Что такое высота трапеции. Как найти высоту трапеции

(S) трапеции, начните вычисление высоты (h) с нахождения полусуммы длин параллельных сторон: (a+b)/2. Затем на полученное значение разделите площадь - результат и будет искомой величиной: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Зная длину средней линии (m) и площадь (S) можно упростить формулу из предыдущего шага. По определению средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, поэтому для вычисления высоты (h) фигуры просто разделите площадь на длину средней линии: h = S/m.

Можно определить высоту (h) такого и в том случае, если даны только длина одной из боковых сторон (с) и угол (α), образуемый ей и длинным основанием. В этом случае следует рассмотреть , образуемый этой стороной, высотой и коротким отрезком основания, который отсекает опущенная на него высота. Этот треугольник будет прямоугольным, известная сторона будет в нем гипотенузой, а высота - катетом. Отношение длин и гипотенузы равно противолежащего катету угла, поэтому для вычисления высоты трапеции умножьте известную длину стороны на синус известного угла: h = с*sin(α).

Такой же треугольник стоит рассмотреть и если даны длина боковой стороны (с) и величина угла (β) между ней и другим (коротким) основанием. В этом случае величина угла между боковой стороной (гипотенузой) и высотой (катетом) будет на 90° меньше известного из условий угла: β-90°. Так как отношение длин катета и гипотенузы равно косинусу угла между ними, то высоту трапеции вычислите умножением косинуса уменьшенного на 90° угла на длину боковой стороны: h = с*cos(β-90°).

Если вписана окружность известного радиуса (r), вычисления высоты (h) будет очень проста и не потребует никаких других параметров. Такая окружность по определению должна каждого из оснований только одной точкой и эти точки будут лежать на одной линии с центром . Это значит, что расстояние между ними будет равно диаметру (удвоенному радиусу), проведенному перпендикулярно основаниям, то есть совпадающим с высотой трапеции: h=2*r.

Трапецией считается такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Высотой трапеции называется отрезок, проведенный перпендикулярно между двумя параллельными прямыми. В зависимости от исходных данных ее можно вычислить по-разному.

Вам понадобится

• Знание сторон, оснований, средней линии трапеции, а так же, опционально, ее площадь и/или периметр.

Инструкция

Допустим, имеется трапеция с теми же данными, что и на рисунке 1. Проведем 2 высоты, получим , у которого 2 меньшие стороны катетами прямоугольных треугольников. Обозначим меньший катит за x. Он находится

На простой вопрос «Как найти высоту трапеции?» существует несколько ответов, и все потому, что могут быть даны разные исходные величины. Поэтому и формулы будут различаться.

Эти формулы можно запомнить, но они несложно выводятся. Нужно только применять ранее изученные теоремы.

Принятые в формулах обозначения

Во всех приведенных ниже математических записях верны такие прочтения букв.

В исходных данных: все стороны

Для того чтобы найти высоту трапеции в общем случае потребуется воспользоваться такой формулой:

н = √(с 2 - (((а - в) 2 + с 2 - d 2)/(2(а - в))) 2). Номер 1.

Не самая короткая, но и встречается в задачах достаточно редко. Обычно можно воспользоваться другими данными.

Формула, которая подскажет, как найти высоту равнобедренной трапеции в той же ситуации, гораздо короче:

н = √(с 2 - (а - в) 2 /4). Номер 2.

В задаче даны: боковые стороны и углы при нижнем основании

Принимают, что угол α прилежит к боковой стороне с обозначением «с», соответственно угол β к стороне d. Тогда формула для того, как найти высоту трапеции, в общем виде будет такой:

н = с * sin α= d * sin β. Номер 3.

Если фигура равнобедренная, то можно воспользоваться таким вариантом:

н = с * sin α= ((а - в) / 2) * tg α. Номер 4.

Известны: диагонали и углы между ними

Обычно к этим данным присоединяются еще известные величины. Например, основания или средняя линия. Если даны основания, то для ответа на вопрос, как найти высоту трапеции, пригодится такая формула:

н = (d 1 * d 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d 1 * d 2 * sin δ) / (а + в). Номер 5.

Это для общего вида фигуры. Если дана равнобедренная, то запись преобразится так:

н = (d 1 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d 1 2 * sin δ) / (а + в). Номер 6.

Когда в задаче идет речь о средней линии трапеции, то формулы для поиска ее высоты становятся такими:

н = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m или н = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Номер 5а.

н = (d 1 2 * sin γ) / 2m или н = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Номер 6а.

Среди известных величин: площадь с основаниями или средней линией

Это, пожалуй, самые короткие и простые формулы того, как найти высоту трапеции. Для произвольной фигуры она будет такой:

н = 2S / (а + в). Номер 7.

Она же, но с известной средней линией:

н = S / m. Номер 7а.

Как ни странно, но для равнобедренной трапеции формулы будут выглядеть так же.

Задачи

№1. На определение углов при нижнем основании трапеции.

Условие. Дана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 5 см. Ее основания равны 6 и 12 см. Требуется найти синус острого угла.

Решение. Для удобства следует ввести обозначение. Пусть левая нижняя вершина будет А, все остальные по часовой стрелке: В, С, Д. Таким образом, нижнее основание будет обозначено АД, верхнее — ВС.

Нужно провести высоты из вершин В и С. Точки, которые укажут концы высот будут обозначены Н 1 и Н 2 , соответственно. Поскольку в фигуре ВСН 1 Н 2 все углы прямые, то она является прямоугольником. Это означает, что отрезок Н 1 Н 2 равен 6 см.

Теперь нужно рассмотреть два треугольника. Они равны, так как являются прямоугольными с одинаковыми гипотенузами и вертикальными катетами. Отсюда следует, что и меньшие катеты у них равны. Поэтому их можно определить как частное от разности. Последняя получится от вычитания из нижнего основания верхнего. Делиться оно будет на 2. То есть 12 - 6 нужно поделить на 2. АН 1 = Н 2 Д = 3 (см).

Теперь из теоремы Пифагора нужно найти высоту трапеции. Она необходима для нахождения синуса угла. ВН 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (см).

Воспользовавшись знанием о том, как находится синус острого угла в треугольнике с прямым углом, можно записать такое выражение: sin α= ВН 1 / АВ = 0,8.

Ответ. Искомый синус равен 0,8.

№2. На нахождение высоты трапеции по известному тангенсу.

Условие. У равнобедренной трапеции нужно вычислить высоту. Известно, что ее основания равны 15 и 28 см. Дан тангенс острого угла: 11/13.

Решение. Обозначение вершин такое же, как в предыдущей задаче. Снова нужно провести две высоты из верхних углов. По аналогии с решением первой задачи нужно найти АН 1 = Н 2 Д, которые определятся как разность 28 и 15, деленная на два. После подсчетов получается: 6,5 см.

Поскольку тангенс — это отношение двух катетов, то можно записать такое равенство: tg α= АН 1 / ВН 1 . Причем это отношение равно 11/13 (по условию). Так как АН 1 известен, то можно вычислить высоту: ВН 1 = (11 * 6,5) / 13. Простые расчеты дают результат в 5,5 см.

Ответ. Искомая высота равна 5,5 см.

№3. На вычисление высоты по известным диагоналям.

Условие. О трапеции известно, что ее диагонали равны 13 и 3 см. Нужно узнать ее высоту, если сумма оснований составляет 14 см.

Решение. Пусть обозначение фигуры будет таким же, как раньше. Предположим, что АС — меньшая диагональ. Из вершины С нужно провести искомую высоту и обозначить ее СН.

Теперь потребуется выполнить дополнительное построение. Из угла С нужно провести прямую, параллельную большей диагонали и найти точку ее пересечения с продолжением стороны АД. Это будет Д 1 . Получилась новая трапеция, внутри которой начерчен треугольник АСД 1 . Он-то и нужен для дальнейшего решения задачи.

Искомая высота окажется еще и ей же в треугольнике. Поэтому можно воспользоваться формулами, изученными в другой теме. Высота треугольника определяется как произведение числа 2 и площади, деленное на сторону, к которой она проведена. А сторона оказывается равна сумме оснований исходной трапеции. Это исходит из правила, по которому выполнено дополнительное построение.

В рассматриваемом треугольнике все стороны известны. Для удобства введем обозначения х = 3 см, у = 13 см, z = 14 см.

Теперь можно сосчитать площадь, воспользовавшись теоремой Герона. Полупериметр будет равен р = (х + у + z)/ 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (см). Тогда формула для площади после подстановки значений будет выглядеть так: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (см 2).

Ответ. Высота равна 6√10 / 7 см.

№4. Для поиска высоты по сторонам.

Условие. Дана трапеция, три стороны которой равны 10 см, а четвертая 24 см. Нужно узнать ее высоту.

Решение. Поскольку фигура равнобедренная, то потребуется формула под номером 2. В нее нужно просто подставить все значения и сосчитать. Это будет выглядеть так:

н = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (см).

Ответ. н = √51 см.

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника .
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы:). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике : Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве , подготовка к ЕГЭ в Строгино .

В нашей жизни очень часто приходится сталкиваться с применением геометрии на практике, например, в строительстве. Среди наиболее часто встречающихся геометрических фигур есть и трапеция. И для того, чтобы проект был успешным и красивым, необходим правильный и точный расчет элементов для такой фигуры.

Что собой представляет выпуклый четырехугольник, который имеет пару параллельных сторон, именуемых основаниями трапеции. Но есть еще две другие стороны, соединяющие эти основания. Их называют боковыми. Один из вопросов, касающийся данной фигуры, это: «Как найти высоту трапеции?» Сразу необходимо обратить внимание, что высота - это отрезок, определяющий расстояние от одного основания до другого. Существует несколько способов для определения этого расстояния, в зависимости от известных величин.

1. Известны величины обоих оснований, обозначим их b и k, а так же площадь данной трапеции. Используя известные величины, найти высоту трапеции в этом случае очень легко. Как известно из геометрии, вычисляется, как произведение половины суммы оснований и высоты. Из этой формулы можно легко вывести искомую величину. Для этого необходимо площадь разделить на половину суммы оснований. В виде формул это будет выглядеть так:

S=((b+k)/2)*h, отсюда h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Известна длина средней линии, обозначим ее d, и площадь. Для тех, кто не знает, средней линией называю расстояние между серединами боковых сторон. Как найти высоту трапеции в этом случае? Согласно свойству трапеции, средняя линия соответствует половине суммы оснований, то есть d=(b+k)/2. Опять же прибегаем к формуле площади. Заменив половину суммы оснований на величину средней линии, получим следующее:

Как видим из полученной формулы очень легко вывести высоту. Разделив площадь на величину средней линии, мы найдем искомую величину. Запишем это формулой:

3. Известна длина одной боковой стороны (b) и угол, образующийся между этой стороной и наибольшим основанием. Ответ на вопрос, как найти высоту трапеции, есть и в этом случае. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD являются боковыми сторонами, причем AB=b. Наибольшим основанием является AD. Угол, образованный AB и AD обозначим α. Из точки B опустим высоту h на основание AD. Теперь рассмотрим полученный треугольник ABF, который является прямоугольным. Сторона AB является гипотенузой, а BF-катетом. Из свойства прямоугольного треугольника отношение значения катета и значению гипотенузы соответствует синусу угла, противолежащего катету (BF). Поэтому, исходя из вышеизложенного, для вычисления высоты трапеции перемножаем значение известной стороны и синус угла α. В виде формулы это выглядит следующим образом:

4. Аналогично рассматривается случай, если известны размер боковой стороны и угол, обозначим его β, образующийся между этой стороной и меньшим основанием. При решении такой задачи величина угла между известной боковой стороной и проведенной высотой будет 90°- β. Из свойства треугольников - отношение длины катета и гипотенузы соответствует косинусу угла, расположенного между ними. Из этой формулы легко вывести величину высоты:

h = b *cos(β-90°)

5. Как найти высоту трапеции, если известен лишь радиус вписанной окружности? Из определения окружности, она касается одной точкой каждого основания. Кроме того, эти точки находятся на одной линии с центром окружности. Из этого следует, что расстояние между ними является диаметром и, в то же время, высотой трапеции. Выглядит так:

6. Часто встречаются задачи, в которых необходимо найти высоту равнобедренной трапеции. Напомним, что трапеция, имеющая равные боковые стороны, называется равнобедренной. Как найти высоту равнобедренной трапеции? При перпендикулярных диагоналях высота равна половине суммы оснований.

Но, что делать, если диагонали не перпендикулярны? Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Согласно ее свойствам, основания параллельны. Из этого следует, что углы при основаниях также будут равны. Проведем две высоты BF и CM. Исходя из вышесказанного, можно утверждать, что треугольники ABF и DCM равны, то есть AF= DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/ 2. Теперь, исходя из условия задачи, определимся с известными величинами, а уж потом находим высоту, учитывая все свойства равнобедренной трапеции.