторе ) норма погрешности стремится к нулю не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем .

Если в качестве нормы матрицы выбрать норму или то для решения вопроса о сходимости метода простой итерации можно воспользоваться следствием из теоремы 1: метод простой итерации сходится, если для матрицы выполняется одно из следующих условий:

, i =1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, n. (2.11)

Простейшим и распространенным способом приведения системы Ax= b к виду (2.9), удобному для итераций, является выделение диагональных элементов, при этом каждое i-е уравнение разрешается относительно i-го неизвестного:

, i = 1, 2, …, n, (2.12)

и метод простой итерации запишется в виде

Матрица при этом имеет вид

.

Элемент этой матрицы можно записать в виде где - символ Кронекера. В этом случае достаточное условие сходимости метода простой итерации может быть сформулировано как условие преобладания диагональных элементов матрицы А , что следует из (2.11) и записи матрицы , т. е.

i = 1, 2, …, n.

Еще раз подчеркнем, что рассмотренные формы условия сходимости метода итерации являются лишь достаточными. Их выполнение гарантирует сходимость метода, но их невыполнение в общем случае не означает, что метод простой итерации расходится. Необходимым и достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие того, что целая часть (где -максимальное по модулю собственное значение матрицы А ); это условие редко используется в практике вычислений.

Перейдем к вопросу об оценке погрешности решения. Представляют интерес два соотношения оценки погрешности решения : первое связывает норму погрешности с нормой разности двух последовательных приближений и может быть использовано для оценки погрешности только в процессе вычислений; второе связывает норму погрешности с нормами вектора начального приближения и вектора свободного члена в системе (2.9). Необходимые соотношения даются следующими двумя теоремами.

ТЕОРЕМА 2. Если какая-либо норма матрицы , согласованная с рассматриваемой нормой вектора х

. (2.13)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычтем из равенства равенство (2.10):

Вычитая из обеих частей значение приближения , преобразуем это соотношение к виду

Перейдя к нормам, получим

Так как по условию теоремы , то

Используя соотношение из которого следует, что окончательно получим:

ТЕОРЕМА 3. Если какая-либо норма матрица , согласованная с рассматриваемой нормой вектора х , меньше единицы (), то имеет место следующая оценка погрешности:

Сделаем два замечания. Во-первых, соотношение (2.13) может быть записано в виде

позволяющем получить оценку погрешности по результатам двух первых итераций. Во-первых, при использовании метода итераций в качестве оценки погрешности вычислений иногда рекомендуется использовать норму разности двух последовательных приближений. Из соотношений для погрешности следует, что в общем случае это неверно. Если норма близка к единице, то коэффициент при может быть достаточно большим.

Погрешности последовательных итераций связаны соотношением

т.е. погрешность изменяется на шаге линейно. Говорят, что метод имеет линейную сходимость или первый порядок сходимости. Вместе с тем количество итераций, необходимое для достижения требуемой точности, зависит от значения и начального приближения .

Итак, на примере метода простой итерации продемонстрированы три этапа итерационных методов: построение последовательности векторов, порождаемой формулой (1.10); определение условия сходимости по теореме 1 и оценка скорости сходимости с помощью теорем 2 и 3.

Метод Зейделя

В методе простой итерации не используется кажущаяся очевидной возможность улучшения сходимости итерационного процесса – немедленное введение в расчет вновь вычисленных компонент вектора . Эта возможность используется в итерационном методе Зейделя. Итерационный процесс для системы (2.9) выполняется при этом по соотношению

i = 1, 2, …, n (2.14)

или для системы (1.1)

Не вдаваясь в подробности, отметим, что метод итераций Зейделя часто действительно приводит к более быстрой сходимости, чем метод простой итерации. Однако возможны случаи, когда метод итераций Зейделя сходится медленнее метода простой итерации, и даже случаи, когда метод простой итерации сходится, а метод итераций Зейделя расходится.

Отметим, что метод Зейделя сходится, если матрица А положительно определенная и симметричная.

Покажем, что метод итераций Зейделя эквивалентен некоторому методу простой итерации со специальным образом построенной матрицей и вектором в соотношении (2.10). Для этого запишем систему (2.14) в виде где F-верхняя треугольная матрица из коэффициентов матрицы , а Перепишем систему в виде где E-единичная матрица. Матрица (Е-Н) - нижняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными единице. Следовательно, определитель этой матрицы отличен от нуля (равен единице) и она имеет обратную матрицу . Тогда

Сопоставляя это соотношение с решением (2.10), можем заключить, что действительно метод итераций Зейделя эквивалентен методу простой итерации в том смысле, что для установления условия и критерия сходимости метода итераций Зейделя можно воспользоваться теоремами, приведенными для метода простой итерации, если положить Итерационный процесс для системы (2.12) записывают и в более общей форме, а именно

1. Пусть известен отрезок , который содержит один корень уравнения f(x) = 0. Функция f является непрерывно дифференцируемой функцией на этом отрезке (f(x)ÎC 1 ). При выполнении этих условий можно применять метод простой итерации.

2. По функции f(x) строится функция j(x), удовлетворяющая трём условиям: она должна быть непрерывно дифференцируемой (j(x)ÎC 1 ), такая, что уравнение x = j(x) равносильно уравнению f(x)=0; должна также переводить отрезок в себя .

Будем говорить, что функция j(x) переводит отрезок [ a, b] в себя, если для любого x Î [ a, b], y = j(x) также принадлежит [ a, b] (y Î [ a, b]).

На функцию j(x) накладывается третье условие:

Формула метода: x n +1 = j(x n).

3. При выполнении этих трех условий для любого начального приближения x 0 Î последовательность итераций x n +1 = j(x n) сходится к корню уравнения: x = j(x) на отрезке ().

Как правило, в качестве x 0 выбирается один из концов .

,

где e – заданная точность

Число x n +1 при выполнении условия остановки итерационного процесса является приближенным значением корня уравнения f(x) = 0 на отрезке , найденным методом простой итерации с точностью e.

Построить алгоритм для уточнения корня уравнения: x 3 + 5x – 1 = 0 на отрезке методом простой итерации с точностью e.

1. Функция f(x) = x 3 +5x-1 является непрерывно дифференцируемой на отрезке , содержащем один корень уравнения.

2. Наибольшую трудность в методе простой итерации представляет построение функции j(x), удовлетворяющей всем условиям:

Рассмотрим: .

Уравнение x = j 1 (x) эквивалентно уравнению f(x) = 0, но функция j 1 (x) не является непрерывно дифференцируемой на отрезке .

Рис. 2.4. График функции j 2 (x)

С другой стороны, , следовательно, . Отсюда: – непрерывно дифференцируемая функция. Отметим, что уравнение:x = j 2 (x) эквивалентно уравнению f(x) = 0. Из графика (рис. 2.4) видно, что функция j 2 (x) переводит отрезок в себя.

Условие, что функция j(x) переводит отрезок в себя, можно переформулировать следующим образом: пусть – область определения функции j(x), а – область изменения j(x).

, .

Все условия для функции j(x) выполнены.

Формула итерационного процесса: x n +1 = j 2 (x n).

3. Начальное приближение: x 0 = 0.

4. Условие остановки итерационного процесса:

Рис. 2.5. Геометрический смысл метода простой итерации

.

При выполнении этого условия x n +1 – приближенное значение корня на отрезке , найденное методом простой итерации с точностью e . На рис. 2.5. иллюстрируется применение метода простой итерации.

Теорема о сходимости и оценка погрешности

Пусть отрезок содержит один корень уравнения x = j(x), функция j(x) является непрерывно дифференцируемой на отрезке , переводит отрезок в себя, и выполнено условие :

.

Тогда для любого начального приближения x 0 Î последовательность сходится к корню уравнения y = j(x) на отрезке и справедлива оценка погрешности :

.

Устойчивость метода простой итерации. При выполнении условий теоремы о сходимости алгоритм метода простой итерации является устойчивым.

Сложность метода простой итерации . Объем памяти ЭВМ, необходимый для реализации метода простой итерации, незначителен. На каждом шаге нужно хранить x n , x n +1 , q и e.

Оценим число арифметических действий, необходимых для реализации метода простой итерации. Запишем оценку для числа n 0 = n 0 (e) такого что, для всех n ³ n 0 выполняется неравенство:

Из этой оценки вытекает, что чем ближе q к единице, тем медленнее сходится метод.

Замечание. Не существует общего правила построения j(x) по f(x) так, чтобы выполнялись все условия теоремы о сходимости. Часто используется следующий подход: в качестве функции j выбирается функция j(x) = x + k× f(x), где k – константа.

При программировании метода простой итерации для остановки итерационного процесса часто требуют одновременного выполнения двух условий:

и .

Все остальные итерационные методы, которые мы будем рассматривать, являются частными случаями метода простой итерации. Например, при метод Ньютона является частным случаем метода простой итерации.

По аналогии с (2.1) систему (5.1) можно представить в следующей эквивалентной форме:

где g(x) - итерационная вектор-функция векторного аргумента. Системы нелинейных уравнений часто возникают непосредственно в виде (5.2) (например, в численных схемах для дифференциальных уравнений), в этом случае никаких дополнительных усилий для преобразования уравнений (5.1) в систему (5.2) не требуется. Если продолжить аналогию с методом простой итерации для одного уравнения, то итерационный процесс, основанный на уравнении (5.2), можно организовать следующим образом:

• 1) выбирается некоторый начальный вектор х ((,) е 5 о (х 0 , а) (предполагается, что х* е 5„(х 0 , а));
• 2) последующие приближения вычисляются по формуле

то итерационный процесс завершен и

Как и раньше, нам необходимо выяснить, при каких условиях

Обсудим этот вопрос, выполнив простой анализ. Вначале мы введем ошибку /г-го приближения как е (^ = x (i) - х*. Тогда мы можем записать

Подставим эти выражения в (5.3) и разложим g(x* + e (/i)) по степеням е (к> в окрестности х* как функцию векторного аргумента (предполагая, что все частные производные функции g(x) непрерывны). Учитывая также, что х* = g(x*), мы получим

или в матричной форме

В = {b nm } = I (х*)1 - итерационная матрица.

Если норма ошибки ||е®|| достаточно мала, то вторым слагаемым в правой части выражения (5.4) можно пренебречь, и тогда оно совпадает с выражением (2.16). Следовательно, условие сходимости итерационного процесса (5.3) вблизи точного решения описывается теоремой 3.1.

Сходимость метода простой итерации. Необходимое и достаточное условие для сходимости итерационного процесса (5.3):

и достаточное условие:

Эти условия имеют скорее теоретическое, чем практическое значение, так как мы не знаем х‘. По аналогии с (1.11) получим условие, которое может быть полезным. Пусть х* е 5 о (х 0 , а) и матрица Якоби для функции g(x)

существует для всех x e S n (x 0 , a ) (заметим, что C(x*) = В). Если элементы матрицы С(х) удовлетворяют неравенству

для всех х е 5„(х 0 , а), тогда достаточное условие (5.5) также выполняется для любой матричной нормы.

Пример 5.1 (метод простой итерации) Рассмотрим следующую систему уравнений:

Одна из возможностей представить эту систему в эквивалентной форме (5.2) - выразить Х из первого уравнения и х 2 из второго уравнения:

Тогда итерационная схема имеет вид

Точное решение х* е 5„((2, 2), 1). Выберем начальный вектор х (0) = (2,2) и ? р = КТ 5 . Результаты вычислений представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Эти результаты показывают, что сходимость довольно медленная. Для того чтобы получить количественную характеристику сходимости, проведем простой анализ, считая х (1/) точным решением. Матрица Якоби С(х) для нашей итерационной функции имеет вид

тогда матрица В приближенно оценивается как

Легко проверить, что ни условие (5.5), ни условие (5.6) не удовлетворяются, но сходимость имеет место, так как 5(B) ~ 0.8.

Часто можно ускорить сходимость метода простой итерации, слегка изменив процесс вычислений. Идея такой модификации очень проста: для вычисления п -й компоненты вектора х (А+1) можно использовать не только (т = п ,..., N ), но также уже вычисленные компоненты вектора следующего приближения х к ^ (/= 1,п - 1). Таким образом, модифицированный метод простой итерации может быть представлен в виде следующей итерационной схемы:

Если приближения, генерируемые итерационным процессом (5.3), сходятся, то итерационный процесс (5.8) сходится, как правило, быстрее за счет более полного использования информации.

Пример 5.2 (модифицированный метод простой итерации) Модифицированная простая итерация для системы (5.7) представляется в виде

Как и прежде, выберем начальный вектор х (0) = (2, 2) и г р = = 10 -5 . Результаты вычислений представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

I Теболыное изменение порядка вычислений привело к уменьшению количества итераций в два раза, а значит, и к уменьшению количества операций в два раза.