Первообразная модуля x. Неопределенный интеграл и его непосредственное вычисление

Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов

Первообразная функция

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке , если в любой точке этого отрезка верно равенство: F ′ (x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1 (x) = F2 (x) + C.

Неопределенный интеграл и его непосредственное вычисление

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают: ∫ f (x )dx = F (x ) + C ;

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла.

1. (∫ f (x) dx) ′ = (F(x) + C) ′ = f (x);

2. d (∫ f (x) dx) = f (x) dx;

3. ∫ dF (x ) = F (x ) + C ;

4. ∫ (u + v − w )dx = ∫ udx + ∫ vdx − ∫ wdx ; где u, v, w – некоторые функции от х.

5. ∫ C f (x) dx = C ∫ f (x) dx;

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций

– рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

1.∫ dx

X + C

2.∫ x

x α +1

(α ≠ − 1 )

dx =

α + 1

. ∫ dx x

4.∫ a

dx =

C , (a > 0 )

ln a

5. ∫ e x dx = e x + C

.∫ sin

= − cos x + C

.∫ cos

Sin x + C

8. ∫ tg x dx = − ln

cos x

9 . ∫ ctg x dx

16 .∫

x + C

ch 2 x

. ∫ sin x = ln

tg 2

17 .∫

= − ctg

x + C

sh 2 x

C , a ≠ 0

∫ cos

.∫

19 .∫

a + x

C , a ≠ 0

= − ctg x + C

− x 2

ln a − x

sin 2 x

.∫

x + C

20 .∫

Arcsin

. ∫ sh x dx

x + C

21 .∫

Ln x +

± k + C

. ∫ ch

Sh x + C

± k

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла ∫ dx x . На основе известной формулы дифференцирования (ln x ) ′ = 1 x можно сделать вывод, что искомый интеграл равен ln x + C , где

С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны (ln(− x )) ′ = − 1 x (− 1) = 1 x . Таким

образом, окончательно можно сделать вывод: ∫ dx x = ln x + C

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

2. Способ подстановки (замены переменных)

Теорема: Если требуется найти интеграл ∫ f (x )dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = ϕ (t) и dx = ϕ′ (t)dt получается:

∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ (t)) ϕ′ (t) dt

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: d ∫ f (x )dx = d (∫ f [ϕ (t )]ϕ′ (t )dt )

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[ ϕ (t)] ϕ′ (t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл ∫ sin x cos xdx .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

∫ tdt = ∫ t1/ 2 dt =

2 t 3/ 2

2 sin 3/ 2

x + C.

Пример. ∫ x(x2 + 1)

3/ 2 dx .

Замена t = x 2 + 1;

dt = 2 xdx;

dx =

; Получаем:

∫ t 3/ 2

∫ t 3/ 2 dt =

t 5 / 2

(x 2 + 1) 5 / 2

3. Интегрирование по частям

Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) ′ = u ′ v + v ′ u, где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: ∫ d (uv ) = ∫ udv + ∫ vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: uv = ∫ udv + ∫ vdu или ∫ udv = uv − ∫ vdu ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

	∫ x	u = x2 ; dv = sin xdx;		= − x	cos x + ∫ cos x 2 xdx =
	∫ x			= − x	cos x + ∫ cos x 2 xdx =
		du = 2 xdx; v = − cos x
U = x;	dv = cos xdx;	= − x 2 cos x + 2[ x sin x −	∫ sin xdx ] = − x 2 cos x + 2x sin x + 2cos x + C .
du = dx; v = sin x

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

u = e2 x ;	du = 2 e2 x dx;		E2 x sin x − ∫ sin x 2 e2 x dx =
Пример. ∫ e 2 x cos xdx =
dv = cos xdx;		v = sin x

u = e2 x ;	du = 2 e2 x dx;	E 2 x sin x − 2[ − e 2 x cos x − ∫ − cos x 2e 2 x dx ] = e 2 x sin x +

dv = sin xdx ; v = − cos x ;

2e 2 x cos x − 4∫ cos xe 2 x dx