Метод основан на делении текущего отрезка [а , b ], где содер­жится искомый экстремум, на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой локализуется минимум (максимум) в качестве следующего текущего отрезка. Экстремум локализуется путем сравнения двух значений критерия оптимальности в точках, отстоящих от середины отрезка на ε /2, где ε –погрешность решения задачи оптимизации.

Если R (x + ε /2) > R (x – ε /2), то максимум располагается на правой половине текущего отрезка [а, b ], в противном случае – на левой.

Процесс поиска завершается при достижении отрезком [а, b ] величины заданной погрешности е ε .

К недостаткам метода относится его работоспособность только для одноэкстремальных функций R (x ) (т.е. таких, которые содержат один экстремум того типа, который мы ищем в задаче), так как в других случаях при сравнении двух критериев в соседних точках невозможно правильно выбрать следующий интервал, где находится минимум (максимум).

На рис. 2 приведены три этапа метода половинного деления. Сплошными вертикальными линиями отмечены середины отрезков, а пунктирными – вычисляемые значения критерия оптимальности слева и справа на ε /2 от середин.

Рис. 2. Иллюстрация метода половинного деления: 1 – интервал, включающий в себя искомый максимум функции после первого этапа (первого деления пополам); 2, 3 – то же соответственно после второго и третьего этапов

Существует и другой вари­ант алгоритма, заключающийся в следующем. После нахожде­ния середины отрезка (например, точка с 1) в одной из половинок (допустим, в левой) находят среднюю точку (точка с 2 и, сравнивая значения функции в этих точках, определяют, в какой из половинок находится экстремум. Если R (с 1)< R (с 2), то в качестве следующего отрезка выбираем отрезок [а, с 1 ], если же R (с 1)> R (с 2), то берут новую точку в середине правой половины (точка с 3) и в ней вычисляют функцию. В зависимости от сравнения зна­чений функции в точках с 3 и с 1 выбирают новый отрезок [с 1 , b ] или [с 2 , с 3 ] и т.д.

Второй вариант метода не имеет с точки зрения эффективности принципиального отличия от первого, так как эффективность принято оценивать по наихудшему варианту (т.е. по двум вычислениям R (x ) на каждом шаге). В первом варианте метода есть одна особенность, которая его делает очень эффективным при экспериментальном отыскании экстремума (например, при автоматической настройке технических систем или при практическом поиске наилучших условий деятельности экономического объекта). Малые отклонения от текущей точки обеспечивают в процессе поиска отсутствие "шараханий", сопровождающихся резкими отклонениями состояния системы.

Алгоритм метода дихотомии для минимизации функции.

Начальный этап. Выбрать константу различимости 2ε > 0 и допустимую конечную длину интервала неопределённости l > 0. Пусть [а 1 , b 1 ] – начальный интервал неопределённости. Положить k = 1 и перейти к основному этапу.

Основной этап.

Шаг 1. Если b ­ k – a k < l , то остановиться; точка минимума принадлежит интервалу [а k , b k ]. В противном случае вычислить
и
и перейти к шагу 2.

Шаг 2. Если R(p k ) < R(q k ), положить a k +1 = a k и b k +1 = q k . В противном случае положить a k +1 = p k и b k +1 = b k . Заменить k на k + 1 и перейти к шагу 1.

Пример.

Дана функция R (x ) = D sin(Ах B + С), где коэффициенты имеют следующие значения: А = 1,0, В = 1,0, С = 1,0, D = 1,0. Найти максимум на интервале: [-1, 2]. Ошибка задается по х: ε =0,05.

Результаты расчетов. Середина отрезка x 0 = 0,5000, значение критерия R 0 = 0,9975, значение R (0,5 – ε /2) = R (0,475) = 0,97922273, значение R (0,5 + ε /2) = R (0,525) = 0,9989513. Следо­вательно, искомый максимум лежит в правой половине отрезка, т.е. теперь отрезком является .

x 1 = 1,25000000 R 1 = 0,77807320 левый

х 2 = 0,87500000 R 2 = 0,95408578 левый

x 3 = 0,68750000 R 3 = 0,99319785 левый

x 4 = 0,59375000 R 4 = 0,99973658 левый

x 5 = 0,54687500 R 5 = 0,99971390

|х 4 – x 5 | < ε , поэтому в качестве решения можно принять лю­бое из этих значений или середину между ними.

Всего восемь раз (4·2 = 8) вычислялся критерий оптимально­сти (не считая вычислений непосредственно в середине отрезка, которые не используются в алгоритме метода).

Федеральное агентство по образованию

ФГОУ СПО «Уфимский авиационный техникум»

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы»

Численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом дихотомии и методом хорд

Студент Г. Р. Хайбуллина

Руководитель работы

Э.Р. Ахматсафина

Введение

Теоретическая часть

1 Метод половинного деления

2 Метод хорд

Постановка и решение задачи

1 Формулировка задачи

2 Решение уравнения методом половинного деления

3 Решение уравнения методом хорд

Программная реализация

1 Блок-схемы

2 Тексты программ

3 Тестовый пример

4 Решение задачи с помощью ЭВМ

Заключение

Список литературы

Введение

Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение - это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале . Сразу оговоримся, что любой метод является приближенным, и по сути дела лишь уточняющим значение корня. Однако уточняющим до любой точности, заданной Нами.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Целью данной курсовой работы является раскрытие содержания темы «Нахождение корня нелинейного уравнения методом половинного деления и методом хорд» и дальнейшее ее закрепление путем выполнения задания.

Данная работа состоит из трех частей. В первой части мы рассматриваем теоретическую часть. Во второй части на основе усвоенной теории решаем задание. Третья часть состоит из программ и блок схем.

1.
Теоретическая часть

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы ;

2. итерационные методы .

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы), для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0 . Каждый такой шаг называется итерацией . В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х 1 , х 2 , ..., х n . Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится .

Можно выделить два типа итерационных методов:

Методы сужения интервала, содержащего корень (например, метод половинного деления). Здесь используется только знак функции y = f (x ) , а не ее значения. Они являются относительно простыми, но имеют низкую скорость сходимости.

Методы аппроксимации, в которых функция y = f (x ) заменяется некоторой более простой функцией y = φ(x ) , для которой и отыскивается корень (например, метод хорд). Используют значения функции y = f (x ) . Скорость сходимости у них выше.

Пусть дано уравнение f (x ) = 0, где функция f (x ) определена и непрерывна на некотором интервале (a , b ). Всякое значение x , обращающее функцию f (x ) в нуль, то есть такое, при котором f (x ) = 0, называется корнем уравнения, а процесс нахождения x - решением уравнения. Решить уравнение f (x ) = 0 итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Задача нахождения корня уравнения f (x ) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f (x ) в граничных x = a и x = b точках области ее существования. Для отделения корней используют следующую теорему. Теорема. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. f(a)f(b)<0 , то внутри этого отрезка находится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Необходимо тем или иным способом проверить, является ли этот корень единственным.

1.1 Метод половинного деления

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность или противопоставленность двух частей целого) при нахождении корня уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка , где находится корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет. Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из условий: либо длина интервала становится меньше заданной погрешности нахождения корня ε, либо значение функции сравнимо с погрешностью расчетов.

Функция y = F (x ) определена и непрерывна на отрезке [ a ; b ]

. F (a )* F (b )<0

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε

Разделим отрезок [ a ; b ] пополам точкой c = (a + b )/2 , как показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Построение последовательного приближения по методу половинного деления

Если F (c ) не равно 0, то возможны два случая:

) F (x ) меняет знак на отрезке [ a ; c ];

) F (x ) меняет знак на отрезке [ c ; b ].

Выбираем тот отрезок, на котором функция меняет знак. Если F (x ) меняет знак на отрезке [ a ; c ], то b := c ; если F (x ) меняет знак на отрезке [ c ; b ], то a := c .

Условие окончания счета: b - a < ε

Корень уравнения: x = (a + b )/2

Погрешность метода: dx = (b - a )/2

Рассмотрим положительные и отрицательные стороны метода половинного деления

Надежность

Не требует приведения к специальному виду

Не требует дифференцируемости функции

Устойчивость к ошибкам округления

Медленная сходимость

Метод не применим для корней четной кратности

Метод половинного деления практически неудобен для вычисления корня с большой точностью ручным способом, так как требует большого объема вычислительной работы. Но он легко реализуется на ЭВМ.

В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции f(x), имеющим противоположные знаки. Через точки, соединяющие значения функции f(a) и f(b) на концах отрезка , проводят прямую, которая пересекает ось x в точке.

Значение функции f(x) сравнивается со значениями функций f(a) и f(b) и в дальнейшем используется вместо того из них, с которым оно совпадает по знаку. Если значение f(x) недостаточно близко к нулю, то вся процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута необходимая степень сходимости ε.

Пусть дано уравнение , где - непрерывная функция, имеющая в интервале (a,b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке .

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дугу кривой можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай, показанный на рисунке 2, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. .

Рисунок 2. График функции f(x), (первая и вторая производные имеют одинаковые знаки)

Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:

.

Пусть x 1 - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то

Аналогично для хорды, проходящей через точки и , вычисляется следующее приближение корня:

В общем случае формулу метода хорд имеет вид:

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. , то все приближения к корню выполняются со стороны правой границы отрезка как показано на рисунке 3 и вычисляются по формуле:

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (4) используется в том случае, когда . Если справедливо неравенство , то целесообразно применять формулу (5).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением

Если обозначить через m наименьшее значение |f"(x)| на промежутке , которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:

или

где - заданная погрешность вычислений.

Если дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно. Если корень уравнения находится на отрезке , производные и на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и , то можно доказать, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при n→∞, то есть метод сходится и имеет при этом линейную скорость сходимости. (Сходится со скоростью геометрической прогрессии.)

2.
Постановка и решение задачи

2.1 Формулировка задачи

Нахождение корня уравнения методом дихотомии и методом хорд (на примере уравнения ).

Решить уравнение, значит, установить имеет ли оно корни, сколько корней и найти значение корней с требуемой точностью. Решение данного уравнения в общем случае начинают с отделения корней, то есть установление количества корней, а так же наиболее тесных промежутков, каждый из которых содержит только один корень. Грубое отделение корней во многих случаях можно произвести методом графической прикидки. При этом задачу часто удается сильно упростить, заменив уравнение равносильным ему уравнением .

В этом случае строятся графики функций и , а затем на оси ОХ отмечаются по возможности наименьшие отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Отделение корней графически

Дано уравнение , отделим корни уравнения графическим методом, для этого преобразуем его к равносильному ему уравнению .

Вычислим координаты точек графика функции F()

Рисунок 4. Отделение корней графически.

Разделим отрезок [ a , b ] пополам точкой

с = 1/2*(a + b )

Получим с = 1/2(-2 - 1)=-3/2=-1.5

Если F(c)=0, то возможны два случая, либо F(x) меняет знак на отрезке , либо на отрезке [с, b]. Выбирая в каждом случае тот из отрезков на котором функция меняет знак и продолжая процесс половинного деления так же можно дойти до столь угодного малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Определим, где фикция меняет знак, для этого начнем цикл и вычислим F(a)*F(c) <= 0

1-й Шаг.

Найдем F(a) =

F(b) =(a)*F(c) = -12*3.125 = -37.5(a)*F(c) <= 0

Если -37.5 <= 0, то b:=c, так как функция меняет знак

Промежуток сократиться до [-2;-1.5]

2-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (b - a)/2 = (-1.5 + 2)/2=0.25

Сравним полученную погрешность с погрешностью заданной по условию d > ε

25 > 0.01 - да

Полученная погрешность больше, следовательно, возвращаемся к началу цикла F(a)*F(c) <= 0. Затем выполняем цикл решения до тех пор, пока полученная погрешность не удовлетворит условию задачи.

3-й Шаг. Вычисление середины отрезка

с = (-2 + (-1.5))/2 = -1.75

F(a) = -12(c) = -3.734375

8125 <= 0 - нет= c = -1.75

4- й Шаг . Вычисление погрешности

d = (-1.5 + 1.75)/2 = 0.125

125 > 0.01 - да

5-й Шаг. Вычисление середины отрезка

c = (-1.75 + (-1.5))/2 = -1.625

F(a) = -3.734375

F(c) = -0.134766(a)*F(c) = -3.734375*(-0.134766) = 0.5032654

5032654 <= 0 - нет= c = -1.625

6-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (-1.5 + 1.625)/2 = 0.0625

0625 > 0.01 - да

7-й Шаг. Вычисление середины отрезка

c = (-1.625 + (-1.5))/2 = -1.5625(a) = -0.134766(c) = 1.5368652(a)*F(c) = -0.134766*1.5368652 = -0.207117

207117 <= 0 - да = c = -1.5625

[-1.625;-1.5625]

8-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (-1.5625 + 1.625)/2 = 0.03125

03125 > 0.01 - да

9-й Шаг. Вычисление середины отрезка

c = (-1.625 + (-1.5625))/2 = -1.59375(a) = -0.134766(c) = 0.7115784(a)*F(c) = -0.134766*0.7115784 = -0.095897

095897 <= 0 - да = c = -1.59375

[-1.625;-1.59375]

10-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (-1.59375 + 1.625)/2 = 0.015625

015625 > 0.01 - да

11-й Шаг. Вычисление середины отрезка

c = (-1.625 + (-1.59375))/2 = -1.609375(a) = -0.134766(c) = 0.29105(a)*F(c) = -0.134766*0.29105 = -0.039224

039224 <= 0 - да = c = -1.5625

[-1.625;-1.609375]

12-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (-1.609375 + 1.625)/2 = 0.0078125

0078125 > 0.01 - нет

x = (b + a)/2 = (-1.625 + (-1.609375))/2 = -1.6271875

Ответ: Значение корня x = -1.6271875 с погрешностью d = 0.0078125

2.3 Решение уравнения методом хорд

Нахождение корня уравнения методом хорд на примере уравнения на промежутке [-2;-1], с погрешностью ε =0.01.

1-й Шаг. Проверка условия

F(a)*F ̋ (a) >= 0

Для этого вычислим вторую производную

F ̋ (a) = 6*x - 12 = 6*(-2) - 12 = -12 - 12 = -24

F(a) = = -8 - 6*4 + 20 = -8 - 24 + 20 = -8 - 4 = -12

F(a)*F ̋ (a) = -12*(-24) = 288

Для нахождения минимума, вычислим первые производные промежутка [-2;-1], то есть найдем F΄(a) и F΄(b).

F΄(a) = = = 12 + 24 = 36

В данном случае минимум будет являться F΄(b), min = 15.

Проверим ранее полученное условие F(a)*F ̋ (a) >= 0.

Если 288 >= 0, то

2-й Шаг.

Вычисляем значение у по формуле итерационной последовательности

y = (c*F(x) - x*F(c))/(F(x) - F(c))

-й Шаг. Вычисление погрешности

d = ²13²/15 = 0.8666

Цикл начинается с проверки погрешности полученной в ходе вычисления, с погрешностью, заданной по условию задачи. Продолжаем цикл до тех пор, пока не получим результаты, удовлетворяющие решение задачи требуемой погрешностью.

Метод хорд

3.2 Тексты программ

Метод половинного деления

, методом половинного деления, корни которого находятся на промежутке [-2;1], с погрешностью ε=0.01.

unit Unit1;, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, StdCtrls;= class(TForm): TEdit;: TEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TButton;: TEdit;Button1Click(Sender: TObject);

{ Private declarations }

{$R *.dfm}TForm1.Button1Click(Sender: TObject);,x1,y,e:real; k:integer;F(c:real):real;:=c*c*c-6*c*c+c+20;;:=strtofloat(edit1.Text);:=strtofloat(edit2.Text);:=strtofloat(edit3.Text);:=(x1+x0)/2;f(x0)*f(x1)<0 then x1:=y else begin x0:=y end(x1-x0)

Метод хорд

Программа реализована для нахождения корня уравнения , методом половинного деления, корни которого находятся на промежутке [-2;1], с погрешностью ε=0.01.

unit Unit1;, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, StdCtrls;= class(TForm): TEdit;: TEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TButton;: TEdit;Button1Click(Sender: TObject);

{ Private declarations }

{ Public declarations };: TForm1;

{$R *.dfm}TForm1.Button1Click(Sender: TObject);,x1,y,e,g:real; k:integer;F(c:real):real;:=c*c*c-6*c*c+c+20;;:=strtofloat(edit1.Text);:=strtofloat(edit2.Text);:=strtofloat(edit3.Text);:=y;:=(x0*f(x1)-x1*f(x0))/(f(x1)-f(x0));f(x0)*f(y)<0 then x1:=y else x0:=y(abs(g-y))

.3 Тестовый пример

Метод половинного деления

Рисунок 5. Результат работы программы (Метод половинного деления)

Метод хорд

В качестве тестового примера возьмем уравнение x² - 1 = 0 на промежутке с точностью =0.0001

Рисунок 6. Результат работы программы (Метод хорд)

Значения, полученные в результате решения аналитически и программно - верны

3.4 Решение задачи с помощью ЭВМ

Метод половинного деления

При решении заданного уравнения на языке программирования Delphi 7 мы получаем следующие результаты, показанные на рисунке 6.

Рисунок 7. Результат работы программы (метод половинного деления)

Метод хорд

При решении заданного уравнения на языке программирования Delphi 7 мы получаем следующие результаты, показанные на рисунке 7.

Рисунок 8. Результат работы программы (Метод хорд)

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы мы проделали ручной расчет заданной функции, выполнили расчет на языке программирования. Также мы выполнили тестовый пример для проверки методов решения нелинейных функций.

Программы написаны на языке Delphi 7 для нахождения значений интегралов. Полученные в результате работы программ решения приблизительно совпадают с ответами в примере.

Метод дихотомии прост в реализации, но обладает малой скоростью сходимости по сравнению с методом хорд, что выражается в количестве шагов. Метод хорд к тому же обладает большей точностью

Список литературы

1. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.

2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физмат. лит., 1989. - 432 с.

3. Турчак Л.И. Основы численных методов. -М.: Наука, 1987.

4. http://www.osnpas.com/file23.html

Существует довольно очевидная теорема: "Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но м.б. и несколько)" . На базе этой теоремы построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией , т.е. делением отрезка на две части . Обобщенный алгоритм выглядит так:

Пока не будет достигнута нужная точность.

Варианты метода дихотомии различаются выбором точки деления. Рассмотрим варианты дихотомии: метод половинного деления и метод хорд .

Метод половинного деления

Метод половинного деления известен также как метод бисекции . В данном методе интервал делится ровно пополам.

Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции - и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое - метод никогда не сойдется быстрее, т.е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Метод половинного деления:

1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента .
2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции , определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум , максимум или конкретное число).

Метод половинного деления как метод поиска корней функции

Изложение метода

Перед применением метода для поиска корней функции необходимо отделить корни одним из известных способов, например, графическим методом. Отделение корней необходимо в случае, если неизвестно на каком отрезке нужно искать корень.

Будем считать, что корень функции отделён на отрезке . Задача заключается в том, чтобы найти и уточнить этот корень методом половинного деления. Другими словами, требуется найти приближённое значение корня с заданной точностью .

Пусть функция непрерывна на отрезке ,

и - единственный корень уравнения .

(Мы не рассматриваем случай, когда корней на отрезке несколько, то есть более одного. В качестве можно взять и другое достаточно малое положительное число, например, .)

Поделим отрезок пополам. Получим точку и два отрезка .

Новый отрезок делим пополам. Получаем середину этого отрезка и так далее.

Для того, чтобы найти приближённое значение корня с точностью до 0" alt=" \eps >0">, необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге , на котором и вычислить . Тогда можно взять .

Реализация метода на С++ и числовой пример

Решим уравнение методом половинного деления. Графическим методом находим отрезок , которому принадлежит искомый корень. Так как , то принимаем .

Ниже приведен пример программы на Си++ , которая решает поставленную задачу.

Программа 1. Корень уравнения

#include #include using namespace std; const double epsilon = 1e-2 ; double f(double x) { return 4 - exp (x) - 2 * x^ 2 ; } int main() { double a, b, c; a = 0 ; b = 2 ; while (b - a > epsilon) { c = (a + b) / 2 ; if (f(b) * f(c) < 0 ) a = c; else b = c; } cout << (a + b) / 2 << endl; return 0 ; }

Искомый корень . Вычисления проводились с точностью .

Промежуточные вычисления представлены в таблице ниже.

n	a n	b n	c n	b n -c n
1	0	1	0.5	0.5
2	0.5	1	0.75	0.25
3	0.75	1	0.875	0.125
4	0.875	1	0.9375	0.0625
5	0.875	0.9375	0.90625	0.03125
6	0.875	0.90625	0.890625	0.015625
7	0.875	0.890625	0.8828125	0.0078125

Метод половинного деления как метод оптимизации

Однопараметрическая оптимизация (поиск экстремумов функций одной переменной) является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к ней сводится гораздо более сложная задача - поиск экстремума функции многих переменных.

Рассмотрим метод половинного деления как простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации. Данный метод является методом прямого поиска . В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции.

Дана функция . Необходимо найти , доставляющий минимум (или максимум) функции на интервале с заданной точностью , т.е. найти

.

Запишем словесный алгоритм метода.

Схема алгоритма метода представлена на рис 2.

- константа,

При выводе – координата точки, в которой функция имеет минимум (или максимум), – значение функции в этой точке.

Метод хорд

Недостаток деления отрезка строго пополам проистекает от того, что он использует лишь знак функции, игноририруя отклонение (абсолютную величину). Но очевидно, что чем меньше (по абсолютной величине) значение функции, тем ближе мы находимся к корню. Метод хорд предлагает делить отрезок в точке, отстоящей от краев отрезка пропорционально абсолютному значению функции на краях. (Название "метод хорд" происходит от того, что точка деления является пересечением отрезка - хорды - с осью абцисс.)

Изложение метода

Метод основан на замене функции на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью дает приближение корня.

При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

• для случая а):

• для случая б):

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие или .

Метод обеспечивает быструю сходимость, если %200" alt="f(z)\cdot f""(z) > 0">, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала , где знаки функции и ее кривизны совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена на рис. 4.

Комбинация метода хорд и метода половинного деления

Метод хорд можно применить в качестве "последнего штриха" после того, как метод половинного деления гарантирует требуемую точность - это не улучшит существенно гарантируемой точности, но, скорее всего, на несколько порядков повысит точность решения.

Дихотомия в переводе с греческого языка значит "последовательное деление надвое" или "раздвоенность". Дихотомическое деление довольно успешно используется в математике и логике для классификации элементов, а в философии и лингвистике - для образования подразделов одного термина, взаимоисключающих друг друга.

Метод дихотомии необходимо отличать от обычного деления. Например, слово "человек" может быть разделено на понятия "мужчины" и "женщины", а может делиться на "мужчины" и "не мужчины". Так вот, в первом случае два понятия не противоречат друг другу, поэтому здесь дихотомия отсутствует. Во втором случае "мужчина" и "не мужчина" - два определения, противоречащие друг другу и не пересекающиеся, а это и является определением дихотомии.

Метод дихотомии привлекателен свой простотой, так как здесь всегда присутствует только два класса, которые исчерпываются объемом делимого понятия. Иными словами, в дихотомическом делении всегда присутствует соразмерность. Следующим основным свойством является исключение друг друга членами деления в связи с тем, что каждое делимое множество может попасть только в один из классов "b" или "не b", а деление осуществляется только по одному основанию, связанному с наличием или отсутствием определенного признака.

При всех своих достоинствах метод дихотомии имеет и недостаток, заключающийся в неопределенности той его части, которая имеет частицу "не". Например, если всех ученых разделить на математиков и не математиков, то относительно второй группы присутствует определенная неясность. Кроме этого недостатка, существует еще один, заключающийся в затруднительном установлении понятия, противоречащего первому значению, по степени удаления от первой пары.

Как уже указывалось выше, дихотомия зачастую используется в качестве вспомогательного приема при классификации каких-либо понятий. Метод дихотомии активно используется при нахождении значений функций, определяемых по определенному критерию (например, сравнение на максимум или минимум).

Довольно часто используется неосознанно метод дихотомии, алгоритм которого может быть описан буквально пошагово. Например, в игре «Угадай число» один из игроков загадывает число в диапазоне от 1 до 100, а другой делает попытки его отгадать на основе подсказок "меньше" или "больше" первого. Если размышлять логически, в качестве первого числа всегда называется 50, а в случае загаданного меньшего - 25, большего - 75. Поэтому на каждом этапе неопределенность загаданного числа уменьшается вдвое, и даже невезучий человек отгадает это неизвестное приблизительно за 7 попыток.

При использовании метода дихотомии в решении различных уравнений нахождение правильного решения возможно лишь тогда, когда достоверно известно нахождение единственного корня на заданном интервале. Это совсем не означает, что применение данного метода возможно для нахождения корней только При решении уравнений более высокого порядка с использованием метода половинного деления нужно в первую очередь разделить корни по отрезкам. При этом процесс их отделения осуществляется с помощью нахождения первой и второй производных от функции и приравнивания полученных уравнений к нулю (f"(x)=0, f""(x)=0). Следующим этапом является определение значений f(x) в граничных и критических точках. Результатом всех проведенных расчетов является интервал |a,b|, на котором у значения функции меняется знак и где f(a)*f(b)< 0.

При рассмотрении графического метода решения уравнения с использованием дихотомии алгоритм решения довольно прост. Например, существует отрезок |a,b|, в пределах которого находится один корень х.

Первым этапом является вычисление среднего алгебраического x=(a+b)/2. далее рассчитывается значение функции в данной точке. Если f(x)< 0, то , в противном случае - . Таким образом, осуществляется сужение интервала, в результате которого формируется определенная последовательность х. Расчет прекращается при достижении разности b-a меньшей погрешности.

Этот метод ещё называется методом вилки.

Нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на отрезке . Рассмотрим отрезок : . Пусть мы нашли такие точки х0, х1, что f (х0) f(х1) 0, т. е. на отрезке [х0, х1] лежит не менее одного корня уравнения. Найдём середину отрезка х2=(х0+х1)/2 и вычислим f(х2). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие f (х2) f(хгран.) 0, так как один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис 1).

Если требуется найти корень с точностью Е, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2Е. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надёжна. К простому корню она сходится для любых непрерывных функций в том числе и не дифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости не велика; за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т.е. уточнение трёх цифр требует 10 итераций.

Зато точность ответа гарантируется рис. 1.1.

Приступим к доказательству того, что если непрерывная функция принимает на концах некоторого отрезка значения разных знаков, то методом дихотомии однозначно будет найден корень.

Предположим для определённости, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка отрицательное значение, а на правом - положительное:

f(a) < 0, f(b) > 0.

Возьмём среднюю точку отрезка , h=(a+b)/2 и вычислим значение в ней функции f(x). Если f(h)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли такую точку, где функция обращается в нуль. Если f(h) 0, тогда из отрезков и выберем один из них тот, где функция на его концах принимает значения разных знаков. Обозначим его . По построению: f(a1)<0, f(b1)>0. Затем среднюю точку отрезка точку h1 и проведём тот же алгоритм нахождения другого отрезка где бы по построению f(a2)<0, f(b2)>0. Будем продолжать этот процесс. В результате он либо оборвётся на некотором шаге n в силу того, что f(hn)=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения f(x)=0 решён, поэтому рассмотрим второй случай.

Неограниченное продолжение процесса даёт последовательность отрезков , , ,… Эти отрезки вложены друг в друга - каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:

an an+ 1 < bn+ 1 bn (1.2)

f(an) < 0, f(bn) > 0

Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:

Рассмотрим левые концы отрезков. Согласно (1.2) они образуют монотонно убывающую ограниченную последовательность {an}. Такая последовательность имеет предел, который можно обозначить через c1:

Согласно (1.1) и теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем:

Теперь рассмотрим правые концы отрезков. Они образуют монотонно не возрастающую ограниченную последовательность {bn}, которая тоже имеет предел. Обозначим его через с2: . Согласно неравенству (2.1) пределы с1 и с2 удовлетворяют неравенству с1 с2. Итак, an с1 < с2 bn, и следовательно:

с2-с1 bn - an=(b-a)/2n.

Таким образом, разность с2-с1 меньше любого наперёд заданного положительного числа. Это означает, что с2-с1=0, т. е.: с1=с2=с

Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения f(x)=0.

Мы знаем, что f(an)<0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах, имеем:

f(c)=lim f(an)0 (3.2)

Аналогично, учитывая, что f(bn)0, получаем, что:

f(c)=lim f(bn) 0 (4.2)

Из (3.2) и (4.2) следует, что f(c)=0. т. е. с - корень уравнения.

Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки (дихотомии) является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения f(x)=0. На n-ом шаге процесса получаем:

Это двойное неравенство показывает, что число an определяет корень с недостатком, а число bn с избытком, с ошибкой не превышающей длину отрезка n=bn-an=(b-a)/2n. При увеличении n ошибка стремится к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=0.5. Если задана требуемая точность >0, то чтобы её достигнуть достаточно сделать число шагов N, не превышающее log2[(b-a)/]: N>log2[(b-a)/].