Формулу знаходження периметра виведемо. Периметр та площа прямокутника. Як знайти периметр прямокутника – онлайн-ресурси

Урок та презентація на тему: "Периметр та площа прямокутника"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 3 класу
Тренажер для 3 класу "Правила та вправи з математики"
Електронний навчальний посібник для 3 класу "Математика за 10 хвилин"

Що таке прямокутник та квадрат

Прямокутник- Це чотирикутник, у якого всі кути прямі. Отже, протилежні сторони рівні одна одній.

Квадрат- Це прямокутник, у якого рівні і сторони, і кути. Його називають правильним чотирикутником.

Чотирикутники, у тому числі прямокутники та квадрати, позначаються 4 літерами – вершинами. Для позначення вершин використовують латинські літери: A, B, C, D...

приклад.

Читається так: чотирикутник ABCD; квадрат EFGH.

Що таке периметр прямокутника? Формула розрахунку периметра

Периметр прямокутника– це сума довжин усіх сторін прямокутника або сума довжини та ширини, помножена на 2.

Периметр позначається латинською літерою P. Так як периметр - це довжина всіх сторін прямокутника, він периметр записується в одиницях довжини: мм, см, м, дм, км.

Наприклад, периметр прямокутника АВСD позначається як P ABCD , де А, У, З, D - це вершини прямокутника.

Запишемо формулу периметра чотирикутника ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

приклад.
Заданий прямокутник ABCD зі сторонами: AB=СD=5 см та AD=BC=3 см.
Визначимо P ABCD.

Рішення:
1. Намалюємо прямокутник ABCD із вихідними даними.
2. Напишемо формулу для розрахунку периметра даного прямокутника:

P ABCD = 2* (AB + BС)

P ABCD = 2* (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Відповідь: P ABCD = 16 см.

Формула розрахунку периметра квадрата

Ми маємо формулу для визначення периметра прямокутника.

P ABCD = 2* (AB + BC)

Застосуємо її визначення периметра квадрата. Враховуючи, що всі сторони квадрата рівні, отримуємо:

P ABCD = 4 * AB

приклад.
Заданий квадрат ABCD зі стороною, що дорівнює 6 см. Визначимо периметр квадрата.

Рішення.
1. Намалюємо квадрат ABCD із вихідними даними.

2. Згадаймо формулу розрахунку периметра квадрата:

P ABCD = 4 * AB

3. Підставимо у формулу наші дані:

P ABCD = 4 * 6 см = 24 см

Відповідь: P ABCD = 24 см.

Завдання на знаходження периметра прямокутника

1. Виміряй ширину та довжину прямокутників. Визнач їх периметр.

2. Намалюй прямокутник ABCD зі сторонами 4 см та 6 см. Визнач периметр прямокутника.

3. Намалюй квадрат СЕОМ зі стороною 5 см. Визнач периметр квадрата.

Де використовується розрахунок периметра прямокутника?

1. Задано ділянку землі, її потрібно обнести парканом. Якою довжиною буде паркан?

У цій задачі необхідно точно розрахувати периметр ділянки, щоб не купити зайвий матеріал для забору.

2. Батьки вирішили зробити ремонт у дитячій кімнаті. Необхідно знати периметр кімнати та її площу, щоб правильно розрахувати кількість шпалер.
Визнач довжину та ширину кімнати, в якій ти живеш. Визнач периметр своєї кімнати.

Що таке площа прямокутника?

Площа- Це числова характеристика фігури. Площа вимірюється квадратними одиницями довжини: см 2 , м 2 , дм 2 та ін (сантиметр у квадраті, метр у квадраті, дециметр у квадраті і т.д.)
У обчисленнях позначається латинською літерою S.

Для визначення площі прямокутника необхідно довжину прямокутника помножити з його ширину.
Площа прямокутника обчислюється множенням довжини АК ширину КМ. Запишемо це як формули.

S AKMO = AK * KM

приклад.
Чому дорівнює площа прямокутника AKMO, якщо його сторони дорівнюють 7 см і 2 см?

S AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .

Відповідь: 14 см 2 .

Формула обчислення площі квадрата

Площу квадрата можна визначити, помноживши бік саму себе.

приклад.
У цьому прикладі площа квадрата обчислюється множенням сторони AB на ширину BC, але оскільки вони рівні, виходить множення сторони AB на AB.

SАВСО = AB * BC = AB * AB

приклад.
Визнач площу квадрата AKMO зі стороною 8 см.

S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2

Відповідь: 64 см 2 .

Завдання на знаходження площі прямокутника та квадрата

1. Задано прямокутник зі сторонами 20 мм та 60 мм. Обчисли його площу. Запиши відповідь у квадратних сантиметрах.

2. Була куплена дачна ділянка розміром 20 м на 30 м. Визнач площу дачної ділянки, відповідь запиши у квадратних сантиметрах.

Прямокутник має багато відмінних рис, виходячи з яких, вироблені правила обчислення його різних числових характеристик. Отже, прямокутник:

Плоска геометрична фігура;
Чотирьохкутник;
Фігура, у якої протилежні сторони рівні та паралельні, всі кути прямі.

Периметр – це загальна довжина всіх сторін фігури.

Обчислення периметра прямокутника – досить просте завдання.

Все, що вам потрібно знати, це ширина і довжина прямокутника. Оскільки прямокутник має дві рівні довжини та дві рівні ширини, вимірюється лише одна сторона.

Периметр прямокутника дорівнює подвоєній сумі 2-х сторін довжини і ширини.

P = (a + b) 2, де a – довжина прямокутника, b – ширина прямокутника.

Також периметр прямокутника можна знайти за допомогою суми всіх сторін.

P= a+a+b+b де а– довжина прямокутника, b – ширина прямокутника.

Периметр квадрата – це довжина сторони квадрата, помножена на 4.

P = a 4 де a - довжина сторони квадрата.

Додаток: Знаходження знайти площі та периметра прямокутників

У програмі навчання за 3 клас передбачено вивчення багатокутників та їх особливостей. Щоб зрозуміти, як знайти периметр прямокутника і площу, розберемося, що мається на увазі під цими поняттями.

Основні поняття

Знаходження периметра та площі вимагає знання деяких термінів. До них відносяться:

Прямий кут. Утворюється з двох променів, що мають загальний початок у вигляді точки. При знайомстві із фігурами (3 клас) прямий кут визначають за допомогою косинця.
Прямокутник. Це чотирикутник, усі кути якого є прямими. Його сторони називають довжиною та шириною. Як відомо, протилежні сторони цієї постаті рівні.
Квадрат. Є чотирикутником, усі сторони якого рівні.

При знайомстві з багатокутниками їх вершини можуть називатися АВСД. У математиці прийнято називати крапки на кресленнях літерами латинського алфавіту. У назві багатокутника перераховують всі вершини без перепусток, наприклад, трикутник ABC.

Обчислення периметра

Периметр багатокутника – це сума довжин усіх його сторін. Ця величина позначається латинською літерою P. Рівень знань запропонованих прикладів — 3 клас.

Завдання №1: «Накресліть прямокутник 3 см завширшки та 4 см завдовжки з вершинами ABCD. Знайдіть периметр прямокутника ABCD».

Формула виглядатиме так: P=AB+BC+CD+AD або P=AB×2+BC×2.

Відповідь: P=3+4+3+4=14 (см) чи P=3×2 + 4×2=14 (см).

Завдання №2: «Як знайти периметр прямокутного трикутника ABC, якщо значення сторін дорівнюють 5, 4 і 3 см?».

Відповідь: P = 5 + 4 + 3 = 12 (см).

Завдання №3: «Знайдіть периметр прямокутника, одна сторона якого дорівнює 7 см, а інша на 2 см довша».

Відповідь: P = 7 +9 +7 +9 = 32 (см).

Завдання №4: «Змагання з плавання проходили у басейні, периметр якого становить 120 м. Скільки метрів проплив учасник змагань, якщо ширина басейну 10 м?».

У цьому питанні стоїть питання, як знайти довжину басейну. Для розв'язання знайдіть довжини сторін прямокутника. Ширина відома. Сума довжин двох невідомих сторін має становити 100 м. 120-10×2=100. Щоб дізнатися про відстань, яку подолав плавець, потрібно розділити отриманий результат на 2. 100:2=50.

Відповідь: 50 (м).

Обчислення площі

Більш складною величиною є площа постаті. Для її вимірювання використовують мірки. Еталоном серед мірок є квадрати.

Площа квадрата зі стороною 1 см дорівнює 1 см ². Квадратний дециметр позначений як дм2, а квадратний метр — м2.

Області застосування одиниць виміру можуть бути такими:

У см² вимірюють маленькі предмети, наприклад, фотографії, обкладинки підручників, аркуші паперу.
У дм² можна виміряти географічну карту, шибку, картину.
Для виміру підлоги, квартири, земельної ділянки використовують м².

Якщо накреслити прямокутник 3 см завдовжки та 1 см завширшки і розбити на квадрати зі стороною 1 см, то в ньому поміститься 3 квадрати, а отже, його площа становитиме 3 см². Якщо прямокутник розбитий на квадрати, знайдемо периметр прямокутника також легко. У разі він дорівнює 8 див.

Інший спосіб порахувати кількість квадратів, що вміщаються у фігуру, - це використання палетки. Накреслимо на кальці квадрат площею 1 дм2, що становить 100 см2. Помістимо кальку на фігуру та порахуємо кількість квадратних сантиметрів в одному ряду. Після цього з'ясуємо кількість рядів, а потім перемножимо значення. Значить, площа прямокутника - це добуток його довжини та ширини.

Способи порівняння площ:

На око. Іноді досить просто поглянути на предмети, оскільки в деяких випадках і неозброєним оком видно, що одна фігура займає більше місця, як, наприклад, підручник, що лежить на столі поруч із пеналом.
Накладення. Якщо фігури збігаються при накладенні, їхня площа дорівнює. Якщо одна з них повністю міститься всередині другий, її площа менше. Місця, які займає зошитовий лист і сторінка з підручника, можна порівняти, наклавши їх один на одного.
За кількістю мірок. Фігури при накладенні можуть і не збігатися, однак мати однакову площу. Порівняти в цьому випадку можна, підрахувавши кількість квадратів, на які розбито фігуру.
Числа. Порівнюються чисельні значення, виміряні однією і тією ж міркою, наприклад, м2.

Приклад №1: «Швачка пошила дитячу ковдру з квадратних різнокольорових клаптиків. Один клаптик довжиною 1 дм, у ряду по 5 штук. Скільки дециметрів стрічки знадобиться швачка для обробки країв ковдри, якщо відома площа 50 дм²?».

Щоб розв'язати задачу, потрібно відповісти на питання, як знайти довжину прямокутника. Далі знайдемо периметр прямокутника, складеного із квадратів. З завдання ясно, що ширина ковдри - 5 дм, обчислюємо довжину, розділивши 50 на 5, і отримуємо 10 дм. Тепер знайдіть периметр прямокутника зі сторонами 5 та 10. P=5+5+10+10=30.

Відповідь: 30 (м).

Приклад №2: «На розкопках виявлено ділянку, де можуть бути стародавні скарби. Скільки території доведеться досліджувати вченим, якщо відомий периметр 18 м та ширина прямокутника 3 м?».

Визначимо довжину ділянки, зробивши 2 дії. 18-3×2=12. 12:2 = 6. Потрібна територія також дорівнюватиме 18 м² (6×3=18).

Відповідь: 18 (м²).

Таким чином, знаючи формули, обчислити площу і периметр не складе труднощів, а наведені вище приклади допоможуть попрактикуватися у вирішенні математичних завдань.

Вміння знаходити периметр прямокутника дуже важливе для вирішення багатьох геометричних завдань. Нижче наведено докладну інструкцію щодо знаходження периметра різних прямокутників.

Як знайти периметр звичайного прямокутника

Звичайний прямокутник – чотирикутник, у якого паралельні сторони рівні та всі кути = 90º. Для знаходження його периметра існує 2 способи:

Складаємо усі сторони.

Обчисліть периметр прямокутника, його ширина дорівнює 3 см., а довжина – 6.

Рішення (послідовність дій та міркування):

Так як нам відомі ширина і довжина прямокутника, знайти його периметр не складе труднощів. Ширина паралельна ширині, а довжина довжині. Таким чином, у звичайному прямокутнику 2 ширини та 2 довжини.
Складаємо всі сторони (3+3+6+6) = 18 см.

Відповідь: P = 18 см.

Другий спосіб полягає в наступному:

Потрібно скласти ширину та довжину, і помножити на 2. Формула цього способу має такий вигляд: 2×(a + b), де a – ширина, b – довжина.

У рамках цього завдання отримаємо таке рішення:

2×(3+6) = 2×9 = 18.

Відповідь: P = 18.

Як знайти периметр прямокутника – квадрат

Квадрат є правильним чотирикутником. Правильним тому, що всі його сторони та кути рівні. Для знаходження його периметра так само існує два способи:

Скласти усі його сторони.
Помножити його бік на 4.

Приклад: Знайти периметр квадрата, якщо його бік = 5 см.

Оскільки нам відома сторона квадрата, ми зможемо знайти його периметр.

Складаємо всі сторони: 5+5+5+5=20.

Відповідь: P = 20 см.

Помножуємо сторону квадрата на 4 (бо всі рівні): 4×5 = 20.

Відповідь: P = 20 см.

Як знайти периметр прямокутника – онлайн-ресурси

Незважаючи на те, що вищезгадані дії легкі для розуміння та освоєння, вам може стати у нагоді кілька онлайн-калькуляторів, які допоможуть вам обчислити периметри (площа, об'єм) різних фігур. Просто вбийте необхідні значення та міні-програма розрахує периметр потрібної вам фігури. Нижче наведено невеликий список.

При вирішенні необхідно взяти до уваги, що вирішити задачу про знаходження площі прямокутника тільки з довжини його сторін не можна.

У цьому неважко переконатися. Нехай периметр прямокутника дорівнюватиме 20 см. Це буде правильно, якщо його сторони 1 і 9, 2 і 8, 3 і 7 см. Всі ці три прямокутники матимуть однаковий периметр, що дорівнює двадцяти сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 так само як і (2 + 8) * 2 = 20 см.
Як видно, ми можемо підібрати нескінченна кількість варіантіврозмірів сторін прямокутника, периметр якого дорівнюватиме заданому значенню.

Площа прямокутників із заданим периметром 20 см, але з різними сторонами буде різною. Для наведеного прикладу – 9, 16 та 21 квадратних сантиметрів відповідно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Як бачимо, варіантів площі фігури при заданому периметрі – нескінченна кількість.

Зауваження для допитливих. У випадку прямокутника, у якого заданий периметр, максимальну площу матиме квадрат.

Таким чином, для того, щоб обчислити площу прямокутника з його периметра, потрібно обов'язково знати співвідношення його сторін, або довжину однієї з них. Єдиною фігурою, яка має однозначну залежність своєї площі від периметра, є коло. Тільки для колаі можливе рішення.

У цьому уроці:

Завдання 4. Зміна довжини сторін за збереження площі прямокутника

Завдання 1. Знайти сторони прямокутника із площі

Периметр прямокутника дорівнює 32 см, а сума площ квадратів, побудованих на кожній з його сторін - 260 квадратних сантиметрів. Знайдіть сторони прямокутника.
Рішення.

2(x+y)=32
Відповідно до умови завдання, сума площ квадратів побудованих на кожній з його сторін (квадратів, відповідно, чотири) дорівнюватиме
2x 2 +2y 2 = 260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 = 9
x 2 = 7
Тепер візьмемо до уваги, що виходячи з того, що x+y=16 (див. вище) при x=9, y=7 і навпаки, якщо x=7, то y=9
Відповідь: Сторони прямокутника дорівнюють 7 і 9 сантиметрам.

Завдання 2. Знайти сторони прямокутника з периметра

Периметр прямокутника 26 см, а сума площ квадратів, побудованих на двох його суміжних сторонах, дорівнює 89 кв. див. Знайдіть сторони прямокутника.
Рішення.
Позначимо сторони прямокутника як x та y.
Тоді периметр прямокутника дорівнює:
2(x+y)=26
Сума площ квадратів побудованих на кожній з його сторін (квадратів, відповідно, два і це квадрати ширини та висоти, оскільки сторони суміжні) дорівнюватиме
x 2 + y 2 = 89
Вирішуємо отриману систему рівнянь. З першого рівняння виводимо, що
x+y=13
y=13-y
Тепер виконуємо підстановку на друге рівняння, замінюючи x його еквівалентом.
(13-y) 2 + y 2 = 89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Вирішуємо отримане квадратне рівняння.
D=676-640=36
x 1 = 5
x 2 = 8
Тепер візьмемо до уваги, що виходячи з того, що x+y=13 (див. вище) при x=5, y=8 і навпаки, якщо x=8, y=5
Відповідь: 5 та 8 см

Завдання 3. Знайти площу прямокутника із пропорції його сторін

Знайти площу прямокутника якщо його периметр дорівнює 26 см, а сторони пропорційні як 2 до 3.

Рішення.
Позначимо сторони прямокутника через коефіцієнт пропорційності x.
Звідки довжина однієї сторони дорівнюватиме 2x, інший - 3х.

Тоді:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x = 13
x=13/5
Тепер, виходячи з отриманих даних, визначимо площу прямокутника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2

Завдання 4. Зміна довжини сторін за збереження площі прямокутника

Довжина прямокутника збільшена на 25%. На скільки відсотків треба зменшити ширину, щоби його площа не змінилася?

Рішення.
Площа прямокутника дорівнює
S = ab

У нашому випадку один із множників збільшився на 25%, що означає a 2 = 1,25a. Таким чином, нова площа прямокутника повинна дорівнювати
S 2 = 1,25ab

Таким чином, для того, щоб повернути площу прямокутника до початкового значення, то
S 2 = S/1.25
S 2 = 1,25ab/1.25

Оскільки новий розмір а змінювати не можна, то
S 2 = (1,25a) b/1.25

1 / 1,25 = 0,8
Таким чином, величину другої сторони потрібно зменшити на (1 – 0,8) * 100% = 20%

Відповідь: ширину потрібно зменшити на 20%.

Нижче в статті ви дізнаєтеся, що таке і як знайти периметр прямокутника якщо відомі його сторони. А також як знайти сторони прямокутника, якщо відомий його периметр. І ще одне цікаве будівельне прикладне завдання.

Трохи теорії:

Периметр - це довжина геометричної постаті за її зовнішнім кордоном.

Периметр прямокутника – це сума довжин його сторін.

Формули обчислення периметра прямокутника: P = 2*(a+b) чи P = a + a + b + b.

Резюмуємо! Для того щоб обчислити периметр прямокутника, необхідно скласти всі його сторони.

Типові математичні та практичні завдання:

Завдання №1:

Вихідні дані: Визначити периметр прямокутника з довжинами сторін 5 см та 10 см.

Рішення:

Відповідно до формули периметр прямокутника дорівнює = 2 * (5 + 10) = 30 см.

Відповідь: 30 см.

Завдання №2:

Вихідні дані: Визначити сторони прямокутника, виражені цілими числами, якщо периметр прямокутника дорівнює 10.

Рішення:

За формулою визначаємо суму довжин сторін (a + b) = P/2 = 10/2 = 5
Цілими значеннями сторін можуть бути лише значення 1 + 4 = 5 та 2 + 3 = 5

Відповідь: Довжини сторін можуть бути лише 2 та 3 або 1 та 4.

Завдання №3 (практичне):

Вихідні дані: Визначити кількість плінтусів у достатній кількості для ремонту підлоги в кімнаті довжиною 5 метрів та шириною 3 метри, якщо довжина одного плінтуса дорівнює 3 метри.

Рішення:

Периметр кімнати = 2*(5+3) = 16 метрів
Кількість плінтусів = 16/3 = 5,33 штук
Зазвичай у будівельних магазинах плінтуси продаються не погонними метрами, а поштучно. Тому приймаємо таке ціле число. Це шість.

Відповідь: Кількість плінтусів 6 штук.

На закінчення:

Розв'язання задачі обчислення периметра є досить простим математичним завданням, але має дуже важливе практичне значення, наприклад, у будівництві або генеральному плануванні території.

На цій сторінці представлений найпростіший онлайн калькулятор для розрахунку периметра прямокутника. За допомогою цієї програми ви в один клік зможете знайти периметр прямокутника, якщо відомі його довжина та ширина.