Дисперсия электромагнитных волн краткий курс теории. Электронная теория дисперсии. Дисперсия в среде со свободными зарядами

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

где - диэлектрическая проницаемость среды, - магнитная проницаемость. В оптической области спектра для всех веществ 1, поэтому

Из формулы данной выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной, остается в то же время равной определенной постоянной - . Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости от частоты световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества равна

где ж - диэлектрическая восприимчивость среды, 0 - электрическая постоянная, Р - мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

т. е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т. е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (v 10 15 Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны - оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р = ех, где е - заряд электрона, х - смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна n 0 то мгновенное значение поляризованности

Следовательно, задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего поля Е. Поле световой волны будем считать функцией частоты со, т. е. изменяющимся по гармоническому закону: E = E 0 cost.

Уравнение вынужденных колебаний электрона для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде

где F 0 = eE 0 - амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, - собственная частота колебаний электрона, m - масса электрона. Решив уравнение, найдем = n 2 в зависимости от констант атома (е, m, 0) и частоты внешнего поля, т. е. решим задачу дисперсии. Решение уравнения можно записать в виде

Если в веществе имеются различные заряды eh совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами еа0|, то

где m 1 - масса i-го заряда.

Из выражений и вытекает, что показатель преломления л зависит от частоты внешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, которые в дальнейшем надо устранить. Из выражений и следует, что в области от = 0 до = 0 n 2 больше единицы и возрастает с увеличением (нормальная дисперсия); при = 0 n 2 = ± ; в области от = 0 до = n 2 меньше единицы и возрастает от - до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n 2 к n, получим, что график зависимости n от имеет вид, изображенный на рис. 3.

Такое поведение n вблизи 0 - результат допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электронов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции л (со) вблизи too задается штриховой линией АВ. Область АВ - область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании), остальные участки зависимости n от описывают нормальную дисперсию (n возрастает с возрастанием).

Российскому физику Д.С. Рождественскому (1876-1940) принадлежит классическая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал интерференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула

правильно характеризует зависимость n от, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.

Скачать с Depositfiles

3.2.6 Дисперсия электромагнитных волн. Показатель преломления воздуха

(Параграф не доработан. Материал изучить самостоятельно. См указание ниже)

Монохроматические волны с различными частотами (длинами волн) распространяются в среде, строго говоря, с различной скоростью. Зависимость скорости электромагнитных волн от частоты называется дисперсией .

Скорость электромагнитных волн в реальной среде связана со скоростью света в вакууме через одну из важнейших характеристик среды — показатель преломления :

(3.30)

Показетель преломления в электродинамике определяется из соотношения

(3.31)

где — диэлектрическая проницаемость среды;

— магнитная проницаемость среды.

На основании вышесказанного можно сказать, что дисперсией света называются явления, обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от длины волны

(4.30)

Для радиоволн нижний слой атмосферы, примерно до 11 км, является недиспергирующей средой. Для оптического и УКВ диапазона атмосфера является диспергирующей средой.

Для большинства прозрачных веществ показатель преломления возрастает с увеличением длины волны . Такой характер дисперсии называют нормальным .

Зависимость от в области нормальной дисперсии описывается формулой Коши

(4.31)

где , , — постоянные коэффициенты, которые для каждого вещества находят экспериментально.

Если вещество поглощает часть светового потока, то в области поглощения может наблюдаться аномальная дисперсия, т.е. уменьшение показателя преломления с уменьшением длины волны.

В прозрачных средах в результате изменения направления распространения света при преломлении дисперсия света приводит к разложению света в спектр. Опыт показывает, что если луч белого света пропустить через преломляющую призму – прозрачное тело, ограниченное плоскими пересекающимися поверхностями, то на экране за призмой получим цветную полосу в следующей последовательности цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

Характер дисперсии для различных прозрачных сред, в том числе и разных сортов стекла, различен.

Для волн ультракороткого и светового диапазонов показатель преломления зависит от метеорологических параметров атмосферы: температуры t , давления P и влажности воздуха e . В сочетании с вышеотмеченной зависимостью показателя преломления от длины волны или частоты , в общем виде зависимость показателя преломления от указанных параметров может быть записана как

. (4.31)

В связи с этим для определения показателя преломления или, что то же самое, скорости распространения электромагнитной волны с длиной волны , необходимо определять температуру, давление и влажность воздуха. Последний параметр оказывает влияние на скорость распространения ЭМВ оптического диапазона в гораздо меньшей степени, чем температура и давление. Поэтому основными определяемыми параметрами для дальномеров, работающих на волнах оптического диапазона, являются только температура и давление.

Во всех современных дальномерах предусмотрен ввод поправки за атмосферные параметры. Формулы, по которым вычисляется указанная поправка, зашиты в программное обеспечение приборов.

(На самостоятельное изучение: Большаков В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П. Радиогеодезические и электрооптические измерения. – М.: Недра, 1985. – 303 с. — Параграф 8. Скорость распространения электромагнитных волн. Стр. 68-78).

Список литературы

1. Большаков В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П. Радиогеодезические и электрооптические измерения. – М.: Недра, 1985. – 303 с.

2. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. – М.: Изд. Физ.-мат. лит-ры. 1959. – 572 с.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Том 3. Волновые процессы. Оптика. Атомная и ядерная физика. – М.: Высшая школа. 1979. – 511 с.

4. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. III .. Оптика. Физика атомов и молекул. Физика атомного ядра и микрочастиц – М.: Наука. 1970 – 495 с.

5. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Том III . Колебания, волны. Оптика. Строение атома. – М.: Наука. 1970 – 640 с.

6. Шредер Г., Трайбер Х. Техническая оптика. – М.: Техносфера,2006. – 424 с.

До сих пор при обсуждении диэлектрических свойств вещества мы предполагали, что значение индукции определяется значениями напряженности электрического поля в той же точке пространства , хотя (при наличии дисперсии) и не только в тот же, но и во все предшествующие моменты времени . Такое предположение справедливо не всегда. В общем случае значение зависит от значений в некоторой области пространства вокруг точки . Линейная связь D с Е записывается тогда в виде, обобщающем выражение (77,3):

она представлена здесь сразу в форме, относящейся и к анизотропной среде. Такая нелокальная связь является проявлением, как говорят, пространственной дисперсии (в этой связи обычную рассмотренную в § 77 - дисперсию называют временной или частотной). Для монохроматических компонент поля, зависимость которых от t дается множителями , эта связь принимает вид

Отметим сразу, что в большинстве случаев пространственная дисперсия играет гораздо меньшую роль, чем временная. Дело в том, что для обычных диэлектриков ядро интегрального оператора существенно убывает уже на расстояниях больших только по сравнению с атомными размерами а. Между тем макроскопические поля, усредненные по физически бесконечно малым элементам объема, по определению должны мало меняться на расстояниях . В первом приближении можно тогда вынести из-под знака интеграла по в (103,1), в результате чего мы вернемся к (77,3). В таких случаях пространственная дисперсия может проявиться только в качестве малых поправок. Но эти поправки, как мы увидим, могут приводить к качественно новым физическим явлениям и потому быть существенными.

Другая ситуация может иметь место в проводящих средах (металлы, растворы электролитов, плазма): движение свободных носителей тока приводит к нелокальности, простирающейся на расстояния, которые могут быть велики по сравнению с атомными размерами. В таких случаях существенная пространственная дисперсия может иметь место уже в рамках макроскопической теории.

Проявлением пространственной дисперсии является и доплеровское уширение линии поглощения в газе. Если неподвижный атом имеет на частоте линию поглощения с пренебрежимо малой шириной, то для движущегося атома эта частота сдвигается, в силу эффекта Доплера, на величину , где v - скорость атома . Это приводит в спектре поглощения газа как целого к появлению линии ширины , где - средняя тепловая скорость атомов. В свою очередь, такое уширение означает, что диэлектрическая проницаемость газа имеет существенную пространственную дисперсию при .

В связи с формой записи (103,1) необходимо сделать следующее замечание. Никакие соображения симметрии (пространственной или временной) не могут исключить возможности электрической поляризации диэлектрика в переменном неоднородном магнитном поле. В связи с этим может возникнуть вопрос о том, не следует ли дополнить правую сторону равенства (103,1) или (103,2) членом с магнитным цолем. В действительности, однако, в этом нет необходимости. Дело в том, что поля Е и В нельзя считать полностью независимыми. Они связаны между собой (в монохроматическом случае) уравнением . В силу этого равенства зависимость D от В можно рассматривать как зависимость от пространственных производных Е, т. е. как одно из проявлений нелокальности.

При учете пространственной дисперсии представляется целесообразным, не умаляя степени общности теории, писать уравнения Максвелла в виде

(103,3)

не вводя наряду со средней напряженностью магнитного поля еще и другую величину Н.

Вместо этого все члены, возникающие в результате усреднения микроскопических токов, предполагаются включенными в определение D. Использовавшееся ранее разделение среднего тока на две части согласно (79,3), вообще говоря, не однозначно. В отсутствие пространственной дисперсии оно фиксируется условием, чтобы Р было электрической поляризацией, локальным образом связанной с Е. В отсутствие такой связи удобнее полагать и

чему и отвечает представление уравнений Максвелла в виде (103,3-4)).

Компоненты тензора - ядра интегрального оператора в (103,2) - удовлетворяют соотношениям симметрии

Это следует из таких же рассуждений, которые были проведены в § 96 для тензора . Разница состоит только в том, что перестановка индексов а, b в обобщенных восприимчивостях означающая перестановку как тензорных индексов t, k, так и точек , приводит теперь к перестановке соогветствующих аргументов в функциях .

Ниже мы будем рассматривать неограниченную макроскопически однородную среду. В таком случае ядро интегрального оператора в (103,1) или (103,2) зависит только от разности . Функции D и Е целесообразно разложить тогда в интеграл Фурье не только по времени, но и по координатам, сведя их к совокупности плоских волн, зависимость которых от и t дается множителем Для таких волн связь D и Е принимает вид

В таком описании пространственная дисперсия сводится к появлению зависимости тензора диэлектрической проницаемости от волнового вектора.

«Длина волны» определяет расстояния, на которых поле существенно меняется. Можно сказать поэтому, что пространственная дисперсия является выражением зависимости макроскопических свойств вещества от пространственной неоднородности электромагнитного поля, подобно тому, как частотная дисперсия выражает зависимость от временного изменения поля. При поле стремится к однородному, соответственно чему стремится к обычной проницаемости .

Из определения (103,8) видно, что

Соотношение, обобщающее (77,7). Симметрия же (103,6), выраженная в терминах функций , дает теперь

где в явном виде выписан параметр - внешнее магнитное поле, если таковое имеется. Если среда обладает центром инверсии, компоненты являются четными функциями вектора к; аксиальный же вектор при инверсии не меняется и потому равенство (103,10) сводится к

Пространственная дисперсия не сказывается на выводе формулы (96,5) для диссипации энергии. Поэтому условие отсутствия поглощения по-прежнему выражается эрмитовостью тензора .

При наличии пространственной дисперсии диэлектрическая проницаемость является тензором (а не скаляром) даже в изотропной среде: выделенное направление создается волновым вектором. Если среда не только изотропна, но обладает также и центром инверсии, тензор может быть составлен только из компонент вектора к и единичного тензора (при отсутствии центра симметрии может стать возможным также и член с единичным антисимметричным тензором ; см. § 104). Общий вид такого тензора можно записать как

где зависят только от абсолютной величины волнового вектора (и от ). Если напряженность Е направлена по волновому вектору, то индукция если же то

Соответственно, величины называют продольной и поперечной проницаемостями. При выражение (103,12) должно стремиться к значению не зависящему от направления к; ясно поэтому, что

Пространственная и временная дисперсия электромагнитных волн, групповая и фазовая скорость волн в среде с дисперсией.

Фазовая скорость волны V ф =c/n в общем случае может зависеть от частоты (либо длины радиоволны
, здесь
– показатель преломления среды.В этом случае говорят о дисперсии диэлектрической проницаемости среды. Поскольку связь между фурье-компонентами векторов электрической индукции и электрического поля дается соотношением
, то наличие дисперсии означает, что относительная диэлектрическая проницаемость зависит от частоты, либо волнового числа. В случае, если является функцией только частоты
, то говорят о временной дисперсии, если
– о пространственной.

Физический смысл временной дисперсии заключается в следующем. Предположим, что элементы среды, (например, электроны на оболочке атомов) под воздействием электрического поля совершают колебания, фаза которых отстает от фазы колебаний внешней волны. Тогда волны, излучаемые этими частицами, будут испытывать дополнительную задержку и приходить в точку наблюдения позже, чем исходная электромагнитная волна. Пространственная дисперсия обычно возникает, если длина электромагнитной волны становится сравнимой с характерными внутренними масштабами среды, характеризующими степень воздействия электромагнитных волн на ее элементы. Такими масштабами могут быть длина свободного пробега частиц, радиус вращения заряженной частицы во внешнем магнитном поле (гирорадиус) и т.п. Во всех упомянутых случаях для определения закона дисперсии необходимо знать структуру вещества и особенности поведения отдельных атомов, либо молекул, во внешнем переменном электрическом поле.

Рассмотрим среду, обладающую дисперсией, в которой фазовая скорость V ф =
зависит от частоты волны . Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена в виде суммы монохроматических волн с различными амплитудами и частотами. В среде с дисперсией скорости распространения волн с различными частотами будут разными. В случае, когда разность частот много меньше средней частоты, то такой волновой пакет называется узким. Рассмотрим суперпозицию двух плоских монохроматических волн одинаковой амплитуды с близкими частотами
и
, которым отвечают волновые числа
и
, распространяющихся вдоль оси x

E (x, t ) = E 0 exp{
+ E 0 exp{

Учитывая выражение для косинуса угла cos=(exp {i } +exp {– i }/2, следующее из формулы Эйлера exp { i }= cos + i sin , получим

E (x,t ) = 2E 0 cos
exp {
}

Это выражение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется в зависимости от пространственной координаты и времени. Результирующий сигнал представляет из себя биения с медленно меняющейся амплитудой. Амплитуда биений остается неизменной, если
=const . Это означает, что огибающая волнового пакета распространяется с групповой скоростью

.

Направление групповой скорости совпадает с направлением переноса энаргии электромагнитной волной. Если среда не имеет дисперсии, то групповая скорость по величине совпадает с фазовой V гр =V ф =
и направлена вдоль .

В наши дни количественное знание электронной структуры атомов и молекул, а также построенных из них твердых тел базируется на экспериментальных исследованиях оптических спектров отражения, поглощения и пропускания и их квантовомеханической интерпретации. Весьма интенсивно изучается зонная структура и дефектность различных типов твердых тел (полупроводников, металлов, ионных и атомных кристаллов, аморфных материалов). Сопоставление полученных в ходе этих исследований данных с теоретическими расчетами позволило надежно определить для целого ряда веществ особенности строения энергетических зон и величины межзонных промежутков (ширины запрещенной зоны Е g) в окрестностях главных точек и направлений первой зоны Бриллюэна. Эти результаты позволяют, в свою очередь, надежно интерпретировать такие макроскопические свойства твердых тел, как электропроводность и ее температурная зависимость, показатель преломления и его дисперсия, цвет кристаллов, стекол, керамики, ситаллов и его вариация при радиационном и тепловом воздействиях.

2.4.2.1. Дисперсия электромагнитных волн, показатель преломления

Дисперсия есть явление взаимосвязи показателя преломления вещества, а, следовательно, и фазовой скорости распространения волн, с длиной волны (или частотой) излучения. Так, пропускание видимого света через стеклянную трехгранную призму сопровождается разложением в спектр, причем фиолетовая коротковолновая часть излучения отклоняется наиболее сильно (рис.2.4.2).

Дисперсия называется нормальной, если с ростом частоты n(w) показатель преломления n также возрастает dn/dn>0 (или dn/dl<0). Такой характер зависимости n от n наблюдается в тех областях спектра, где среда прозрачна для излучения. Например, силикатное стекло прозрачно для видимого света и обладает в этом интервале частот нормальной дисперсией.

Дисперсия называется аномальной, если с ростом частоты излучения показатель преломления среды уменьшается (dn/dn<0 или dn/dl>0). Аномальная дисперсия соответствует частотам, отвечающим полосам оптического поглощения, физическое содержание явления поглощения будет кратко рассмотрено ниже. Например, для натрийсиликатного стекла полосы поглощения соответствуют ультрафиолетовой и инфракрасной областям спектра, кварцевое стекло в ультрафиолетовой и видимой части спектра обладает нормальной дисперсией, а в инфракрасной - аномальной.

Рис. 2.4.2. Дисперсия света в стекле: а – разложение света стеклянной призмой, б – графики n = n(n) и n = n(l 0) для нормальной дисперсии, в – при наличии нормальной и аномальной дисперсии В видимой и инфракрасной части спектра нормальная дисперсия характерна для многих щелочно-галоидных кристаллов, что и обусловливает широкое их использование в оптических приборах для инфракрасной части спектра.

Физическая природа нормальной и аномальной дисперсии электромагнитных волн становится понятной, если рассмотреть это явление с позиций классической электронной теории. Рассмотрим простой случай нормального падения плоской электромагнитной волны оптического диапазона на плоскую границу однородного диэлектрика. Связанные с атомами электроны вещества под действием переменного поля волны напряженностью совершают вынужденные колебания с той же круговой частотой w, но с фазой j, отличающейся от фазы волн. С учетом возможного затухания волны в среде с собственной частотой колебании электронов w 0 , уравнение вынужденных поперечных колебаний в направлении - направлению распространения плоскополяризованной волны - имеет вид

(2.4.13)

известный из курса общей физики (q и m - заряд и масса электрона).

Для оптической области w 0 » 10 15 с -1 , а коэффициент затухания g может быть определен в идеальной среде при условии нерелятивистской скорости движения электрона (u<

(2.4.14)

При w 0 = 10 15 с -1 величина g » 10 7 с -1 . Пренебрегая сравнительно непродолжительной стадией неустановившихся колебаний, рассмотрим частное решение неоднородного уравнения (2.4.13) на стадии установившихся колебаний. Решение ищем в форме

(2.4.15)

Тогда из уравнения (2.4.13) получим

или , где амплитуда колебаний равна

(2.4.16)

здесь

Тогда решение для координаты (2.4.15) можно переписать в виде

(2.4.17)

Таким образом, вынужденные гармонические колебания электрона происходят с амплитудой A и опережают по фазе колебания в падающей волне на угол j. Вблизи резонансного значения w = w 0 зависимость A и j от w/w 0 представляет особый интерес.

На рис. 2.4.3 представлены графики зависимостей амплитуды и фазы вблизи резонансной частоты.

Рис. 2.4.3. Графики амплитуды (а) и фазы (б) колебаний электронов вблизи резонансной частоты (при g » 0,1w 0)

В реальных случаях обычно g меньше, чем g » 0,1 w 0 , выбранная для наглядности на рис.2.4.3, амплитуда и фаза меняются более резко. Если падающий на диэлектрик свет не является монохроматическим, то вблизи резонанса, на частотах w®w 0 , он поглощается, электроны вещества рассеивают эту энергию в объеме. Так возникают в спектрах полосы поглощения. Ширина линий спектра поглощения определяется формулой