Химия и физика всегда подразумевают вычисление различных величин, в том числе и объём вещества. Объем вещества можно рассчитать при помощи некоторых формул. Главное знать, в каком состоянии находится данное вещество. Агрегатных состояний, в которых могут пребывать частицы, существует четыре:

• газообразное;
• жидкое;
• твёрдое;
• плазменное.

Для вычисления объёма каждого из них есть своя конкретная формула. Для того чтобы найти объем, нужно иметь определённые данные. К ним относятся масса, молярная масса, а также для газов (идеальных) - газовая постоянная.

Процесс нахождения объема вещества

Давайте рассмотрим, как найти объём вещества, если оно находится, к примеру, в газообразном состоянии. Для подсчёта нужно выяснить условия задачи: что известно, какие параметры даются. Формула, по которой можно определить, каков объём данного газа, такова:

Необходимо молярное количество имеющегося вещества (именуемого n) умножить на молярный его объём (Vm). Так можно узнать объём (V). Когда газ находится в нормальных условиях - н. у., то его Vm - объём в молях составляет 22,4 л./моль. Если в условии сказано, сколько вещества в молях имеется (n), то нужно подставить данные в формулу и выяснить конечный результат.

Если условия не предусматривают указания данных о молярном количестве (n), его нужно выяснить. Есть формула, которая поможет сделать вычисление:

Нужно массу вещества (в граммах) разделить на его молярную массу. Теперь можно сделать вычисление и определить молярное количество. М - это константа, которую можно посмотреть в таблице Менделеева. Под каждым элементом есть число, которое обозначает его массу в молях.

Определение объема вещества в миллилитрах

Как определить объём вещества в миллилитрах? Что может быть указано в условиях задачи: масса (в граммах), консистенция в молях, количество данного вам вещества, а также его плотность. Существует такая формула, по которой можно подсчитать объём:

Масса в граммах должна быть разделена на плотность указанного вещества.

Если вам не известна масса, то её можно рассчитать так:

Молярное количество вещества нужно умножить на его молярную массу. Для того чтобы правильно подсчитать молярную массу (М), нужно знать формулу того вещества, которое даётся в условии задачи. Нужно сложить атомную массу каждого из элементов вещества. Также если нужно узнать плотность вещества, можно пользоваться такой обратной формулой:

Если вам известно молярное количество (n) и концентрация (с) вещества, можно также подсчитать объём. Формула будет выглядеть следующим образом:

Вам необходимо молярное количество данного в задаче вещества разделить на его молярную концентрацию. Отсюда можно вывести формулу для нахождения концентрации.

Чтобы правильно решать задачи по физике и химии, вам нужно знать некоторые формулы и иметь под рукой таблицу Менделеева, тогда успех вам гарантирован.

Для того чтобы определить плотность вещества, надо массу тела разделить на его объем:

Массу тела можно определить с помощью весов. А как найти объем тела?

Если тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 24), то его объем находится по формуле

V = аbс .

Если же у него какая-то другая форма, то его объем можно найти методом, который был открыт древнегреческим ученым Архимедом в III в. до н. э.

Архимед родился в Сиракузах на острове Сицилия. Его отец, астроном Фидий, был родственником Гиерона, ставшего в 270 г. до н. э. царем города, в котором они жили.

До нас дошли не все сочинения Архимеда. О многих его открытиях стало известно благодаря более поздним авторам, в сохранившихся трудах которых описываются его изобретения. Так, например, римский архитектор Витрувий (I в. до н. э.) в одном из своих сочинений рассказал следующую историю:
«Что касается Архимеда, то изо всех его многочисленных и разнообразных открытий то открытие, о котором я расскажу, представляется мне сделанным с безграничным остроумием. Во время своего царствования в Сиракузах Гиерон после благополучного окончания всех своих мероприятий дал обет пожертвовать в какой-то храм золотую корону бессмертным богам. Он условился с мастером о большой цене за работу и дал ему нужное по весу количество золота. В назначенный день мастер принес свою работу царю, который нашел ее отлично исполненной; после взвешивания вес короны оказался соответствующим выданному весу золота.

После этого был сделан донос, что из короны была взята часть золота и вместо него примешано такое же количество серебра. Гиерон разгневался на то, что его провели, и, не находя способа уличить это воровство, попросил Архимеда хорошенько подумать об этом. Тот, погруженный в думы по этому вопросу, как-то случайно пришел в баню и там, опустившись в ванну, заметил, что из нее вытекает такое количество воды, каков объем его тела, погруженного в ванну. Выяснив себе ценность этого факта, он, не долго думая, выскочил с радостью из ванны, пошел домой голым и громким голосом сообщал всем, что он нашел то, что искал. Он бежал и кричал одно и то же по-гречески: «Эврика, эврика! (Нашел, нашел!)».

Затем, пишет Витрувий, Архимед взял сосуд, доверху наполненный водой, и опустил в него золотой слиток, равный по весу короне. Измерив объем вытесненной воды, он снова наполнил сосуд водой и опустил в него корону. Объем воды, вытесненной короной, оказался больше объема воды, вытесненной золотым слитком. Больший объем короны означал, что в ней присутствует менее плотное, чем золото, вещество. Поэтому опыт, проделанный Архимедом, показал, что часть золота была похищена.

Итак, для определения объема тела, имеющего неправильную форму, достаточно измерить объем воды, вытесняемой данным телом. Располагая измерительным цилиндром (мензуркой), это сделать несложно.

В тех случаях, когда известны масса и плотность тела, его объем можно найти по формуле, вытекающей из формулы (10.1):

Отсюда видно, что для определения объема тела надо массу этого тела разделить на его плотность .

Если, наоборот, объем тела известен, то, зная, из какого вещества оно состоит, можно найти его массу:

m = ρV . (10.3)

Чтобы определить массу тела, надо плотность тела умножить на его объем.

1. Какие способы определения объема вы знаете? 2. Что вам известно об Архимеде? 3. Как можно найти массу тела по его плотности и объему?
Экспериментальное задание. Возьмите кусок мыла, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, на котором обозначена его масса. Проделав необходимые измерения, определите плотность мыла.

Одна из интереснейших задач геометрии, результат решения которой важен и в физике, и в химии, и в других областях - определение объемов. Занимаясь математикой в школе, детки часто задаются мыслью: «Зачем нам это нужно?» Мир вокруг кажется настолько простым и понятным, что определенные школьные знания относят к разряду «ненужных». Но стоит столкнуться, к примеру, с транспортировкой и возникает вопрос о том, как посчитать объем груза. Скажете, что ничего проще нет? Ошибаетесь. Знание расчетных формул, понятий "плотности вещества", "объемной плотности тел" становятся необходимы.

Школьные знания - практическая основа

Учителя школ, преподавая основы геометрии, предлагают нам такое определение объема: часть пространства, занимаемая телом. При этом формулы определения объемов давно записаны, и найти их можно в справочниках. Определить объем тела правильной формы человечество научилось задолго до появления трактатов Архимеда. Но только этот великий греческий мыслитель ввел методику, дающую возможность определить объем любой фигуры. Его умозаключения стали основой интегрального исчисления. Объемными считают фигуры, получаемые в процессе вращения плоских

Евклидова геометрия с определенной точностью позволяет определить объем:

Отличие плоских и объемных фигур не позволяет ответить на вопрос некоторых страдальцев о том, как посчитать объем прямоугольника. Это, примерно, так же, как найти то, не знаю что. Путаница в геометрическом материале возможна, при этом прямоугольником иногда называют прямоугольный параллелепипед.

Что предпринимать, если форма тела не столь четко определена?

Определение объема сложных геометрических конструкций - работа не из легких. Стоит руководствоваться несколькими незыблемыми принципами.

• Любое тело можно разбить на более простые части. Объем равен сумме объемов его отдельных частей.
• Равновеликие тела имеют равные объемы, параллельный перенос тел не меняет его объема.
• Единицей объема считают объем куба с ребром единичной длины.

Наличие тел неправильной формы (вспомним пресловутую корону царя Герона) не становится проблемой. Определение объемов тел вполне возможно. Это процесс непосредственного измерения объемов жидкости с погруженным в нее телом, который будет рассмотрен ниже.

Различные прикладные задачи на определение объема

Вернемся к проблеме: как посчитать объем перевозимых грузов. Каким является груз: фасованным или сыпучим? Каковы параметры тары? Вопросов больше, чем ответов. Немаловажным станет вопрос массы груза, поскольку транспорт отличается грузоподъемностью, а трассы - максимальным весом транспортного средства. Нарушение правил перевозки грозит штрафными санкциями.

Задача 1. Пусть груз представляет собой прямоугольные контейнеры, заполненные товаром. Зная вес товара и контейнера, можно с легкостью определить суммарный вес. Объем контейнера определяем как объем прямоугольного параллелепипеда.

Зная грузоподъемность транспорта, его габариты, можно просчитать возможный объем перевозимого груза. Верное соотношение этих параметров позволяет избежать катастрофы, преждевременного выхода транспорта из строя.

Задача 2. Груз - сыпучий материал: песок, щебень и тому подобное. На этом этапе без знаний физики обойтись может только классный специалист, опыт которого в грузоперевозках позволяет интуитивно определить предельно допустимый к перевозке объем.

Научный метод предполагает знание такого параметра, как груза.

Используется формула V=m/ρ, где m - масса груза, ρ - плотность материала. Перед тем как посчитать объем, стоит узнать плотность груза, что также совсем не сложно (таблицы, лабораторное определение).

Эта методика также замечательно работает при определении объемов жидких грузов. При этом как единицу измерения используют литр.

Определение объемов строительных форм

Вопрос определения объемов играет немаловажную роль в строительстве. Возведение домов, других сооружений - дело затратное, стройматериалы требуют внимательного отношения и предельно точного расчета.

Основа здания - фундамент - представляет собой обычно литую конструкцию, заполняемую бетоном. Перед тем необходимо определить тип фундамента.

Плитный фундамент - плита в виде прямоугольного параллелепипеда. Столбчатое основание - прямоугольные или цилиндрические столбы определенного сечения. Определив объем одного столба и умножив его на количество, можно рассчитать кубатуру бетона на весь фундамент.

Рассчитывая объем бетона для стен или перекрытий, поступают достаточно просто: определяют объем всей стены, умножая длину на ширину и высоту, затем отдельно определяют объемы оконных и дверных проемов. Разность объема стены и суммарного объема проемов - объем бетона.

Как определить объем здания?

Некоторые прикладные задачи требуют знаний об объеме зданий и сооружений. К ним относятся проблемы ремонта, реконструкции, определения влажности воздуха, вопросы, связанные с теплоснабжением и вентиляцией.

Прежде чем ответить на вопрос о том, как посчитать объем здания, делают замеры по внешней его стороне: площади сечения (длина умножается на ширину), высоты здания от нижней части первого этажа до чердака.

Определение внутренних объемов отапливаемых помещений проводят по внутренним обводкам.

Устройство систем отопления

Современные квартиры и офисы невозможно представить без системы отопления. Основной частью систем являются батареи и соединительные трубы. Как посчитать объем системы отопления? Полный объем всех секций отопления, который указан на самом радиаторе, необходимо сложить с объемом труб.

И на этом этапе встает проблема: как посчитать объем трубы. Представим, что труба - цилиндр, решение приходит само собой: используем формулу цилиндра. В отопительных системах трубы заполняются водой, поэтому необходимо знать площадь внутреннего сечения трубы. Для этого определяем ее внутренний радиус (R). Формула определения площади круга: S=πR 2 . Общая длина труб определяется по их протяженности в помещении.

Канализация в доме - система труб

Закладывая трубы для водоотведения, также стоит знать объем трубы. На этом этапе необходим внешний диаметр, действия аналогичны предыдущим.

Определение объема металла, который идет на изготовление трубы - также интересная задача. Геометрически труба - цилиндр с пустотами. Определить площадь кольца, лежащего в ее сечении - задача достаточно сложная, но решаемая. Более простой выход - определить внешний и внутренний объемы трубы, разность этих величин и будет объемом металла.

Определение объемов в задачах физики

Знаменитая легенда о короне царя Герона стала известной не только вследствие решения задачи выведения «на чистую воду» вороватых ювелиров. Итог сложной мыслительной деятельности Архимеда - определение объемов тел неправильной геометрической формы. Основная мысль, извлеченная философом - объем вытесненной телом жидкости равен объему тела.

В лабораторных исследованиях пользуются мерным цилиндром (мензуркой). Определяют объем жидкости (V 1), погружают в нее тело, выполняют вторичные измерения (V 2). Объем равен разности вторичных и первичных измерений: V т = V 2 - V 1 .

Такой метод определения объемов тел используют при вычислении объемной плотности сыпучих нерастворимых материалов. Он крайне удобен при определении плотности сплавов.

Вычислить объем булавки можно с применением этого метода. Кажется, достаточно сложно определить объем столь маленького тела, как булавка или дробинка. Линейкой его не измерить, мерный цилиндр также достаточно велик.

Но если использовать несколько совершенно одинаковых булавок (n), то можно при помощи мерного цилиндра определить их суммарный объем (V т = V 2 - V 1) . Затем полученную величину разделить на количество булавок. V= V т \n.

Эта задача становится понятной, если из одного большого куска свинца необходимо отлить множество дробинок.

Единицы измерения объема жидкости

Интернациональная система единиц предполагает измерение объемов в м 3 . В обыденной жизни чаще используют внесистемные единицы: литр, миллилитр. Когда определяются, как посчитать объем в литрах, используют систему перевода: 1 м 3 = 1000 литров.

Использование в повседневной жизни иных внесистемных мер может вызвать трудности. Англичане используют более привычные для них баррели, галлоны, бушели.

Система перевода:

Задачи с нестандартными данными

Задача 1. Как посчитать объем, зная высоту и площадь? Обычно такую задачу решают, определяя объем покрытия различных деталей гальваническим путем. При этом площадь поверхности детали (S) известна. Толщина слоя (h) - высота. Объем определяют произведением площади и высоты: V=Sh.

Задача 2. Для кубов интересной, с математической точки зрения, может выглядеть задача определения объема, если известна площадь одной грани. Известно, что объем куба: V=a 3 , где а - длина его грани. Площадь боковой поверхности куба S=a 2 . Извлекая из площади, получаем длину грани куба. Используем формулу объема, вычисляем его значение.

Задача 3. Вычислить объем фигуры, если известна площадь и даны некоторые параметры. К дополнительным параметрам можно отнести условия соотношения сторон, высот, диаметров основания и многое другое.

Для решения конкретных задач понадобятся не только знания формул расчета объемов, но и другие формулы геометрии.

Определение объемов памяти

Совершенно не связанная с геометрией задача: определить объем памяти электронных устройств. В современном, достаточно компьютеризованном мире эта проблема не бывает лишней. Точные устройства, какими являются персональные компьютеры, не терпят приблизительности.

Знание объемов памяти флешки или иного накопителя полезно при копировании, перемещении информации.

Немаловажно знать объем оперативной и постоянной памяти компьютера. Часто пользователь сталкивается с ситуацией, когда «не идет игра», «виснет программа». Проблема вполне возможна при низком объеме памяти.

Считается байт и его производные (килобайт, мегабайт, терабайт).

1 кБ = 1024 Б

1 МБ = 1024 кБ

1 ГБ = 1024 Мб

Странность в данной системе перерасчета следует из двоичной системы кодирования информации.

Размер памяти запоминающего устройства является его основной характеристикой. Сравнивая объем переносимой информации и объем памяти накопителя, можно определить возможность его дальнейшей эксплуатации.

Понятие «объема» настолько масштабно, что в полной мере уяснить его многогранность можно только решая прикладные задачи, интересные и увлекательные.

1. Расчет объема куба

a — сторона куба

Формула объема куба, (V ):

2. Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда

a , b , c — стороны параллелепипеда

Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.

Формула объема параллелепипеда, (V ):

3. Формула для вычисления объема шара, сферы

R — радиус шара

По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V ):

4. Как вычислить объем цилиндра?

h — высота цилиндра

r — радиус основания

По формуле найти объема цилиндра, есди известны — его радиус основания и высота, (V ):

5. Как найти объем конуса?

R — радиус основания

H — высота конуса

Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V ):

7. Формула объема усеченного конуса

r — радиус верхнего основания

R — радиус нижнего основания

h — высота конуса

Формула объема усеченного конуса, если известны — радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):

8. Объем правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр — пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а — ребро тетраэдра

Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V ):

9. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V ):

10. Объем правильной треугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны — высота и сторона основания (V ):

11. Найти объем правильной пирамиды

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

n — количество сторон многоугольника в основании

Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V ):

Все формулы объемов геометрических тел
Геометрия, Алгебра, Физика

Формулы объема

Объём геометрической фигуры — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. В простейших случаях объём измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Формула объема куба

1) Объем куба равен кубу его ребра.

V — объем куба

H — высота ребра куба

Формула объема пирамиды

1) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCD) на высоту h (OS).

V — объем пирамиды

S — площадь основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формулы объема конуса

1) Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

2) Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

V — объем конуса

S — площадь основания конуса

h — высота конуса

π — число пи (3.1415)

r — радиус конуса

Формулы объема цилиндра

1) Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

2) Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

V — объем цилиндра

S — площадь основания цилиндра

h — высота цилиндра

π — число пи (3.1415)

r — радиус цилиндра

Формула объема шара

1) Объем шара вычисляется по приведенной ниже формуле.

V — объем шара

π — число пи (3.1415)

R — радиус шара

Формула объема тетраэдра

1) Объем тетраэдра равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух помноженный на куб длины ребра тетраэдра, а в знаменателе двенадцать.

Формулы объема
Формулы объема и онлайн программы для вычисления объема

Формула объема.

Формула объема необходима для вычисления параметров и характеристик геометрической фигуры.

Объем фигуры — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. В простейших случаях объём измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Параллелепипед .

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Цилиндр .

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

Пирамида .

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Правильная пирамида - это пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Тетраэдр - это пирамида, у которой все грани - равносторонние треугольники.

Усеченная пирамида .

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S 1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S 2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 .

Конус - это тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.

Призма .

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Сектор шара .

Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу шара.

Шаровой слой - это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

Сегмент шара — это часть шара, осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом

Формула объема
Формула объема куба, шара, пирамиды, параллелограмма, цилиндра, тетраэдра, конуса, призмы и объемы других геометрических фигур.

В курсе стереометрии один из главных вопросов — как рассчитать объем того или иного геометрического тела. Все начинается с простого параллелепипеда и заканчивается шаром.

В жизни тоже часто приходится сталкиваться с подобными задачами. Например, чтобы рассчитать объем воды, которая помещается в ведро или бочку.

Свойства, справедливые для объема каждого тела

1. Это значение — всегда положительное число.
2. Если тело удается разделить на части так, чтобы не было пересечений, то общий объем оказывается равным сумме объемов частей.
3. У равных тел одинаковые объемы.
4. Если меньшее тело полностью помещается в большем, то объем первого меньше, чем второго.

Общие обозначения для всех тел

В каждом из них есть ребра и основания, в них строятся высоты. Поэтому такие элементы для них одинаково обозначены. Именно так они записаны в формулах. Как рассчитать объем каждого из тел — узнаем дальше и применим на практике новые умения.

В некоторых формулах имеются другие величины. Об их обозначении будет сказано при появлении такой необходимости.

Призма, параллелепипед (прямой и наклонный) и куб

Эти тела объединены, потому что внешне очень похожи, и формулы того, как рассчитать объем, идентичны:

V = S * h.

Различаться будет только S . В случае с параллелепипедом она рассчитывается, как для прямоугольника или квадрата. В призме основанием может оказаться треугольник, параллелограмм, произвольный четырехугольник или другой многоугольник.

Для куба формула существенно упрощается, потому что все его измерения равны:

V = а 3 .

Пирамида, тетраэдр, усеченная пирамида

Для первого из указанных тел существует такая формула, чтобы вычислить объем:

V = 1/3 * S * н.

Тетраэдр является частным случаем треугольной пирамиды. В нем все ребра равны. Поэтому снова получается упрощенная формула:

V = (а 3 * √2) / 12, или V = 1/ 3 S h

Усеченной пирамида становится тогда, когда у нее срезана верхняя часть. Поэтому ее объем равен разности двух пирамид: той, которая была бы целой, и удаленной верхушки. Если есть возможность узнать оба основания такой пирамиды (S 1 - большее и S 2 - меньшее), то удобно пользоваться такой формулой для расчета объема:

Цилиндр, конус и усеченный конус

V =π * r 2 * h.

Несколько сложнее обстоит дело с конусом. Для него существует формула:

V = 1/3 π * r 2 * h. Она очень похожа на ту, что указана для цилиндра, только значение уменьшено в три раза.

Так же, как с усеченной пирамидой, дело обстоит непросто с конусом, который имеет два основания. Формула для вычисления объема усеченного конуса выглядит так:

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Здесь r 1 - радиус нижнего основания, r 2 - верхнего (меньшего).

Шар, шаровые сегменты и сектор

Это самые сложные для запоминания формулы. Для объема шара она выглядит так:

V = 4/3 π *r 3 .

В задачах часто есть вопрос о том, как рассчитать объем шарового сегмента - части сферы, которая как бы срезана параллельно диаметру. В этом случае на выручку придет такая формула:

V = π h 2 * (r — h/3). В ней за h взята высота сегмента, то есть та часть, которая идет по радиусу шара.

Сектор делится на две части: конус и шаровой сегмент. Поэтому его объем определяется как сумма этих тел. Формула после преобразований выглядит так:

V = 2/3 πr 2 * h. Здесь h также высота сегмента.

Примеры задач

Про объемы цилиндра, шара и конуса

Условие: диаметр цилиндра (1 тело) равен его высоте, диаметру шара (2 тело) и высоте конуса (3 тело), проверить пропорциональность объемов V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

Решение. Сначала потребуется записать три формулы для объемов. Потом учесть, что радиус - это половина диаметра. То есть высота будет равна двум радиусам: h = 2r. Произведя простую замену получается, что формулы для объемов будут иметь такой вид:

V 1 = 2 π r 3 , V 3 = 2/3 π r 3 . Формула для объема шара не изменяется, потому что в ней не фигурирует высота.

Теперь осталось записать отношения объемов и произвести сокращение 2π и r 3 . Получается, что V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Эти числа легко привести к записи 3: 2: 1.

Про объем шара

Условие: имеется два арбуза радиусами 15 и 20 см, как их выгоднее съесть: первый вчетвером или второй ввосьмером?

Решение. Чтобы ответить на этот вопрос, потребуется найти отношение объемов частей, которые достанутся от каждого арбуза. Принимая во внимание, что они - шары, нужно записать две формулы для объемов. Потом учесть, что от первого каждому достанется только четвертая часть, а от второго — восьмая.

Осталось записать отношение объемов частей. Оно будет выглядеть так:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). После преобразования остается только дробь: (2 r 1 3) / r 2 3 . После подстановки значений и вычисления получается дробь 6750/8000. Из нее ясно, что часть от первого арбуза будет меньше, чем от второго.

Ответ. Выгоднее съесть восьмую часть от арбуза с радиусом 20 см.

Про объемы пирамиды и куба

Условие: имеется пирамида из глины с прямоугольным основанием 8Х9 см и высотой 9 см, из этого же куска глины сделали куб, чему равно его ребро?

Решение. Если обозначить стороны прямоугольника буквами в и с, то площадь основания пирамиды вычисляется, как их произведение. Тогда формула для ее объема:

Формула для объема куба написана в статье выше. Эти два значения равны: V 1 = V 2 . Осталось приравнять правые части формул и сделать необходимые вычисления. Получается, что ребро куба будет равно 6 см.

Про объем параллелепипеда

Условие: требуется сделать ящик вместимостью 0,96 м 3 , известны его ширина и длина — 1,2 и 0,8 метра, какой должна быть его высота?

Решение. Поскольку основание параллелепипеда — прямоугольник, его площадь определяется как произведение длины (а) на ширину (в). Поэтому формула для объема выглядит так:

Из нее легко определить высоту, разделив объем на площадь. Получится, что высота должна быть равна 1 м.

Ответ. Высота ящика равна одному метру.

Как рассчитать объем различных геометрических тел?
В курсе стереометрии одна из главных задач — как рассчитать объем того или иного геометрического тела. Все начинается с простого параллелепипеда и заканчивается шаром.