Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения. Числовые ряды повышенной сложности Формулировка в предельной форме

Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.

В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.

Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.

Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.

Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)

В лучших традициях сразу живые примеры: ряды и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей . Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.

А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:

Пример 1

Исследовать сходимость ряда

Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Примерные образцы оформления задач в конце урока.

Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:

Пример 6

Исследовать сходимость ряда

Решение : сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:

Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:

Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .

Знаменатель дроби меньше знаменателя дроби , поэтому сама дробь – больше дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:

А значит, по признаку сравнения ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Если немного видоизменить знаменатель: , то первая часть рассуждений будет аналогична: . Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.

Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).

Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:

Пример 7

Исследовать сходимость ряда

Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.

Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел , где в качестве бесконечно малой величины выступает :

сходится вместе с рядом .

Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:

Пример 8

Исследовать сходимость ряда

Образец в конце урока.

Пример 9

Исследовать сходимость ряда

Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.

Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью , мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….

Оформляем решение:

Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Пример 10

Исследовать сходимость ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:

Пример 11

Исследовать сходимость ряда
.

Решение : здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:

Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:

Пример 12

Исследовать сходимость ряда

Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:

И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.

Пример 13

Исследовать сходимость ряда

Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.

Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:

Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:

Проанализируйте, в чём состоит отличие от и

Пример 14

Исследовать сходимость ряда

А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .

Образцы решений и ответы в конце урока.

Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:

Пример 15

Исследовать сходимость ряда

Решение : практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?

Интегральный признак? Несобственный интеграл навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд … тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:

1) Сначала исследуем сходимость ряда . Используем интегральный признак :

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!

Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:

Пример 16

Исследовать сходимость ряда

Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:

Пример 17

Исследовать сходимость ряда

Решение : на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение :

Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд , который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .

Записываем чистовое решение:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:

Пример 18

Исследовать сходимость ряда

Примерный образец решения в конце урока

И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:

Пример 19

Исследовать сходимость ряда

Решение : Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел :

Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.

Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:

Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.

Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:

Признак Раабе

Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел , то:
а) При ряд расходится . Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа .

Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:

Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя , и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.

Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.

В случаях, когда признаки Даламбера и Коши не дают результата, иногда утвердительный ответ могут дать признаки, основанные на сравнении с другими рядами, сходящимися или расходящимися «медленнее», чем ряд геометрической прогрессии.

Приведем без доказательства формулировки четырех более громоздких признаков сходимости рядов. Доказательства этих признаков основаны также на теоремах сравнения 1–3 (теоремы 2.2 и 2.3) исследуемого ряда с некоторыми рядами, сходимость или расходимость которых уже установлена. Эти доказательства можно найти, например, в фундаментальном учебнике Г. М. Фихтенгольца (, т. 2).

Теорема 2.6. Признак Раабе. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство

(Rn £ 1), "n ³ M, (2.10)

то ряд сходится (расходится).

Признак Раабе в предельной форме. Если для членов указанного выше ряда выполняется условие

Замечание 6. Если сравнить признаки Даламбера и Раабе, то можно показать, что второй значительно сильнее первого.

Если для ряда существует предел

то для последовательности Раабе существует предел

Таким образом, если признак Даламбера дает ответ на вопрос о сходимости или расходимости ряда , то признак Раабе также его дает, причем эти случаи охватываются всего двумя из возможных значений R: +¥ и –¥. Все остальные случаи конечного R ¹ 1, когда признак Раабе дает утвердительный ответ на вопрос о сходимости или расходимости ряда, соответствуют случаю D = 1, т. е. случаю, когда признак Даламбера не дает утвердительный ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Теорема 2.7. Признак Куммера. Пусть {сn} – произвольная последовательность положительных чисел. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство

(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)

то ряд сходится .

Признак Куммера в предельной форме. Если для указанного выше ряда существует предел

то ряд сходится .

Из признака Куммера как следствия легко получить доказательства признаков Даламбера, Раабе и признака Бертрана. Последний получается, если в качестве последовательности {сn} взять

сn=nln n, "n Î N,

для которой ряд

расходится (расходимость этого ряда будет показана в примерах данного параграфа).

Теорема 2.8. Признак Бертрана в предельной форме. Если для членов положительного числового ряда последовательность Бертрана

(2.12)

(Rn – последовательность Раабе) имеет предел

то ряд сходится (расходится).

Ниже сформулируем признак Гаусса – наиболее мощный в последовательности расположенных по возрастанию области применимости признаков сходимости рядов: Даламбера, Раабе и Бертрана. Признак Гаусса обобщает всю мощь предыдущих признаков и позволяет изучать значительно более сложные ряды, но, с другой стороны, для его применения требуется проводить более тонкие исследования, чтобы получить асимптотическое разложение отношения соседних членов ряда до второго порядка малости относительно величины .

Теорема 2.9. Признак Гаусса. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется равенство

, "n ³ M, (2.13)

где l и p – постоянные, а tn – ограниченная величина.

а) при l > 1 или l = 1 и р > 1 ряд сходится;

б) при l < 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.

2.5. Интегральный признак Коши–Маклорена,

«телескопический» признак Коши и признак Ермакова

Рассмотренные выше признаки сходимости рядов основаны на теоремах сравнения и являются достаточными, т. е. при выполнении условий признака для данного ряда можно сделать определенные утверждения о его поведении, но если условия признака для него не выполнены, то ничего о сходимости ряда утверждать нельзя, он может как сходиться так и расходиться.

Интегральный признак Коши–Маклорена отличается от изученных выше по содержанию, будучи необходимым и достаточным, а также по форме, базируясь на сопоставлении бесконечной суммы (ряда) с бесконечным (несобственным) интегралом, и демонстрирует естественную взаимосвязь теории рядов и теории интегралов. Эта взаимосвязь легко прослеживается также на примере признаков сравнения, аналоги которых имеют место для несобственных интегралов и их формулировки почти дословно совпадают с формулировками для рядов. Полная аналогия наблюдается также в формулировках достаточных признаков сходимости произвольных числовых рядов, которые будут изучены в следующем параграфе, и признаков сходимости несобственных интегралов – таких как признаки сходимости Абеля и Дирихле.

Ниже будут приведены также «телескопический» признак Коши и оригинальный признак сходимости рядов, полученный российским математиком В.П. Ермаковым; признак Ермакова по своей мощности имеет примерно ту же область применения, что и интегральный признак Коши–Маклорена, однако не содержит в формулировке терминов и понятий интегрального исчисления.

Теорема 2.10. Признак Коши–Маклорена. Пусть для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется равенство

где функция f(х) неотрицательная и невозрастающая на полупрямой {х ³ М}. Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

То есть ряд сходится, если существует предел

, (2.15)

и ряд расходится, если предел I = +¥.

Доказательство. В силу замечания 3 (см. § 1) очевидно, что без ограничения общности можем считать М = 1, так как, отбросив (М – 1) членов ряда и сделав замену k = (n – М + 1), приходим к рассмотрению ряда , для которого

, ,

и, соответственно, к рассмотрению интеграла .

Далее заметим, что неотрицательная и невозрастающая на полупрямой {х ³ 1} функция f(х) удовлетворяет условиям интегрируемости по Риману на любом конечном промежутке , и поэтому рассмотрение соответствующего несобственного интеграла имеет смысл.

Перейдем к доказательству. На любом сегменте единичной длины m £ х £ m + 1 в силу невозрастания f(х) выполняется неравенство

Проинтегрировав его по отрезку и воспользовавшись соответствующим свойством определенного интеграла, получим неравенство

, . (2.16)

Суммируя эти неравенства почленно от m = 1 до m = n, получим

Так как f (х) неотрицательная функция, то интеграл

является неубывающей непрерывной функцией аргумента А. Тогда

, .

Отсюда и из неравенства (15) следует, что:

1) если I < +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм ограничена, т. е. ряд сходитcя;

2) если I = +¥ (т. е. несобственный интеграл расходится),

то и неубывающая последовательность частичных сумм неограничена, т. е. ряд расходится.

С другой стороны, обозначив , из неравенства (16) получаем:

1) если S < +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³ 1 существует номер n такой, что n + 1 ³ А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £ S, а следовательно, , т. е. интеграл сходится;

2) если S = +¥ (т. е. ряд расходится), то для любого достаточно большого А существует n £ А такой что I(А) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥), т. е. интеграл расходится. Что и требовалось доказать.

Приведем без доказательства еще два интересных признака сходимости.

Теорема 2.11. «Телескопический» признак Коши. Числовой положительный ряд , члены которого монотонно убывают, сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд .

Теорема 2.12. Признак Ермакова. Пусть члены положительного числового ряда таковы, что начиная с некоторого номера М0, выполняются равенства

an = ¦(n), "n ³ М0,

где функция ¦(х) кусочно-непрерывна, положительна и монотонно убывает при х ³ М0.

Тогда если существует число М ³ М0 такое, что для всех х ³ М выполняется неравенство

то ряд сходится (расходится).

2.6. Примеры применения признаков сходимости

С помощью теоремы 2 легко исследовать на сходимость следующий ряд

(a > 0, b ³ 0; "a, b Î R).

Если а £ 1, то нарушается необходимый признак сходимости (свойство 2) (см. § 1).

следовательно, ряд расходится.

Если а > 1, то для сn имеет место оценка , из которой в силу сходимости ряда геометрической прогрессии следует сходимость рассматриваемого ряда.

сходится в силу признака сравнения 1 (теорема 2.2), так как имеем неравенство

а ряд сходится как ряд геометрической прогрессии.

Покажем расходимость нескольких рядов, которая следует из признака сравнения 2 (следствие 1 теоремы 2.2). Ряд

расходится, так как

(p > 0)

расходится, так как

сходится по признаку Даламбера (теорема 2.4). Действительно

сходится по признаку Даламбера. Действительно

сходится по признаку Коши (теорема 2.5). Действительно

Приведем пример применения признака Раабе. Рассмотрим ряд

где обозначение (k)!! означает произведение всех четных (нечетных) чисел от 2 до k (от 1 до k), если k четно (нечетно). Используя признак Даламбера, получим

Таким образом, признак Даламбера не позволяет сделать определенного утверждения о сходимости ряда. Применим признак Раабе:

следовательно, ряд сходится.

Приведем примеры на применение интегрального признака Коши–Маклорена.

Обобщенный гармонический ряд

сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Очевидно, что I < +¥ при p > 1 (интеграл сходится) и I = +¥ при p £ 1 (расходится). Таким образом, исходный ряд также сходится при p > 1 и расходится при p £ 1.

расходится одновременно с несобственным интегралом

таким образом, интеграл расходится.

§ 3. Знакопеременные числовые ряды

3.1. Абсолютная и условная сходимости рядов

В этом параграфе изучим свойства рядов, члены которых являются вещественными числами с произвольным знаком.

Определение 1. Числовой ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Определение 2. Числовой ряд (3.1) называется условно сходящимся или неабсолютно сходящимся, если ряд (3.1) сходится, а ряд (3.2) расходится.

Теорема 3.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. В соответствии с критерием Коши (теорема 1.1) абсолютная сходимость ряда (3.1) эквивалентна выполнению соотношений

" e > 0, $ М > 0 такое, что " n > M, " p ³ 1 Þ

(3.3)

Так как известно, что модуль суммы нескольких чисел не превосходит суммы их модулей («неравенство треугольника»), то из (3.3) следует неравенство (справедливое для тех же, что в (3.3), чисел e, М, п, р)

Выполнение последнего неравенства означает выполнение условий критерия Коши для ряда (3.1), следовательно, этот ряд сходится.

Следствие 1. Пусть ряд (3.1) сходится абсолютно. Составим из положительных членов ряда (3.1), перенумеровав их по порядку (как они встречаются в процессе возрастания индекса), положительный числовой ряд

, (uk = ). (3.4)

Аналогично, составим из модулей отрицательных членов ряда (3.1), перенумеровав их по порядку, следующий положительный числовой ряд:

, (vm = ). (3.5)

Тогда ряды (3.3) и (3.4) сходятся.

Если обозначить суммы рядов (3.1), (3.3), (3.4) соответственно буквами A, U, V, то справедлива формула

A = U – V. (3.6)

Доказательство. Обозначим сумму ряда (3.2) через А*. По теореме 2.1 имеем, что все частичные суммы ряда (3.2) ограничены числом А*, а так как частичные суммы рядов (3.4) и (3.5) получаются в результате суммирования части членов частичных сумм ряда (3.2), то очевидно, что они тем более ограничены числом А*. Тогда, вводя соответствующие обозначения, получаем неравенства

;

из которых в силу теоремы 2.1 следует сходимость рядов (3.4) и (3.5).

(3.7)

Так как числа k и m зависят от п, то очевидно, что при п ® ¥ одновременно k ® ¥ и m ® ¥. Тогда, переходя в равенстве (3.7) к пределу (все пределы существуют в силу теоремы 3.1 и по доказанному выше), получаем

т. е. равенство (3.6) доказано.

Следствие 2. Пусть ряд (3.1) сходится условно. Тогда ряды (3.4) и (3.5) расходятся и формула (3.6) для условно сходящихся рядов не верна.

Доказательство. Если рассмотрим п-ю частичную сумму ряда (3.1), то, как и в предыдущем доказательстве, ее можно записать

(3.8)

С другой стороны, для п-й частичной суммы ряда (3.2) можно аналогично написать выражение

(3.9)

Предположим противное, т. е. пусть хотя бы один из рядов (3.3) или (3.4) сходится. Тогда из формулы (3.8) ввиду сходимости ряда (3.1) следует, что и второй из рядов (соответственно (3.5) или (3.4)) сходится как разность двух сходящихся рядов. А тогда из формулы (3.9) следует сходимость ряда (3.2), т. е. абсолютная сходимость ряда (3.1), что противоречит условию теоремы о его условной сходимости.

Таким образом из (3.8) и (3.9) следует, что так как

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Сочетательное свойство для рядов. Сумма бесконечного ряда существенно отличается от суммы конечного числа элементов тем, что включает предельный переход. Поэтому привычные свойства конечных сумм часто нарушаются для рядов либо они сохраняются только при выполнении определенных условий.

Так, для конечных сумм имеет место сочетательный (ассоциативный) закон, а именно: сумма не меняется, если элементы суммы группировать в каком угодно порядке

Рассмотрим произвольную группировку (без перестановки) членов числового ряда (3.1). Обозначим возрастающую последовательность номеров

и введем обозначения

Тогда ряд, полученный вышеуказанным способом, можно записать в виде

В приведенной ниже без доказательства теореме собрано несколько важнейших утверждений, связанных с сочетательным свойством рядов.

Теорема 3.2.

1. Если ряд (3.1) сходится и имеет сумму А (достаточно условной сходимости), то произвольный ряд вида (3.10) сходится и имеет ту же сумму А. То есть сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

2. Из сходимости какого-либо ряда вида (3.10) не следует сходимость ряда (3.1).

3. Если ряд (3.10) получен специальной группировкой, так что внутри каждой из скобок находятся слагаемые только одного знака, то из сходимости этого ряда (3.10) следует сходимость ряда (3.1).

4. Если ряд (3.1) положительный и какой-либо ряд вида (3.10) для него сходится, то ряд (3.1) сходится.

5. Если последовательность членов ряда (3.1) бесконечно мала (т. е. ап) и число слагаемых в каждой группе – члене ряда (3.10) – ограничено одной постоянной М (т. е. nk –nk–1 £ М, "k = 1, 2,…), то из сходимости ряда (3.10) следует сходимость ряда (3.1).

6. Если ряд (3.1) сходится условно, то без перестановки всегда можно сгруппировать члены ряда так, что полученный ряд (3.10) будет абсолютно сходящимся.

Замечание 2. Переместительное свойство для рядов. Для конечных числовых сумм имеет место переместительный (коммутативный) закон, а именно: сумма не меняется при любой перестановке слагаемых

где (k1, k2, …, kn) – произвольная перестановка из набора натуральных чисел (1, 2,…, п).

Оказывается, что аналогичное свойство имеет место для абсолютно сходящихся рядов и не выполняется для условно сходящихся рядов.

Пусть имеется взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел на себя: N ® N, т. е. каждому натуральному числу k соответствует единственное натуральное число пk, причем множество воспроизводит без пропусков весь натуральный ряд чисел. Обозначим ряд, полученный из ряда (3.1) с помощью произвольной перестановки, соответствующей указанному выше отображению, следующим образом:

Правила применения переместительных свойств рядов отражены в приведенных ниже без доказательств теоремах 3.3 и 3.4.

Теорема 3.3. Если ряд (3.1) сходится абсолютно, то ряд (3.11), полученный произвольной перестановкой членов ряда (3.1), также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 3.4. Теорема Римана. Если ряд (3.1) сходится условно, то члены этого ряда можно переставить так, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу D (конечному или бесконечному: ±¥) или будет не определена.

На основании теорем 3.3 и 3.4 легко установить, что условная сходимость ряда получается в результате взаимного погашения роста n-й частичной суммы при п ® ¥ за счет добавления к сумме то положительных, то отрицательных слагаемых, и поэтому условная сходимость ряда существенно зависит от порядка следования членов ряда. Абсолютная же сходимость ряда является результатом быстрого убывания абсолютных величин членов ряда

и не зависит от порядка их следования.

3.2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

Среди знакопеременных рядов выделяется важный частный класс рядов – знакочередующиеся ряды.

Определение 3. Пусть – последовательность положительных чисел bп > 0, "n Î N. Тогда ряд вида

называется знакочередующимся рядом. Для рядов вида (3.12) имеет место следующее утверждение.

Теорема 5. Признак Лейбница. Если последовательность, составленная из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда (3.8), монотонно убывает до нуля

bn > bn+1, "n Î N; (3.13)

то такой знакочередующийся ряд (3.12) называется рядом Лейбница. Ряд Лейбница всегда сходится. Для остатка ряда Лейбница

имеет место оценка

rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nÎN. (3.14)

Доказательство. Запишем произвольную частичную сумму ряда (3.12) с четным числом слагаемых в виде

По условию (3.13) каждая из скобок в правой части этого выражения есть положительное число, следовательно, с возрастанием k последовательность монотонно возрастает. С другой стороны, любой член В2k последовательности можно записать в виде

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,

и так как по условию (3.13) в каждой из скобок последнего равенства стоит положительное число, то, очевидно, выполняется неравенство

B2k < b1, "k ³ 1.

Таким образом, имеем монотонно возрастающую и ограниченную сверху последовательность , a такая последовательность по известной теореме из теории пределов имеет конечный предел

B2k–1 = B2k + b2k,

и учитывая, что общий член ряда (по условию теоремы) стремится к нулю при п ® ¥, получаем

Таким образом доказано, что ряд (3.12) при условии (3.13) сходится и его сумма равна В.

Докажем оценку (3.14). Выше показано, что частичные суммы четного порядка В2k, монотонно возрастая, стремятся к пределу В – сумме ряда.

Рассмотрим частичные суммы нечетного порядка

B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).

Из этого выражения, очевидно (так как выполнено условие (3.13)), что последовательность убывает и, следовательно, по доказанному выше стремится к своему пределу В сверху. Таким образом, доказано неравенство

0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)

Если теперь рассмотреть остаток ряда (3.12)

как новый знакочередующийся ряд с первым членом bп+1, то для этого ряда на основании неравенства (3.15) можно записать при четных и нечетных индексах соответственно

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0 < r2k < b2k+1,

r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k < 0, | r2k–1 | < b2k.

Итак, доказано, что всегда остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т. е. для него выполняется оценка (3.14). Теорема доказана.

3.3. Признаки сходимости произвольных числовых рядов

В этом подпараграфе приведем без доказательства достаточные признаки сходимости для числовых рядов с членами, являющимися произвольными действительными числами (любого знака), более того эти признаки пригодны и для рядов с комплексными членами.

2) последовательность является сходящейся к нулю (bп ® 0 при n ® ¥) последовательностью с ограниченным изменением.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.9. Признак Дирихле. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

последовательность частичных сумм ряда ограничена (неравенства (3.17));

2) последовательность является монотонной последовательностью, сходящейся к нулю (bп ® 0 при n ®¥).

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.10. Второй обобщенный признак Абеля. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

1) ряд сходится;

2) последовательность является произвольной последовательностью с ограниченным изменением.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.11. Признак Абеля. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

1) ряд сходится;

2) последовательность является монотонной ограниченной последовательностью.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.12. Теорема Коши. Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно А и В, то ряд, составленный из всех произведений вида aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥), занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна АВ.

3.4. Примеры

Рассмотрим вначале несколько примеров на абсолютную сходимость рядов. Ниже полагаем, что переменная х может быть любым действительным числом.

2) расходится при |х| > е по тому же признаку Даламбера;

3) расходится при |x| = е по признаку Даламбера в непредельной форме, так как

в силу того, что стоящая в знаменателе экспоненциальная последовательность стремится к своему пределу, монотонно возрастая,

(a ¹ 0 – действительное число)

1) сходится абсолютно при |x/a| < 1, т. е. при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5);

2) расходится при |x/a| ³ 1, т. е. при |x| ³ |a|, так как в данном случае нарушается необходимый признак сходимости (свойство 2 (см. § 1))

Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:

Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя , и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час я крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.

Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-ой том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу:

Поскольку числовая последовательность считается частным случаем функции, то в пределе проведём замену: . Если , то .

В результате:

Теперь у меня предел функции и применимо правило Лопиталя . В процессе дифференцирования придётся брать производную степенно-показательной функции , которую технически удобно найти отдельно от основного решения:

ТерпИте, раз уж сюда забрались – Бармалей в начале статьи предупреждал =) =)

Дважды использую правило Лопиталя:

расходится .

Потрачена уйма времени, но мои ворота устояли!

Ради интереса я вычислил 142 члена ряда в Экселе (на бОльшее не хватило вычислительной мощности) и похоже (но строго теоретически не гарантировано!), что для данного ряда не выполнен даже необходимый признак сходимости. Посмотреть эпический результат можноздесь >>> После таких злоключений не удержался от соблазна этим же любительским способом проверить и предел .

Пользуйтесь на здоровье, решение легально!

А это ваш слонёнок:

Пример 20

Исследовать сходимость ряда

Если вы хорошо прониклись идеями данного урока, то справитесь с этим примером! Он значительно проще предыдущего;-)

Наше путешествие завершилось на яркой ноте, и, надеюсь, у всех оставило незабываемое впечатление. Желающие продолжения банкета могут пройти на страницу Готовые задачи по высшей математике и закачать архив с дополнительными заданиями по теме.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : сравним данный ряд со сходящимся рядом . Для всех натуральных номеров справедливо неравенство , а значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Пример 4: Решение : сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Используем предельный признак сравнения:

(произведение бесконечно малой на ограниченную – есть бесконечно малая последовательность)
расходится вместе с гармоническим рядом.

Пример 5: Решение : вынесем множитель-константу общего члена за пределы суммы, от него не зависит сходимость или расходимость ряда:

Сравним данный ряд со сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией . Последовательность – ограничена: , поэтому для всех натуральных номеров выполнено неравенство . А, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Пример 8: Решение : сравним данный ряд с расходящимся рядом (константа-множитель общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда). Используем предельный признак сравнения и замечательный предел :

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

Пример 13: Решение

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

Пример 14: Решение : используем признак Даламбера:

Заменим бесконечно малые эквивалентными: при .
Используем второй замечательный предел: .

Следовательно, исследуемый ряд расходится .
Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

Пример 20: Решение : проверим необходимое условие сходимости ряда. В ходе вычислений типовым приёмом организуем 2-ой замечательный предел:

Таким образом, исследуемый ряд расходится .

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)