Статистические оценки параметров распределения примеры. Анализ подобия распределений. Виды статистических оценок

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, т. к. эти два параметра полностью определяют нормальное распределение. Если имеются основания считать, что признак имеет распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр , которым это распределение определяется. Обычно имеются лишь данные выборки, полученные в результате наблюдений: , , ... , . Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая , , ... , как значения независимых случайных величин , , ... , , можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистическая оценка неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называется точечной . Ниже рассматриваются следующие точечные оценки: смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные.

Для того, чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования. Пусть есть статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем их генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку и т. д. Получим числа , , ... , , которые будут различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , , ... , - как ее возможные значения.

Если оценка дает приближенное значение с избытком, тогда найденное по данным выборок число () будет больше истинного значения . Следовательно, и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины будет больше, чем , т. е. . Если дает приближенное значение с недостатком, то .

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим ошибкам. Поэтому нужно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования устраняет систематические ошибки.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , т. е. .

Смещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако ошибочно считать, что несмещенная оценка всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия величины может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например, , может оказаться весьма удаленной от своего среднего значения , а значит, и от самого оцениваемого параметра . Приняв в качестве приближенного значения , мы допустили бы большую ошибку. Если потребовать, чтобы дисперсия величины была малой, то возможность допустить большую ошибку будет исключена. Поэтому к статистической оценке предъявляются требования эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки ) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего в смысле несмещенности, эффективности и состоятельности оценивают генеральную стреднюю и дисперсию.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака. Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Она может быть вычислена по формулам или , где - значения признака генеральной совокупности объема , - соответствующие частоты, причем .

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема со значениями признака . Выборочной средней называют среднее арифметическое выборочной совокупности. Она может быть вычислена по формулам или , где - значения признака в выброчной совокупности объема , - соответствующие частоты, причем .

Если генеральная средняя неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки, то в качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю, которая является несмещенной и состоятельной оценкой. Отсюда следует, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних .

Заметим, что если дисперсии двух совокупностей одинаковы, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объема выборки к объему генеральной совокупности. Она зависит от объема выборки: чем объем выборки больше, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику - генеральную дисперсию. Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения , которая вычисляется по формулам: , или .

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюденных значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику - выброрчную дисперсию. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюденных значений признака от их среднего значения , которая вычисляется по формулам: , или .

Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния значений признака генеральной (выборочной) совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением. Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии: . Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема . Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой ; другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Легко исправить выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь . В результате получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через . Исправленная дисперсия будет несмещенной оценкой генеральной дисперсии: .

2. Интервальные оценки .

Наряду с точечным оцениванием статистическая теория оценивания параметров занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания можно сформулировать следующим образом: по данным выборки построить числовой нитервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри этого интервала находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна, следовательно, мало надежна.

Доверительным интервалом для параметра называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью , близкой к единице, утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра , т. е. . Чем меньше для выбранной вероятности число , тем точнее оценка неизвестного параметра . И наоборот, если это число велико, то оценка, произведенная с помощью данного интервала, мало пригодна для практики. Так как концы доверительного интервала зависят от элементов выборки, то значения и могут меняться от выборки к выборке. Вероятность принято называть доверительной вероятностью (надежностью). Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, а определяется конкретной решаемой проблемой. Наиболее часто задают надежность, равную ; ; .

Приведем без вывода доверительный интервал для генеральной средней при известном значении среднего квадратического отклонения при условии, что случайная величина (количественный признак ) распределена нормально:

где - наперед заданное число, близкое к единице, а значения функции приведены в приложении 2.

Смысл этого соотношения заключается в следующем: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал () покрывает неизвестный параметр , точность оценки равна . Число определяется из равенства , или . По таблице (приложение2) находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Пример 1 . Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестной генеральной средней по выборочным средним, если объем выборок и задана надежность оценки .

Решение. Найдем . Из соотношения получим, что . По таблице (приложение 2) находим . Найдем точность оценки . Доверительные интервалы будут таковы: . Например, если , то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы: ; . Таким образом, значения неизвестного параметра , согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству .

Доверительный интервал для генеральной средней нормального распределения признака при неизвестном значении среднего квадратического отклонения задается выражением .

Отсюда следует, что с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр .

Имеются готовые таблицы (приложение 4), пользуясь которыми, по заданным и находят вероятность , и обратно, по заданным и можно найти .

Пример 2 . Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема найдена выборочная средняя и исправленное среднеквадратическое отклонение . Оценить неизвестную генеральную среднюю при помощи доверительного интервала с надежностью .

Решение. Найдем . Пользуясь таблицей (приложение 4) по и находим: . Найдем доверительные границы:

Итак, с надежностью неизвестный параметр заключен в доверительном интервале .

3. Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез .

Проверка статистических гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров. В естествознании, технике, экономике часто для выяснения того или иного случайного факта прибегают к высказыванию гипотез, которые можно проверить статистически, т. е. опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Под статистическими гипотезами подразумеваются такие гипотезы, которые относятся или к виду, или к отдельным параметрам распределения случайной величины. Так, например, статистической является гипотеза о том, что распределение производительности труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых условиях, имеет нормальный закон распределения. Статистической будет также гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных, параллельно работающих станках, не различаются между собой.

Статистическая гипотеза называется простой , если она однозначно определяет распределение случайной величины , в противном случае гипотеза называется сложной. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Если высказывается предположение, что случайная величина имеет нормальное распределение с дисперсией, равной единице, а математическое ожидание - число из отрезка , то это сложная гипотеза. Другим примером cложной гипотезы является предположение о том, что непрерывная случайная величина с вероятностью принимает значение из интервала , в этом случае распределение случайной величины может быть любым из класса непрерывных распределений.

Часто распределение величины известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения. Такие гипотезы называются параметрическими .

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается . Наряду с гипотезой рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез . Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра некоторому заданному значению , т. е. : , то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез: : ; : ; : ; : , где - заданное значение, . Выбор альтернативной гтпотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу , называется критерием . Так как решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины , необходимо выбрать подходящую статистику, называемую в этом случае статистикой критерия . При проверке простой параметрической гипотезы : в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра .

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считяются достоверными. Этот принцип можно реализовать следующим образом. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости . Пусть - множество значений статистики , а - такое подмножество, что при условии истинности гипотезы вероятность попадания статистики критерия в равна , т. е. .

Обозначим через выборочное значение статистики , вычисленное по выборке наблюдений. Критерий формулируется следующим образом: отклонить гипотезу , если ; принять гипотезу , если . Критерий, основанный на использовании заранее заданного уровня значимости, называют критерием значимости . Множество всех значений статистики критерия , при которых принимается решение отклонить гипотезу , называется критической областью ; область называется областью принятия гипотезы .

Уровень значимости определяет размер критической области . Положение критической области на множестве значений статистики зависит от формулировки альтернативной гипотезы . Например, если проверяется гипотеза : , а альтернативная гипотеза форимулируется как : (), то критическая область размещается на правом (левом) “хвосте” распределения статистики , т. е. имеет вид неравенства: (), где и - те значения статистики , которые принимаются с вероятностями соответственно и при условии, что верна гипотеза . В этом случае критерий называется односторонним , соответственно правосторонним и левосторонним. Если альтернативная гипотеза формулируется как : , то критическая область размещается на обоих “хвостах” распределения , т. е. определяется совокупностью неравенств и ; в этом случае критерий называется двухсторонним .

На рис. 30 показано расположение критической области для различных альтернативных гипотез. Здесь - плотность распределеиня статистики критерия при условии, что верна гипотеза , - область принятия гипотезы, .

Таким образом, проверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы:

1) сформулировать проверяемую () и альтернативную () гипотезы;

2) назначить уровень значимости ; как не согласующуюся с результатами наблюдений; если , то принять гипотезу , т. е. считать, что гипотеза не противоречит результатам наблюдений.

Обычно при выполнении п. п. 4 - 7 используют статистику, квантили которых табулированы: статистику с нормальным распределением, статистику Стьюдента, статистику Фишера.

Пример 3 . По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л . В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем, причем выборочное среднее расходов топлива на 100 км пробега по результатам испытаний составило 9,3 л . Предположим, что выборка расходов топлива получена из нормально распределенной генеральной совокупности с средним и дисперсией. При условии, что верна гипотеза критической области для исходной статистики, т. е. равна уровню значимости. Найти вероятности ошибок первого и второго рода для критерия с такой критической областью. имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным и дисперсией, равной . Вероятность ошибки второго рода найдем по формуле (11.2):

Следовательно, в соответствии с принятым критерием 13,6% автомобилей, имеющих расход топлива 9 л на 100 км пробега, классифицируются как автомобили, имеющие расход топлива 10 л .

4. Теоретические и эмпирические частоты. Критерии согласия.

Эмпирические частоты - частоты, полученные в результате опыта (наблюдения). Теоретические частоты расcчитываются по формулам. Для нормального закона распределения их можно найти следующим образом:

, (11.3)

Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки: смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные. Интервальные статистические оценки. Точность и надежность оценки; определение доверительного интервала; построение доверительных интервалов для средней при известном и неизвестном среднеквадратическом отклонении.

Определение статистической оценки

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение. Если имеются основания считать, что признак имеет распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр , которым это распределение определяется. Обычно имеются лишь данные выборки, полученные в результате наблюдений: . Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая как значения независимых случайных величин можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения означает найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Точечные статистические оценки

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистическая оценка неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называется точечной . Рассмотрим следующие точечные оценки : смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные.

Для того чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования. Пусть есть статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку и т. д. Получим числа , которые будут различаться. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа - как возможные ее значения.

Если оценка дает приближенное значение с избытком, то найденное по данным выборок число будет больше истинного значения . Следовательно, и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины будет превышать , то есть . Если дает приближенное значение с недостатком, то .

Использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приводит к систематическим ошибкам. Поэтому нужно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования устраняет систематические ошибки.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , то есть .

Смещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако ошибочно считать, что несмещенная оценка всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия величины может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например , может оказаться удаленной от своего среднего значения , а значит, и от самого оцениваемого параметра . Приняв в качестве приближенного значения , мы допустили бы ошибку. Если потребовать, чтобы дисперсия величины была малой, то возможность допустить ошибку будет исключена. Поэтому к статистической оценке предъявляются требования эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки ) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается также состоятельной.

Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего в смысле несмещённости, эффективности и состоятельности оценивают генеральную среднюю и дисперсию.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака. Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Она вычисляется по формуле

где - значения признака генеральной совокупности объема ; - соответствующие частоты, причем

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема со значениями признака . Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности и вычисляется по формуле

где - значения, признака в выборочной совокупности объема ; - соответствующие частоты, причем

Если генеральная средняя неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки, то в качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю, которая является несмещенной и состоятельной оценкой. Отсюда следует, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних .

Если дисперсии двух совокупностей одинаковы, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объема выборки к объему генеральной совокупности. Она зависит- от объема выборки: чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику - генеральную дисперсию. Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения , которое вычисляется по формуле

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюденных значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения хв, вводят сводную характеристику - выборочную дисперсию. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюденных значений признака от их среднего значения , которое вычисляется по формуле

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной (выборочной) совокупности вокруг своего среднего значения используют сводную характеристику - среднее квадратическое отклонение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии: . Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема . Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка приведет к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой . Другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Легко исправить выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Для этого нужно умножить на дробь . В результате получим исправленную дисперсию , которая будет несмещенной оценкой генеральной дисперсии:

Интервальные оценки

Наряду с точечным оцениванием, статистическая теория оценивания параметров занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри него находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом количестве наблюдений, когда точечная оценка малонадежна.

Доверительным интервалом для параметра называется такой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью , близкой к единице, можно утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра , то есть . Чем меньше для выбранной вероятности число , тем точнее оценка неизвестного параметра . И, наоборот, если это число велико, то оценка, проведенная с помощью данного интервала, малопригодна для практики. Так как концы доверительного интервала зависят от элементов выборки, то значения и могут изменяться от выборки к выборке. Вероятность принято называть доверительной (надежностью). Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, а определяется конкретной решаемой проблемой. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительный интервал для генеральной средней при известном значении среднего квадратического отклонения и при условии, что случайная величина (количественный признак ) распределена нормально, задается выражением

где - наперед заданное число, близкое к единице, а значения функции приведены в таблице прил. 2.

Смысл этого соотношения заключается в следующем: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр , точность оценки . Число определяется из равенства , или . По прил. 2 находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Пример 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестной генеральной средней по выборочным средним, если объем выборок и надежность оценки .

Решение. Найдем . Из соотношения получим, что . По прил. 2 находим . Найдем точность оценки . Доверительные интервалы будут таковы: . Например, если , то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы: . Таким образом, значения неизвестного параметра , согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству .

Тема 7. Статистические оценки параметров распределения: точечные и интервальные оценки

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема, то есть по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах целиком.

Естественно, что замена исследования генеральной совокупности исследованием выборки порождает ряд вопросов:

1. В какой степени выборка отражает свойства генеральной совокупности, т. е. в какой степени выборка репрезентативна по отношению к генеральной совокупности?

2. Какую информацию о значениях параметров генеральной совокупности могут дать параметры выборки?

3. Можно ли утверждать, что полученные выборочным путем статистические характеристики (средние величины, дисперсия или любые другие производные величины) равны тем характеристикам, которые могут быть получены из генеральной совокупности.

Проверка показывает, что значения параметров, полученных для разных выборок из одной генеральной совокупности, обычно не совпадают. Рассчитанные выборочным путем числовые значения параметров выборок являются лишь результатом приближенного статистического оценивания значений этих параметров в генеральной совокупности. Статистическое оценивание, в силу изменчивости наблюдаемых явлений, позволяет получать только их приближенные значения.

Примечание. Строго говоря, в статистике оценка - это правило вычисления оцениваемого параметра, а термин оценить, т. е. провести оценивание, означает указать приближенное значение.

Различают оценки точечные и оценки интервальные .

Точечная оценка параметров распределения

Пусть x 1 , x 2 , …, x n – выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения F (x ).

Числовые характеристики этой выборки называются выборочными (эмпирическими ) числовыми характеристиками.

Отметим, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности. Однако эти характеристики можно использовать для оценок параметров генеральной совокупности.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Точечная оценка характеризуется свойствами: несмещенность, состоятельность и эффективность.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Точечная оценка называется состоятельной , если при неограниченном увеличении объема выборки (n ® ¥) она сходится по вероятности к истинному значению параметра, то есть стремится к истинному значению оцениваемого параметра генеральной совокупности.

Эффективной называют точечную оценку, которая (при заданном объеме выборки n ) имеет наименьшую возможную дисперсию, те есть гарантирует наименьшее отклонение выборочной оценки от такой же оценки генеральной совокупности..

В математической статистике показывается, что состоятельной, несмещенной оценкой генерального среднего значения а является выборочное средне:

где х i – варианта выборки, n i – частота варианты х i , – объем выборки.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправления выборочная дисперсия

Более удобна формула .

Оценка s 2 для генеральной дисперсии является также и состоятельной, но не является эффективной. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есть при увеличении n отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице.

Итак, если дана выборка из распределения F (x ) случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией s 2 , то для вычисления значений этих параметров мы имеем право пользоваться следующими приближенными формулами:

Точечные оценки имеют тот недостаток, что при малом объеме выборки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров. Поэтому, чтобы получить представление о близости между параметром и его оценкой, в математической статистике вводятся, так называемые, интервальные оценки.

Доверительный интервал

Если при статистической обработке результатов требуется найти не только точечную оценку неизвестного параметра θ, но и охарактеризовать точность этой оценки, то находится доверительный интервал.

Доверительный интервал – это интервал, в котором заранее заданной доверительной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительная вероятность – это вероятность, с которой неизвестный параметр генеральной совокупности принадлежит доверительному интервалу.

Длина доверительного интервала характеризует точность интервального оценивания и зависит от объема выборки и доверительной вероятности. При увеличении объема выборки длина доверит. интервала уменьшается (точность увеличивается), а при стремлении доверительной вероятности к 1 длина доверит. интервала увеличивается (точность уменьшается) Наряду с доверительной вероятностью р часто на практике используют уровень значимости α = 1 - p.

Обычно принимают р = 0,95 или (реже) 0,99. Эти вероятности признаны достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей.

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: где S – СКО, - критическое значение распределения Стьюдента (Смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к Теме 7)

Распределение случайной величины (распределение генеральной совокупности) характеризуется обычно рядом числовых характеристик:

для нормального распределения N(a, σ) - это математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ ;
для равномерного распределения R(a,b) - это границы интервала , в котором наблюдаются значения этой случайной величины.

Такие числовые характеристики, как правило, неизвестные, называются параметрами генеральной совокупности . Оценка параметра - соответствующая числовая характеристика, рассчитанная по выборке. Оценки параметров генеральной совокупности делятся на два класса: точечные и интервальные .

Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой . Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость , эффективность и состоятельность .

Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Свойство несмещенности оценки .
Желательным требованием к оценке является отсутствие систематической ошибки, т.е. при многократном использовании вместо параметра θ его оценки среднее значение ошибки приближения равно нулю - это свойство несмещенности оценки .

Определение . Оценка называется несмещенной , если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:

Выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия - смещенная оценка генеральной дисперсии D . Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка

Свойство состоятельности оценки .
Второе требование к оценке - ее состоятельность - означает улучшение оценки с увеличением объема выборки.

Определение . Оценка называется состоятельной , если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру θ при n→∞.

Сходимость по вероятности означает, что при большом объеме выборки вероятность больших отклонений оценки от истинного значения мала.

Свойство эффективной оценки .
Третье требование позволяет выбрать лучшую оценку из нескольких оценок одного и того же параметра.

Определение . Несмещенная оценка является эффективной , если она имеет наименьшую среди всех несмещенных оценок дисперсию.

Это означает, что эффективная оценка обладает минимальным рассеиванием относительно истинного значения параметра. Заметим, что эффективная оценка существует не всегда, но из двух оценок обычно можно выбрать более эффективную, т.е. с меньшей дисперсией. Например, для неизвестного параметра a нормальной генеральной совокупности N(a,σ) в качестве несмещенной оценки можно взять и выборочное среднее арифметическое, и выборочную медиану. Но дисперсия выборочной медианы примерно в 1.6 раза больше, чем дисперсия среднего арифметического. Поэтому более эффективной оценкой является выборочное среднее арифметическое.

Пример №1 . Найдите несмещенную оценку дисперсии измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 13,15,17.
Решение. Таблица для расчета показателей.

x	\|x - x ср \|	(x - x ср) 2
13	2	4
15	0	0
17	2	4
45	4	8

Простая средняя арифметическая (несмещенная оценка математического ожидания)

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего - смещенная оценка).

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

Пример №2 . Найдите несмещенную оценку математического ожидания измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 4,5,8,9,11.
Решение. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4

Пример №3 . Найдите исправленную дисперсию S 2 для выборки объема n=10, если выборочная диспресия равна D = 180.
Решение. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200