Преподавание алгебраического материала в начальной школе. Методика изучения числовых выражений

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Соликамский государственный педагогический институт» Кафедра математики и физики В. И. Кузьминова ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ Учебно-методическое пособие Соликамск СГПИ 2011 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Содержание УДК 37 ББК 74.202.42 К 89 Рецензенты: старший преподаватель ПНО и ВПГПУ Ю. Ю. Скрипова, зав. кафедрой математики и физики, кандидат педагогических наук, доцент СГПИ Л. Г. Шестакова. Введение............................................................................................4 Из истории алгебры.......................................................................5 Общая характеристика методики изучения алгебраического материала.........................................................8 Числовые выражения....................................................................9 К 89 Кузьминова, В. И. Элементы алгебры в курсе математики начальных классов [Текст] : учебнометодическое пособие / В. И. Кузьминова; ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт». – Соликамск: СГПИ, 2011. – 48 с. – 100 экз. Числовые равенства и неравенства..........................................22 Тождественные преобразования числовых выражений....28 Буквенные выражения..................................................................30 Уравнения в начальном курсе математики............................35 Пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Пособие нацелено на углубление и обобщение методических знаний студентов по одному из вопросов частной методики – изучения алгебраического материала в курсе математики, а также на систематизацию типов заданий, которые необходимо использовать в процессе усвоения детьми элементов алгебры. Обучение младших школьников решению задач алгебраическим методом.............................................................42 Неравенства с переменной..........................................................44 Обучение младших школьников элементам алгебры........45 Список литературы........................................................................47 УДК 37 ББК 74.202.42 Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ. Протокол № 17 от 10.12.2010 г. Кузьминова В. И., 2011 ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт, 2011 3 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Введение Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Рекомендуется как для очного, так и для заочного отделения. Пособие посвящено изучению одного из вопросов дисциплины «Теоретические основы и технологии начального математического образования» – методике изучения элементов алгебры в начальном курсе математики. В пособии даны краткие исторические сведения о зарождении алгебры как науки, раскрыты общие положения, связанные с изучением алгебраического материала в начальной школе. В пособии описана методика обучения младших школьников отдельным вопросам (числовые выражения, числовые равенства и неравенства, буквенные выражения, уравнения и неравенства с одной переменной), выделены типы заданий, которые необходимо использовать при уточнении представлений об основных понятиях алгебры. Восполняя недостаток в учебно-методической литературе по дисциплине «Теоретические основы и технологии начального математического образования», учебное пособие углубляет и обобщает знания студентов, позволяя сформировать правильный подход к изучению элементов алгебры и умение самостоятельно работать с учебно-методической литературой. Из истории алгебры Любой выпускник средней школы на вопрос, чему его научили на уроках алгебры, наверняка скажет: «Решать уравнения и задачи с помощью уравнений». Современные ученые придерживаются той же точки зрения на содержание алгебры. Французские математики Александр Гротендик (родился в 1928 г.) и Жан Дьедоне (родился в 1906 г.) в статье «Элементы алгебраической топологии» пишут: «Можно утверждать, что решение полиноминальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времени вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из её основных целей». Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затем кубические, а позже уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой описывались алгебраические результаты, менялась до неузнаваемости. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. В папирусах, которые дошли до нас, решаются задачи практического содержания: вычисляются площади земельных участков, объёмы сосудов, количества зерна и т.д. Все задачи с конкретными числовыми данными, но в некоторых из них уже проскальзывает теоретический интерес. Например, задача из папируса Кахуна (около XVIII – XVI до н.э.): «Найти два числа х и у, для 3 которых x2 + y2 = 100 и x ÷ y = 1 ÷ » (в современных обозначения). 4 В папирусах она решена методом «Ложного положения». Именно, 3 если положить x=1, то y = и x 2 + y 2 =(5)2. Но по условию 4 4 5 x2 + y2 = 102, следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10: = 8, 4 тогда y = 6. Значительные успехи в развитии алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени. Способы решения конкретных уравнений дают основания считать, что вавилоняне владели и общими правилами нахождения уравнений первой и второй степени. 4 5 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Все задачи и их решения излагались в словесной форме. В одной из клинописных табличек встречается такая задача: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». Нетрудно догадаться, что речь идёт о квадратном уравнении x2 - x = 870. Но эти достижения ещё нельзя назвать наукой, поскольку общей теории не было. Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Со времени кризиса, вызванного открытием несоизмеримых отрезков, у древних греков вся математика приобрела геометрическую форму. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Например, соотношение, которое мы записываем в виде формулы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, в «Началах» Евклида формируется так: «Если отрезок AB разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на AB, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ». После этого дается длинное доказательство этого факта на геометрическом языке. Геометрический подход к математике отражал, вероятно, определенные черты духовной жизни древних греков. Греки создали непревзойденные скульптуры, удивительные по своему совершенству храмы и другие архитектурные сооружения, пропорции которых строго математически выверены. Это стремление к красоте, гармоничности, соразмерности, способствовало геометризации математики. Геометрический путь был гениальной находкой античных математиков, но он сдерживал развитие алгебры. Алгебраические методы, ростки которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции не получили развития. Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. К концу VIII в. в результате захватнических войск арабы покорили почти все страны Средиземноморья, а на Востоке их владения простирались до самой Индии. Многие арабские халифы для укрепления своего могущества и славы поощряли развитие наук. В Багдаде, столице халифата, создаются новые условия для работы ученых. Здесь открыто много библиотек, построен Дом мудрости, при нём оборудована прекрасная обсерватория. Арабские математики на первых парах усердно изучают труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных. В Доме мудрости работал выдающийся узбекский учёный первой половины IX в. Ал-Хорезми. Его полное имя - Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми ал-Маджуси, что означает Мухаммед сын Музы из Хорезма из родов магов. Сохранились его сочинения по арифметике, астрономии, географии, календарным расчетам. Наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь он впервые разработал правила преобразования уравнений. Трактат назывался «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». В XII в. труд ал-Хорезми был переведен на латинский язык и долгое время оставался в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции восполнения «ал-джебр» и дало название области математики, связанной с искусством решения уравнений. Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские учёные. В XI в. знаменитый математик Омар Хайям описал геометрическое решение уравнений третьей степени. Занимался кубическими уравнениями и ал-Бируни. В XV в. работал замечательный математик и астроном ал-Каши. Он изучал уравнения четвертой степени. Арабов интересовало и численное значение корней. После успешного решения уравнений 3-й и 4-й степени математики пытались найти формулы решений уравнений более высоких степеней. Феррари решал уравнения 4-й степени. Эрендрид Вальтер фон Чирнгауз (1651 – 1708), Самуэль Бринг (1736 – 1798 г.г.) вели поиски решения уравнений пятой степени. Проблемой решения уравнений пятой степени в 30-е годы XVIII в. занимался величайший из математиков этого века Леонард Эйлер. Позже продолжил исследования в этом направлении другой выдающийся математик XVIII в. Жозеф Луи Лагранж. Его исследованиями теория алгебраических уравнений была поставлена на правильные рельсы: все до тех пор известное получается с единых позиций, четко выделены трудности. Большой вклад в историю решения алгебраических уравнений внесли Нильс Хенрик Абель (1802 г.р. – 1829 г.), Эварист Галуа (1811 г.р. – 1833 г.), жизнь которых оборвалась в раннем возрасте. Но труды их были не напрасны. Эти гениальные юноши построили фундамент современной алгебры. 6 7 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Общая характеристика методики изучения алгебраического материала Числовые выражения Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как алгебраическое выражение (числовое выражение, буквенное выражение), равенство (числовое равенство, уравнение), неравенство (числовое неравенство, неравенство с одной переменной). Ознакомление с буквой и её использованием как символа, обозначающего отвлеченное число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями «переменная», «функция», способствует развитию у детей функционального мышления. Алгебраическая пропедевтика позволяет осуществлять преемственность в обучении алгебраическому материалу между начальной школой и средним звеном (5 – 7 кл.), готовит к усвоению материала систематического курса алгебры в среднем (7 – 9 кл.) и старшем звеньях образования. В основе организации процесса усвоения учащимися алгебраического материала лежат следующие положения: – алгебраические понятия вводятся в курс математики начальной школы в тесной взаимосвязи с изучением арифметического материала и получают свое развитие в зависимости от его содержания; – включение алгебраического материала в начальный курс математики должно, прежде всего, способствовать формированию у школьников абстрактного мышления и тем самым повышать уровень усвоения ими арифметических вопросов. Числовые (арифметические) выражения входят в систему обучения математике довольно рано, как только младшие школьники начинают знакомство с цифрами как способами именования вполне определенных конкретных чисел. При этом дети делают шаги по пути овладения математической символикой и математическим языком. В то же время, записывая число определенной последовательностью цифр, ребенок начинает знакомство с отвлеченным числом. Над такими отвлеченными числами можно производить арифметические действия, независимо от природы числа. Рассматривая числа как систему знаков, следует помнить, что операции над ними подчиняются точно сформулированным правилам. В этой системе и строятся числовые выражения, они составляются из числовых знаков (имен чисел) и знаков арифметических действий. Каждое число есть числовое выражение. Если два числовых выражения соединить знаком действия, то полученная запись также есть числовое выражение. Младшие школьники знакомятся с терминами «сумма», «разность», «произведение», «частное». В словарь учащихся вводятся названия арифметических действий, их компонентов (сложение, вычитание, умножение, деление, слагаемое, вычитаемое, уменьшаемое, делимое). Помимо терминологии, они должны также усвоить и некоторые элементы математической символики, в частности, знаки действий (плюс, минус). Эта работа осуществляется при изучении смысла арифметических действий. Далее полезно провести обобщение материала. С этой целью нужно раздать детям «арифметический конструктор». Он представляет собой набор цифр, знаков арифметических действий, букв, знаков математических отношений >, <, =. Детям предлагается рассмотреть содержимое «конструктора» и распределить на группы детали. Далее учащиеся рассказывают, что они знают о каждой группе объектов. Затем детям предлагается из чисел и знаков арифметических 8 9 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» действий «сконструировать» математические объекты 5 + 4; 9 ⋅ 2 + +3 – 1 ⋅ 7 + 12: 4 (каждый придумывает и записывает их в тетрадь), по 8 – 10 таких выражений. Затем преподаватель учит выделять род (записи) и вид (состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий) и предлагает сформулировать определение понятия «числовое выражение». После этого нужно научить распознавать такие выражения среди различных объектов, тем самым школьники учатся выделять главное, существенное и формулировать определение данного понятия. Затем предлагается снова рассмотреть все полученные выражения и распределить их на группы по определенному признаку. Варианты: выражения соединены одним знаком 8 – 3 и более, чем одним (25 ⋅ 3 – 12). Удобно в данном случае одну группу выражений назвать простыми, а другую сложными (составными). При этом дети обобщают, углубляют знания о простых числовых выражениях. Так как математика описывает не непосредственно наблюдаемые предметы, явления, а абстрактные понятия, связанные с практикой, то переход от непосредственной практики к математическому описанию некоторой ситуации затруднен. Чтобы такой подход осуществить, нужно уметь выделить в рассматриваемой ситуации существенные с некоторой точки зрения характеристики, остающиеся неизменными во всех одинаковых ситуациях, отбросить все то, что несущественно, и перевести на математический язык. Рассмотрим вариант закрепления представлений о простых числовых выражениях на примере углубления знаний о понятии «сумма». I. Рассматривается задача: «У Коли 5 марок, ему подарили ещё 2 марки». Выделяются несущественные признаки данной реальной ситуации. Что неважно, несущественно в этом описании? (Какие марки у детей, какова стоимость этих марок, где хранятся, откуда взялись эти марки?) А что важно, существенно в данном описании? (Сколько марок стало у Коли?) Важна количественная характеристика. Дети выполняют предметные действия. Выложить слева столько квадратов, сколько марок у Коли, справа столько квадратов, сколько марок ему подарили. Что сделали с марками – подарили. Показать на предметах: + придвинуть объекты справа. Больше или меньше стало марок? (Больше). Далее детям предложить построить графическую модель, а затем перейти к математическому описанию 10 5 + 2. Аналогично рассматриваются ещё 3 – 4 подобные ситуации. В аквариуме было 5 рыбок, туда пометили ещё 2-х рыбок. В альбоме по рисованию у Вити 5 рисунков о войне, он нарисовал ещё 2 рисунка. В вазе лежало 5 груш, ещё положили 2 груши. Таня вымыла 5 тарелок, а потом ещё 2. Дети закрепляют умение выделять существенное, отбрасывать несущественное на данный момент, выполнять предметные действия, от них переходить сначала к графическому, а затем к математическому описанию. Далее учитель предлагает выделить сходство и отличие данных ситуаций. Что общего, чем отличаются? 5+2 карточка появляется на доске. II. Теперь предлагается рассмотреть другой вид реальной ситуации. В букете 3 василька и 5 ромашек. Что несущественно? (Где рвали цветы, каких они размеров, где находится букет и т.д.) Что существенно, важно? (Общая численность. Сколько всего цветов.) Дети выполняют предметные действия. Учитель предлагает слева выложить столько квадратов, сколько васильков в букете, справа столько кругов, сколько ромашек в букете, а затем объединить объекты. Задается вопрос: больше или меньше теперь объектов? (Больше). Далее дети под руководством учителя от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию. 3 + 5. 11 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Аналогично рассматриваются 3 – 4 подобные ситуации. * В пенале 3 карандаша и 5 ручек. * В вазе 3 яблока и 5 груш. * На столе стоят 3 кружки и 5 стаканов. * На полке 3 альбома и 5 книг. Затем учитель предлагает выделить отличия и сходства ситуаций 3 + 5 , карточки выставляются на доске. III . Предлагается рассмотреть еще такой вид ситуаций. В нашем доме 6 этажей, а в другом на 3 этажа больше. Что несущественно? (Где находятся дома, что в них расположено и т.д.). Что существенно? (Последовательное приписывание к элементам одного множества элементов другого множества). (Множества упорядочены). Дети снова выполняют предметные действия. Учитель предлагает выложить в верхний ряд столько кругов, сколько этажей в одном доме, а в нижний на 3 круга больше. Сколько объектов стало во 2 ряду? (Больше). Дети от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию. 6 + 3. Аналогично рассматриваются 3- 4 ситуации Для постройки башни Аня взяла 6 кубиков, а Алёна на 3 больше. Длина одного ужа 1 метр, а другого на 2 больше. Высота березы 6 метров, а сосны на 3 метра больше. Учитель предлагает сравнить ситуации и выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. На доске появляется карточка 6 + 3 . (Больше на – это столько, сколько. . . да ещё). IV. Предлагается такой жизненный сюжет. Катя нарисовала 7 флажков, а Саша на 2 флажка больше. Что неважно, несущественно? (На какой бумаге рисуют дети, какого они размера и т.д.). А что важно? (Продвижение по натуральному ряду на столько шагов вправо от первого числа, каково второе число). 12 7 и 2 характеризуют место в последовательности, на котором остановились действия по рисованию флажков, причем Саша продвинулся на 2 флажка больше. . Дети выполняют действия с предметами, затем строят графическую модель, а затем математическую модель. На доске появляется карточка 7 + 2 . Аналогично рассматриваются ещё несколько подобных ситуаций. Таня вымыла 7 кружек, а Лена на 2 кружки больше. Миша сорвал 7 орехов, а Антон на 2 ореха больше. Вера сорвала с грядки 7 ягод клубники, а Катя на 2 ягодки больше. Эти ситуации сравниваются детьми. Они выделяют отличие, а затем сходство. Уточняют, что это математическое описание подобных ситуаций. Далее учитель предлагает рассмотреть все записи на карточках, которые появились на доске. Дети учатся видеть отличие и сходство. (Это числовые выражения. Числа соединены одним знаком арифметического действия +, следовательно, это просто числовые выражения). Дети вспоминают, что такие выражения называются суммой чисел. Используются словарные карточки, выделяются компоненты. сумма 1е слагаемое 2е слагаемое Учатся читать выражения по-разному: *к прибавить *к увеличить на *к; ; плюс; 13 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» * сумма чисел и; * первое слагаемое, второе слагаемое Условия данного факта представляют для младших школьников определенную трудность. (Найдите сумму чисел 9 и 1, запишите сумму чисел 9 и 1). В результате такого целенаправленного обобщения учащиеся усваивают смысл понятия «числовое выражение», «простое числовое выражение», «сумма». Затем через комплекс специального подобранных заданий закрепляются представления о сумме: * запишите сумму чисел и; * чему равна сумма чисел и; Здесь 3+2 яблок. и 5+1 конфет. 2+3= ; 14 + * Какие два числа из круга в сумме дают 12? 14 3 = 9; Какие два числа из круга в сумме дают 19? Какие два числа из круга в сумме дают 14? Какие два числа из круга в сумме дают 10? * Машина делает «числовые сардельки»: 5+3 1+7 2+6 . Машина сломалась, числа выходят в неправильном порядке, их надо переставить и разложить «по сарделькам»: 1 4 5 2 3 6 ... 4 7 . * Найти для каждой пары суммы равную пару из овала: * Заполни окошки = 19; 6 * 1 . Здесь Какие два числа из круга в сумме дают 12? Какие два числа из круга в сумме дают 10? Какие два числа из круга в сумме дают 5? . Учитель обращает внимание на двоякий смысл термина «сумма»: сумма – это результат действия сложения; сумма – это само выражение. * сравните суммы чисел * + 6 = 8. 1+6 5 + 3 5+5 4+5 1 + 2 6+7 7+5 7 + 8 6+7 2+2 8+6 Понятие «разность», «произведение», «частное» могут быть закреплены по аналогии с закреплением понятия «сумма». Далее учащиеся знакомятся с числовыми выражениями, содержащими два и более арифметических действия при усвоении вычислительных приёмов: ± 2, ± 3, ± 1. Они решают примеры вида 3 + 1 + 1; 6 – 1 – 1; 2 + 2 + 2 и др., вычисляя, например, значение первого выражения, ученик поясняет: «К трём прибавить один, получится четыре, к четырем прибавить один, получится пять». Тем самым дети постепенно готовятся к выводу правила о порядке действий в выражениях, 15 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» содержащих действия одной ступени (позже действия разных ступеней и со скобками). Процесс обобщения знаний о сложных числовых выражениях и о правилах выполнения действий над ними осуществляется позже (II, III, IV кл.). При этом работу рекомендуется организовать поэтапно. I этап. Детям предлагается «сконструировать» сначала простые числовые выражения и закрепить знания о них, а затем сложные числовые выражения, например: 3 + 4 – 2; 19 – 13 + 12 – 6 + 8. Учащиеся записывают подобные выражения в тетради. Затем детям даются описания ряда жизненных ситуаций: они по конкретному описанию строят математическую модель, записывая её в тетради. Например: * В альбоме было 12 марок. Туда положили 3 марки, затем достали 4 марки, потом еще 2, затем еще 3 марки. Опять положили 5 марок, еще 3 марки, снова достали 6 марок, положили 1 марку и потом еще 4 марки: 12 + 3 – 4 – 2 – 3 + 5 + 3 – 6 + 1 + 4 . * В вазе лежало 8 конфет. Дети съели сначала 2, а потом 3 конфеты. В вазу добавили 5 конфет, затем 2 и 4. Снова съели сначала 1 конфету, а потом 2 конфеты. Опять добавили 1 конфету, а затем съели 8 конфет: 8–2–3+5+2+4–3–1–2+1–8 . Дети сравнивают записи, выделяют отличия, сходство. Делают вывод, что такие числовые выражения являются сложными, что они содержат только действия сложения и вычитания (т.е. действия одной ступени). Надо определить значения выражения. Когда дети учатся описывать ситуации на математическом языке, они видят и понимают, что действия надо выполнять в той последовательности, в которой они происходили. Для более прочного осознания данного факта можно научить детей строить графическую модель выражений. Например, дано выражение 8 – 4 + 1 – 3 = 2 . 16 Построить график или по данному графику восстановить числовое выражение После выполнения подобных заданий младшие школьники формулируют правило: «Если числовое выражение содержит только действия сложения или вычитания, то действия выполняются в том порядке, в котором они записаны слева направо». В данном случае происходит не механическое заучивание правила, а его осознанное восприятие. С целью закрепления порядка действий в подобных случаях предложить задания. * Расставьте порядок действий: + – – + – – – + . * Найдите ошибку: 1 + 3 + 2 – 5 – 4 + . Расставьте порядок действий, впишите числа и определите значение выражения. 17 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» II этап. Далее дети практически овладевают другими правилами порядка выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Школьники по заданию учителя записывают в тетради числовые выражения, описывающее определенную жизненную ситуации, например: В вазу положили 3 яблока и 4 груши, затем два фрукта взяли. 3+4 3–2 – 2 Как показать, что сначала положили фрукты? (Обвести овалом). Дети, рассуждая, какие фрукты могли быть взяты, получают и такие записи: + 4 или 3–1 4–1 + или 3 + 4–2 . Дети вспоминают, что в этом случае математики договорились пользоваться скобками. (3 + 4) – 2 Сначала фрукты положили. (3 – 2) + 4 Сначала взяли 2 яблока. (3 – 1) + (4 – 1) Взяли по 1 яблоку и 1 груше. 3 + (4 – 2) Взяли 2 груши. Дети подходят к осознанию того факта, что действия в скобках выполняются прежде всего. Предлагаются задания. Расставьте порядок действий: + ()+ – – Найдите ошибку: (1 + 2)+ + (+ (3 +). – Составьте граф данного выражения)–(+)– По данному графу восстановить выражение Данные задания способствуют осознанию детьми нового правила и последующей грамотной формулировке ими этого правила. III этап. Далее обобщаются знания учащихся о правиле порядка выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок, и содержат действия умножения и деления. Работу можно организовать так. Детям предложить записать в тетрадь готовые числовые выражения и дать указание «Найдите лишнее выражение»: 18: 2 × 4: 6 × 5 × 2: 10; 44 × 2: 4 × 3; 95: 5 × 2 × 2; 98 – 4 + 5 – 9. Затем предлагается рассмотреть оставшиеся записи. Выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. Эти числовые выражения содержат только действия умножения и деления. После выполнения заданий вида «Расставьте порядок действий, постройте графическое выражение» и др. дети формулируют правило (аналогично 1 правилу). Уточняются задания о действиях умножения и деления – «сильные» действия – это действия I ступени. Сложение и вычитание – «слабые» действия – это действия II ступени. IV этап. Обобщая знания о правилах выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок и содержащих действия разных ступеней, работу можно организовать по-разному, например, так. 18 19 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Можно предложить детям выписать значения выражения 40–10:2. Ответы могут получиться разные: у одних значения выражения окажется равным 15, у других 35. Мнения анализируются, после выполнения нескольких подобных задания дети формулируют новое правило, которое через решение специальным образом подобранных упражнений осознанно усваивается учащимися. * Поставьте вместо звездочек знаки действия так, чтобы равенства были верными: 38 * 3 * 7 38 * 2 * 5 = 24 38 * 3 * 7 = 42 38 * 3 * 7 = 48 12 * 6 * 2 = 4 12 * 6 * 2 = 70 12 * 6 * 2 = 24 12 * 6 * 2 = 9 12 * 6 * 2 = 0 * Из заданных пар выражений выпишите только те, в которых вычисления выполнены по правилам порядка действий: 60 – 20: 4 = 10 4 × 3 + 20: 5 = 16 60 – 20: 4 = 55 4 × 3 + 20: 5 = 28. Порядок выполнения действий в числовых выражениях +, – *, : Действия 2 ступени Действия 1 ступени +, – Сначала действия 1 ступени потом действия 2 ступени *, : (), + , – , *, : Сначала действия в () затем действия 1 ступени потом действия 2 ступени V этап. На данном этапе ведется работа по обобщению знаний учащихся о порядке действий в выражениях, содержащих скобки и арифметические действия разных ступеней: сложение, вычитание, умножение, деление. Детям предложить записать в тетрадь следующие числовые выражения: (18 + 2) : 5 + 4 × 8 – 6 × 2 + 35 – 80: 20 99 + 48: 6: 2 – (45 + 15) : 10 + (12 – 6) и найти их значения. После обсуждения мнений о правилах поиска значения выражений под руководством учителя дети формулируют правило выполнения порядка арифметических действий в подобных числовых выражениях. Затем вместе с детьми можно составить схему-опору. 20 важные сильные 21 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Числовые равенства и неравенства - практике обучения в начальных классах числовые выражения В с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальной школе вместо этих терминов можно употреблять слова «верные», «неверные». Процесс обобщения знаний о числовых равенствах и неравенствах можно организовать по-разному, например, так. Дети имеют глубокое представление о числовых выражениях, о порядке выполнения действий, поэтому можно предложить написать разные числовые выражения и, выбирая по 2, соединять их знаками отношений < ; > ; =: 18 – 6 = 34 + 2 9–5>3+7 13 – 7 + 2 < 14 + 8. Сравнивая значения левой и правой частей данных записей, дети убеждаются в том, что числовые равенства и неравенства могут быть верными и неверными (в пассивный словарь детей вводятся термины «истинные», «ложные»). Дети учатся выделять существенные признаки подобных записей. Два числовых выражения, соединенные знаком равенства, образуют числовое равенство, а знаками неравенства – числовые неравенства. – Наличие 2-х числовых выражений. – Наличие в записи знака равенства или неравенства. Далее дети учатся по этим признакам распознавать их среди различных объектов. Затем дети должны осознать тот факт, что не всегда между двумя выражениями можно установить отношение равенства или неравенства. Для этого предложить учащимся найти значение ряда числовых выражений: 7 – 35; 48: 9; 64 – 118; 21: 5. Подвести детей к выводу, что не существует натурального числа, являющегося значением каждого из них. На множестве натуральных чисел выражения не имеют смысла. 4:(8 – 8) 9: 0 44: 0. Такие выражения тоже не имеют смысла на любом числовом множестве. Дети запоминают тот факт, что на нуль делить нельзя. 22 После закрепления данных заданий ученики смогут сделать вывод, что отношение равенства устанавливается между двумя числовыми выражениями, имеющими смысл. Два числовых выражения равны тогда и только тогда, когда их числовые значения совпадают. Программа по математике для начальной школы ставит перед учащимися задачу уметь сравнивать числовые выражения и записывать результат сравнения с помощью знаков. Школьники осуществляют сравнение двух выражений либо с опорой на наглядность, либо без наглядности, на основе использования теоретических знаний с применением элементов дедуктивных рассуждений. Предлагаемые задания помогут учащимся постепенно овладеть приемом сравнения. Это позволит им в дальнейшем самостоятельно применять его для использования изученного в новых условиях. Обучение сравнению числовых выражений с последующим обобщением знаний можно осуществить поэтапно. Для этого нужно уточнить тот факт, что каждое число есть числовое выражение. I этап. Сравнение чисел в натуральной последовательности. Его цель – показать учащимся возможность использования свойств натурального ряда для их сравнения. * Учащимся предлагается последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . . . Для каждого числа назовите предыдущее и последующие числа. Для любого числа можно назвать предыдущее число? Последующее число? Выберите любое число последовательности. Сравните его с предыдущим числом, последующим числом. Сформулируйте правило. Запишите результат сравнения с помощью знаков: 2 * 3 4 * 5 10 * 9 1 * 2. * Дана последовательность «сказочных» чисел: . 23 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» II этап. Сравните числа и выражения: Сравните и, и, и * Даны два соседних числа: A < B K > M M > N. Как называется число В для числа А? Число А для числа В? (Аналогично для других пар). * Может ли быть одновременно 1<2и1>2 > и < . * Закончите предложения так, чтобы они выражали верную мысль: «Если к числу прибавить 1, то оно станет. . .» «Если из числа вычесть 1, то оно станет. . . » а) больше; б) меньше; в) последующим; г) предыдущим; д) следующим. * Сравните числа в каждой тройке: 1, 2, 3 0, 7, 8 8, 9, 10. Запишите результат сравнения по образцу 2, 3, 4 2<3 2<3<4 2<4 3 < 4. * Дана тройка последовательных чисел: , Как называется число Число для числа А, B, C α, β, γ. для числа? ? Сравните числа в каждой тройке. Запишите результат сравнения с помощью знаков. Восстановите предложение: « . . ., то оно станет больше»; « . . . , то оно станет меньше»; « . . . , то оно не изменится». Не находя значения суммы, сравните: 3+0*3 2*2=0 4+4*1 5+1*5 6*6+2 6+3*6 Сравните: 3+5*5 4+1*1 2 + 7 * 7. Сравните, где возможно: +1* 24 3 * 3 + 2. ε + 0 * ε. 25 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» –1* –2* α+2* +2 . III этап. Сравнение числовых выражений (сложных). Сравните, не вычисляя: 3824: 4 * 4268: 4 3624: 2 * 3624: 3 85 – 18 * 85 – 15 24 + 36 * 24 + 6 25 × 147 * 31 × 154. Далее рекомендуется провести математические исследования по «открытию» некоторых свойств числовых равенств и неравенств: a = b(u) a > b(u) a + c = b + c(u) a + c > b + c (u) a × c = b × c (u) a × c > b × c(u) a: c = b: c (u) c ≠ 0 a: c > b: c(u) c ≠ 0. Далее разрабатываются карточки – задания, в которых требуется произвести ряд действий, выдвинуть гипотезу, сделать вывод. Сравните: (321 – 18) × 304 * (452 – 15) × 204. Жители острова Рокфор имели обычай казнить всех чужеземцев. Исключение составляли лишь те, кто справлялся с головоломками Стивенса – мудрейшего жителя этого острова. Разгадайте одну из них: Проверьте правильность решения с помощью вычислений. Таким образом, у младших школьников формируется осознанное представление о числовых равенствах и неравенствах, при этом продолжается работа по развитию логического, абстрактного мышления. 26 27 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Тождественные преобразования числовых выражений Прежде нужно закрепить знания о числовом выражении, о числовом равенстве. Запись выражения, имеющего смысл, другим выражением из того же класса эквивалентности, при которой оба выражения соединяются знаком равенства, называется тождественным преобразованием. Далее отрабатываются 2 правила, позволяющие преобразовывать числовые выражения так, чтобы каждое следующее было тождественно равно каждому из предыдущих: Каждое выражение можно заменить любым другим, тождественно ему равным. Выражение, получающееся из данного применения к нему свойств арифметических действий, является тождественно равным данному. Тождественные преобразования дают возможность получать новые знания. Например, 6 + 3 . Сначала 3 заменяется суммой 2 + 1, затем к 6 прибавляется 2 и к полученному результату прибавляется 1. Это можно записать в виде цепочки тождественных преобразований так: 6 + 3 = 6 + (2 + 1) = (6 + 2) + 1 = 8 + 1 = 9 (Новое знание, прием прибавления по частям). Здесь использованы оба правила. Действительно, сначала число 3 заменили равным ему выражением, затем применили свойство ассоциативности сложения, после чего 6 + 2 и 8 + 1 заменили равным им выражением. Тождественные преобразования числовых выражений требуют определенной изобретательности, основанной на анализе данного выражения, предшествующем самим преобразованием, а также на знании свойств арифметических действий. Кроме того, тождественные преобразования совершенно точно аргументированы и являются примерами правильных дедуктивных рассуждений. Овладение умением производить тождественные преобразования позволяет младшим школьникам применять на деле свойства арифметических действий, а следовательно, способствует их пониманию и запоминанию, развивает умение обосновывать свои 28 действия, приучает ум к дедукции. Овладение таким умением является очень важным с точки зрения подготовки младших школьников к изучению курса алгебры в среднем звене (и в дальнейшем). В методической литературе предлагаются задания для младших школьников, направленные на овладение тождественными преобразованиями. * Из данных записей выберите те, которые являются числовыми выражениями: 2 , + , 28: 4, (18 + 15) – (32 × 4), m + n, (29 – 32) : 5. * Найдите значения тех выражений, которые сможете вычислить: 2 + (5 – 4); (3 – 6) + 2; (8 + 12) – (5 – 5); (28: 1) – (28 × 1); (135 × 29) : (234 – 234). * Сравните выражения и найдите их значения: (8 + 6) : 2 + 22: 1 * (8 + 6: 2 + 22) : 11; (((42 – 2) – 4) : 9) – 3 * ((42 – 2) – 4) : (9 – 3). * С помощью тождественных преобразований найдите значения выражений: 168: 7 + 4 × 25 – 24; 28 000 + 12 000: 6 × 7 – 24: 8; 60 × 3: 2 × 6 – 81: 9; 630: 70 + (20 – 5) – (13 + 2). * Поставьте скобки в данном выражении так, чтобы его значение было равно 0; 40; 100:. 18 + 21: 3 – 5 × 5. * Составьте выражения, равные данному, так, чтобы количество действий увеличилось на одно, на два, на три: 63: 7 21 × 2 24 – 4. 29 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Буквенные выражения В начальных классах предусматривается проведение подготовительной работы по раскрытию смысла переменной в тесной связи с изучением нумерации и арифметических действий. Подготовительная работа проводится по уровням. 1 уровень – ознакомление с буквами латинского алфавита. Нужно объяснить детям, что на уроках математики будут использованы малые буквы латинского алфавита, научить писать, читать буквы, использовать для записи алгебраических выражений. 2 уровень – решение задач с недостающими данными. Предлагаются тексты, например, такие: Миша прочитал. . . книг и. . . сказок. Сколько всего книг прочитал Миша? Подбирая числа вместо точек, дети получают задачи одинакового содержания. Одну задачу подробно разбирают вместе с учителем, с остальными дети работают по аналогии. Задач можно составить много. Числа подбираются по мере изучения. 3 уровень – запись выражений, отражающих определенную ситуацию и выполнение расчетов. Желательно обыграть сюжет посещения детского кафе. Детям раздаются меню кафе. Они выясняют, что в кафе можно купить и по какой цене. Например: чай – 6 рублей, булочка – 12 рублей, сосиска в тесте – 17 рублей, кофе – 10 рублей и т.д. Учитель предлагает кратко записать содержание меню: ч – чай, к – кофе, в – вода (минеральная), б – булочка, г – гамбургер и т.д. Учатся записывать кратко заказ и просчитывать его стоимость. Например: ч + б + 2 г (чай, булочка, 2 гамбургера); 2 ч + 3 к + 5 с + 2 в. 4 уровень – определение значений выражений: 3 a + 8 – b при a = 5, b = 1; 7 y – 3 x: c при y = 2, x = 8, c = 6. На этапе ознакомления с буквенными выражениями дети работают с выражениями, содержащими «окошечки»: 30 ×2 +5 . Что означает «окошечко» (некоторое число); подставляя в него конкретное число, дети находят значение выражения. Затем анализируются записи заказов и выделяется их сходство и отличие. Договоримся (математически договорились) вместо «окошек», букв в заказе использовать малые буквы латинского алфавита a × 2 b + 5: c. Дети должны осознать, что буква – это некоторое число. Они учатся составлять различные записи типа 3 × a + b + c + 127; a x + b + 8 – 5; выделяют в них существенное: 1) запись; 2) состоит из чисел и букв, соединенных знаком арифметических действий. По этим признакам дети учатся распознавать подобные записи среди других. Младшие школьники, таким образом, получают представление о буквенном выражении. Нужно при этом использовать словарную карточку: Буквенное выражение Для овладения младшими школьниками представлений о буквенном выражении можно использовать такие типы заданий: Чтение буквенных выражение: x + y; a + b + c; 3 × a + 2 × b; 7 × x – y. Переход от буквенных выражений к числовым: b + d; b = 15; d = 3; 15 + 3, придавая буквам различные числовые значения, выяснить, сколько числовых выражений можно получить. Нахождение числовых значений буквенных выражений при заданных значениях букв: k – c, при k = 10, c = 2. Подбор детьми числовых значений букв, входящих в выражение и нахождение значения выражения c x m. 31 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Формирование понятия «постоянная»: 15 8 записать сумму 15 + 8 7 8 7+8 6 8 6+8 3 8 3+8 a 8 a + 8. Предложить понаблюдать за выражениями и спросить, что заметили? (2-е слагаемое одинаковое, постоянно). Преобразование таблицы с тремя графами в таблицу с двумя графами и наоборот: b m b–m 20 5 20 8 20 11 20 15 m 20 – m 5 8 11 15 Дети должны понять, что буква может принимать не только разные, но и одинаковые значения. Формирование понятия «область определения выражения» (в неявном виде): d – 25; 13 k; m + 13; 16: a; c: d. Какие значения может принимать переменная (буква)? Использование букв как средства обобщения знаний: – записывать при помощи букв свойства арифметических действий: a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c; – записывать связь между компонентами и результатом действия: a + a + a + a + a = 5 × a 8 b = b + b + b + b + b + b + b + b; – прочитать записанные с помощью букв свойства, отношения, зависимости: a>b (a + b) – c a × b = b × a; – выполнить тождественные преобразования на основе знания свойств арифметических действий (5 + с) × 4; – доказать справедливость высказываний при помощи числовых подстановок: c + 12 > 1 + 10 d × 1 = d. 32 В алгебре символы служат для обозначения предметов. – Встречаются ли в жизни графические символы? (ДА). Детям предлагается рассмотреть ряд символов и ответить, что они означают: $ & – Придумать и нарисовать знаки-символы «не кричать», «учителям вход воспрещен», «твое имя», «парк отдыха», «продукт несъедобен». – Написать символы для каждой из картинок. Сложить символы. Например: a + 2a + 4a = 7a b + 5b + 6b = 10a + 3a + 2a = 9p +20p + 8p = 14p +20p + p = a + 5a + 16a = 15x + 5x + 16x = q + 7q + 10q + q = 2m + 3m + 2m + 10m = 12a + 10a + a = 15d + 10d + d + 4d = 33 4s + 3s + 7s = t + 2t + t + 5t = 26a + a + 2a + 3a = 15z + 12z + z + z = 20x + 17x + 3x = . Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Например: 2a + 3a + 3b + b = 5a + 4b a + 2a + 3b = 2a + 5a + 4b + 2b = 4s + s + 3r + s = 5q + p + 2p + 6q = 3x + 2y + x + 5y = 10a + 2c + a + 3c = h + h + 5h + 2j = 2s + 5s + x + s = 5x + x + t + 8t = 4e + 8c + 5e + c = 12a + d + 9a + d = b + 19k + 8k + 9b = 6p + 2t + 5p + 4t = 10p + 4q + q + 2q = 7t + q + 3q + 3t = 4k + 6y +k + 3y = e + e + t + 9e + t = 10y + x + 21y + y = . Внимание: разные символы не складываются, не вычитаются. Вывод: использование буквенной символики способствует повышению уровня знаний, приобретаемых младшими школьниками, готовит их к изучению систематического курса алгебры. Уравнения в начальном курсе математики Уравнение в начальном курсе математики трактуется как равенство, содержащее букву. Решить уравнение – значит узнать, при каких значениях буквы уравнение обращается в верное равенство. Одной из целей введения уравнений в начальный курс математики является обеспечение преемственности между начальным и средним звеном общеобразовательной школы. Понятие «уравнение» является одним из основных понятий математики. Можно выделить 3 этапа формирования представлений об уравнении в начальной школе. 1 этап – подготовительный. На этом этапе работа осуществляется по двум направлениям: 1) условие связи между компонентами и результатом арифметических действий: 7 + 8 = 15 34 – 11 = 23 15 – 7 = 8 23 + 11 = 34 15 – 8 = 7 34 – 23 = 11 18 × 2 = 36 36: 18 = 2 36: 2 = 18 45: 5 = 9 9 × 5 = 45 45: 9 = 5 . Нужно добиться, чтобы дети усвоили 8 правил. (Если из суммы вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое и т.д.). Осознание учащимися этих правил осуществляется в процессе выполнения практических упражнений, при решении простых задач, при изучении состава числа; 2) подбор специальных упражнений – записей с «окошками», в процессе выполнения которых у младших школьников формируется представление о переменной, верном и неверном числовом равенстве. Такие задания решаются способом подбора. Этот способ формирует осознанный и математически верный подход к решению уравнений, так как ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство получили. 34 35 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» ‪ + 3 = 12. Так, подставляя в «окошко» число 5, ученик убежда- ется, что при этом получится неверное числовое равенство 5 + 3 = 8 , а число 9 – верное числовое равенство. В практике обучения чаще используют только такие задания, в этом случае функции заданий сужаются до закрепления состава чисел, и способ подстановки теряет свой алгебраический смысл. Поэтому лучше задания формулировать так: «Какое равенство получим, если вставить в окошечко число 10», или «Объясни, почему числа 1, 2, 9, 5 нельзя вставить в окошко», или «Какое число нужно вставить в окошко, чтобы получить верное равенство». При подборе чисел ученик должен подумать, с какого числа его целесообразно начать. Идет подготовка к проверке решения уравнения. При нахождении значений числовых выражений учащиеся могут воспользоваться как знанием состава числа, так и вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по частям). Способ подбора формирует не только осознанный подход к решению уравнений, но и предоставляет ученику возможность упражняться в закреплении вычислительных навыков и приемов. 2 этап. На этом этапе идет знакомство с уравнением и способами его решения. Введение понятия «уравнение» фактически сводится к замене «окошка» латинской буквой. (В математике принято неизвестные, входящие в уравнение, обозначать строчными буквами латинского алфавита x, y, z …): ‪ + 5 = 12 ‪ - 8 = 20 x + 5 = 12 y - 8 = 20 . Вводится термин «уравнение». Дети учатся выделять существенные признаки данного понятия и распознавать их среди других математических объектов. = 9 и 6 + z = 9 позволяет Сравнение двух видов записей 6 + детям самостоятельно справиться с поиском решения уравнения способом подбора. Нужно подчеркнуть, что именно такой метод ясно показывает смысл понятий «уравнение», «корень (решение) уравнения». Чтобы дети запомнили эти термины, можно использовать стихотворение: ‪ 36 Уравнение Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно. Поставь в уравнение его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значения зовите тотчас. Пусть требуется решить уравнение х + 12 507 = 206 734. Решить уравнение – это значит найти такое число, прибавляя к которому 12 507, получили 206 734. Можно заметить, что искомое число приблизительно равно 200 000. Но 200 000 + 12 507 = 212 507, что больше 206 734 примерно на 6000. Поэтому проверим число 194 000, получим 194 000 + 12 507 = 206 507, что меньше, чем 206 734. Увеличим число 194 000 на 200, получим 194 200 + 12 507 = 206 707, что меньше числа 206 734 на 27. Поэтому в качестве решения уравнения можно взять число 194227. Проверим 194 227 + 12 507 = 206 734. Таким образом, корнем данного уравнения является число 194 227. Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащихся умение «оценивать», «анализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений с помощью «правил», например: х + 217 = 576 х = 576 – 217 х = 359 ответ: х = 359. 359 + 217 = 576 576 = 576 (u) При решении уравнений детям полезно использовать памятку «Как решить уравнение»: 1. Прочитай уравнений по-разному. 2. Назови, что известно, что неизвестно. 3. Вспомни, как найти это неизвестное. 4. Найди это число, используя нужное правило. 5. Сделай проверку. 6. Запиши ответ. 37 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» 3 этап. На этом этапе закрепляются представления об уравнении. Несмотря на то, что умение решать уравнения само по себе важно, значение уравнений выявляется только тогда, когда они применяются для решения задач практического содержания, т.е. выступают как метод моделирования конкретных фрагментов действительности. Составить уравнение: У шофера две одинаковые канистры с бензином. Обе неполные. В одной не хватает 8 литров, в другой – 4 литра. Чтобы освободить одну из канистр, шофер перелил весь бензин в одну канистру, но она осталась неполной. В ней не хватило 2 литра. Какова вместимость каждой канистры. х–8+х–4+2=х х–4=8–2 х = 10 л. Каждая канистра имеет объём 10 литров. Неизвестное число увеличили на 120, получили 270. Чему равно неизвестное число? Задуманное число уменьшили на 30, получили 180. Какое число задумали? Дети учатся по данному тексту составлять уравнения, а затем его решают. Полезно предлагать детям решать «задачи с весами». Чаши весов сбалансированы (весы находятся в равновесии). х + х = 10 2х = 10 х = 5 х = 3. 38 х + х + х + х =12 х × 4 = 12 х = 12: 4 Груз лежит на одной чаше весов, а гири на другой чаше: х + х + х = х + х = 10 3х = 2х + 10 3х – 2х = 2х – 2х + 10 х = 10. 25 + 4х = 5х 4х = 2х + 20. Груз лежит на обеих чашах весов. Можно предложить еще ряд заданий, направленных на овладение понятиями «уравнение», «решение уравнения» и методами решения простейших уравнений. Задание 1. 1.1. Сравнить выражения: 12 + 0 12 + 2 12 + 5 12 + 8 12 + 20 12 + 28 12 + 100. Найти значение каждого из этих выражений. Можно ли записывать эти выражения как 12 + х. Придумать еще выражения, которые так же можно записать. Какими числами заменили х в выражении 12 + х, если получились равенства: 12 + х = 12 + 5 12 + х = 12 + 34 12 + х = 12 + 370. 1.2. Верны ли равенства: 72: 3 = 6 × 4 72: 3 + 5 = 6 × 4 + 5 72: 3 + х = 6 × 4 + х 72: 3 + 20 = 6 × 4 + 20 72: 3 + 16 = 6 × 4 + 16 72: 3 × 2 = 6 × 4 × 2 39 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» 72: 3 × 5 = 6 × 4 × 5 72: 3 × х = 6 × 4 × х 72: 3 × 10 = 6 × 4 × 10 72: 3 – 4 = 6 × 4 – 4 72: 3 – 20 = 6 × 4 – 20 72: 3 – х = 6 × 4 – х 72: 3 – 12 = 6 × 4 – 12 72: 3: 3 = 6 × 4: 3 72: 3: 12 = 6 × 4: 12 72: 3: х = 6 × 4: х 72: 3: 6 = 6 × 4: 6. Какие числа нельзя поставить вместо х в двух последних равенствах из правого столбика? 1.3. Найти 5 чисел, которые можно поставить вместо х в выражение 8 – х, и найти его соответствующее значение. Найти 5 чисел, которые нельзя поставить в это выражение вместо х. Найти значения выражения 28 – х при х = 0, х = 15, х = 16, х = 18. При каком значении х выражение 28 – х = 12? х + 17 = 24? х + 17? При х = 2, х = 6, х = 3, х = 5, х = 10. 3.1. Найти значения выражений: 25 + 3 – 25 12 + (15 - 12) 102 + 24 – 102 7 + (8 – 7) 78 + 15 – 78 4 + (36 – 4) 16 + 18 – 18 78 + (150 – 78) a+b–a a + (b – a). 3.2. Найти значения выражения: 2 × 3: 2 15 × (45: 15) 17 × 5: 17 12 × (36: 12) 36 × 3: 36 3 × (21: 3) 172 × 4: 172 4 × 28: 4 a×b:a a × (b: a). 3.3. Найти, какому выражению равны данные выражения: 13 + х – 13 54 + (х – 54) 18 × х: 18 12 × (х: 12) 72 + х – 72 7 + (х – 7). 3.4. Найти значения х, при котором справедливы следующие равенства: х + 2 – 2 = 5 – 2 х × 5: 5 = 30: 5 34 + х – х х + 7 – 7 = 12 – 7 108: х × х 28 + х – х. 3.5. К обеим частям данного равенства прибавить число, чтобы получилось х: х – 5 = 7 х – 12 = 3 х – 21 = 5 х – 4 = 16. 3.6. Из обеих частей данных равенств вычесть такое число, чтобы получилось х: х + 5 = 9 х + 17 = 20 х + 43 = 65 х + 14 = 81. 3.7. Обе части равенства раздели на такое число, чтобы получилось выражение равное х: х × 5 = 30 х × 8 = 48 х × 15 = 60. 3.8. Записать еще два верных равенства, если данные равенства справедливы: 12 + 24 = 36 78 + 102 = 180 74 + 330 = 404 a+b=c 17 + х = 20 х + 5 = 12 х + 8 = 28 27 + x = 34. 3.9. Найти, при каком значении переменной х равенства справедливы, т.е. решить уравнения, записанные этими равенствами. Каждое уравнение решить тремя способами: а) подобрать подходящее число; б) записать равенство, которое выполняется одновременно с данным; в) прибавить (вычесть, умножить, разделить) к обеим частям равенства одно и то же число: х + 17 = 20 х – 6 = 13 х × 3 = 42 х: 6 = 54. 3.10. Решить уравнение таким способом, который нравится или является более простым: 29 + х = 32 6 + х = 4 12 × х = 36 72: х = 12. 40 41 Задание 2. 2.1. Найти значение данных выражений при указанных значения х. Заполнить таблицу: х 12 + х 15 – х 3×х 120: х 0 2 4 5 2.2. Заполнить таблицу. Найти такое число, заменяющее х, при котором оба выражения равны: х 22 – х 4+х 5 6 8 10 2.3. Ничего не вычисляя, найти равные выражения и записать равенства: 54: 6 + 12 = 3 × 3 + 12 (102 – 90) : 2 = 12: 2 (12 + 15) × 3 = (36 - 9) × 3. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Обучение младших школьников решению задач алгебраическим методом Текстовые вычислительные задачи – одна из наиболее важных составляющих школьного курса математики. Решение этих задач играет большую роль в общем развитии школьников, в интересе к математике, оно знакомит учащихся с процедурой математического моделирования. Решение текстовой задачи состоит из трех частей: – перевод условия на математический язык (конструирование математической модели задачи); – оперирование полученной моделью с использованием математического аппарата и получение результата на языке математики; – перевод полученного результата на естественный язык и его интерпретация. Эти три шага составляют процедуру математического моделирования. Вооружать умением математического моделирования нужно уже в начальной школе. Поэтому младших школьников нужно познакомить с решением задач на составление уравнений – алгебраическим методом. Он состоит из следующих шагов: 1) введение неизвестного; 2) выражение через это неизвестное величин, о которых говорится в задаче; 3) составление уравнения; 4) осмысление результата и формулирование ответа. Конечной целью перевода при алгебраическом решении – математической моделью задачи – является уравнение. Пример. Задача 1. На дереве сидят жуки и пауки. Всего их 20, а ног 150. Сколько на ветке жуков? (У жука 6 ног, у паука 8). Уравнение: х × 6 + (20 – х). Задача 2. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше другой, а периметр равен 30 см. Чему равны стороны прямоугольника? Схема уравнения: (первая сторона + вторая сторона) × 2 = 30 см. х см – первая сторона; х + 3 см вторая сторона; (х + (х + 3)) × 2 = 30. Задача 3. В одном ящике было гвоздей в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого ящика взяли 30 гвоздей, а во второй ящик положили 70 гвоздей, то в обоих ящиках гвоздей стало поровну. Сколько гвоздей было в каждом ящике первоначально? Схема уравнения: (стало гвоздей в 1 ящике) = (стало гвоздей во 2-ом ящике). х – число гвоздей во 2 ящике первоначально. х × 2 число гвоздей в первом ящике. Уравнение: х × 2 – 30 = х + 7 Задача 4. В трех классах всего 83 учащихся. В первом классе на 4 ученика больше, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. Сколько учеников в каждом классе? Схема уравнения: (первый класс) + (второй класс) + (третий класс) = 83 ученика. х учеников во 2 классе. Уравнение: (х + 4) + х + (х + 4 + 3) = 83. Схема уравнения: Ноги жуков + ноги пауков = 150 ног. х – число жуков; (20 - х) – число пауков. 42 43 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Неравенство с переменной Обучение младших школьников элементам алгебры Младшие школьники встречаются с неравенствами с одной переменной уже в 1 классе, где такие неравенства задаются при помощи «окошка», например, Основное содержание ‪ ‪ ‪ + 5 < 8 7+3< 8+1> . Дети должны поставить в «окошко» такие числа, чтобы запись была верной. Далее, после введения букв, неравенства предлагаются в таком виде: х + 5 < 8 7 + 3 < z. В начальной школе неравенства решаются только методом подбора. Задания предлагаются в такой формулировке: – Какие из чисел 15, 180, 251, 6 удовлетворяют неравенству z > 83, а какие ему не удовлетворяют? Почему? – Какие из чисел 64, 71, 60, 75, 8, 0 являются решениями 65– х >5? Докажи. – Будет ли число 7 решением неравенства: 17 + х > 40 48: t > 1 a + a < 30 3 + y < 95 56 – n < 39 0: b > 5? – Имеются ли среди чисел 7, 9, 15, 30, 82 решения неравенства: 8 x b – 8 > 90 d: 3 + 9 < 12? – Найти два решения неравенства: r + 5 < 815 53 × m < 100 m – 4 > 960 180: y > 20. – Найти все решения неравенства: 7 × c < 9 x × 7 < 21 b+b<4 16: d > 3 y × 5 < 1 3 – t > 2. – Записать множество решений неравенства и отметить его на числовом луче. Существует ли в этом множестве наименьший элемент? Работа с неравенствами в начальной школе в основном направлена на формирование понятия «переменная» и с точки зрения обучения решению неравенств носит пропедевтический характер. 44 Алгебраическая линия в начальном курсе математики. Числовые выражения, числовые равенства, неравенства. Выражения с переменной. Уравнения, неравенства с переменной функцией. Изучение в начальных классах математических выражений (числовых и с переменными). Изучение числовых равенств и неравенств. Обучение решению уравнений. Функциональная пропедевтика в начальных классах. Требования к знаниям и умениям студентов по теме. Студент должен: – свободно владеть алгебраическим содержанием на уровне средней школы; – знать вопросы алгебраического характера, включенные в начальный курс математики, уровень обобщения при их раскрытии, последовательность обучения; – арифметические вопросы, усвоению которых способствует знакомство с алгебраическим материалом; – наглядные пособия, используемые при изучении алгебраического материала; – виды упражнений алгебраического характера; – дидактические игры, которые можно использовать при изучении алгебраического материала; – различные виды, формы и методы проверки усвоения алгебраического материала. Уметь: – реализовать в практике обучения взаимосвязь арифметического материала и элементов алгебры; – направленно применять соответствующие наглядные пособия; – использовать в обучении упражнения алгебраического характера; – целенаправленно использовать дидактические игры, способствующие усвоению алгебраического материала; 45 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» – подбирать проверочные задания, составлять самостоятельные письменные работы с элементами алгебры; – выделять основные знания и умения учащихся по теме; – работать с научной и научно-популярной литературой, связанной с алгебраическим содержанием. Доклады: 1. Методика использования исторического и занимательного материала при изучении элементов алгебры в начальной школе. 2. Жизнь и творчество Ал-Хорезми. 3. Роль Ал-Хорезми в развитии алгебры. 4. Любимцы богов. 5. Формирование функционального мышления у младших школьников при обучении математики. Список литературы 1. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996. – С. 160 – 164. 2. Глейзер, Г. И. История математики в школе: IV – VI классы: пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1981. 3. Сираждинов, С. Х. Ал – Хорезми выдающийся математик и астроном средневековья [Текст] / С. Х. Сираждинов, Г. П. Матвиевская. – М.: Просвещение, 1983. 46 Список литературы 1. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных классах [Текст] / М. А. Бантова, Г. В. Белотюкова. – М.: Просвещение, 1984. – 201 с. 2. Белашистая, А. В. Обучение математике в начальной школе [Текст] / А. В. Белашистая. – М.: Айрис Пресс, 2006. – 168 с. 3. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996. – 315 с. 4. Вопросы общей методики преподавания математики: методические рекомендации [Текст] / сост. Е. И. Жилина. – Магнитогорск. МГПЦ, 1995. – 56 с. 5. Государственный благотворительный стандарт высшего профессионального образования [Текст]. – М., 2005. – 33 с. 6. Депман, И. Я. За страницами учебника математики [Текст] / И. Я. Депман, Н. Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 1989. –175 с. 7. Депман, И. Я. Рассказы о старой и новой алгебре [Текст] / И. Я. Депман. – Л.: Детская литература, 1967. – 144 с. 8. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах: учебное пособие [Текст] / Н. Б. Истомина. – М.: Академия, 2007. – 208 с. 9. Истомина, Н. Б. Методика преподавания математики в начальных классах: Вопросы частной методики [Текст] / Н. Б. Истомина. – М.: Просвещение, 2006. – 125 с. 10. Колягин, Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст] / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1975. – 203 с. 11. Левитас, Г. Г. Решение текстовых задач с помощью уравнений [Текст] / Г. Г. Левитас // Начальная школа. – 2001. – № 1. – С. 76–79. 12. Меерзон, А. Е. Пособие по математике для студентов факультетов начальных классов [Текст] / А. Е. Меерзон, А. С. Добротворский, А. Л. Чекин. – М.: Просвещение, 1988. – 146 с. 13. Смирнова, В. В. Обучение решению уравнений в начальных классах [Текст] / В. В. Смирнова // Начальная школа плюс. – 2003. – № 11 – С. 56–59. 14. Стойлова, Л. П. Математика [Текст] / Л. П. Стойлова. – М.: Просвещение, 2008. – 327 с. 15. Шадрина, И. В. Обучение математике в начальных класса: пособие для учителей, родителей, студентов педвузов [Текст] / И. В. Шадрина. – М.: Школьная пресса, 2003. – 143 с. 47 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Учебное издание Валентина Ивановна Кузьминова Элементы алгебры в курсе математики для учащихся начальных классов Учебно-методическое пособие Зав. РИО Редактор Корректор Верстка Дизайн обложки Л. В. Малышева Л. Г. Абизяева Л. В. Кравченко Е. В. Ворониной Е. В. Ворониной Сдано в набор 11.03.2011. Подписано в печать 6.07.2011. Бумага для копировальной техники. Формат 60х84/16. Гарнитура «Times New Roman». Печать цифровая. Усл. печ. листов 2,79. Тираж 100 экз. Заказ № 270. Отпечатано в редакционно-издательском отделе ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт» 618547, Россия, Пермский край, г. Соликамск, ул. Северная, 44.

В «Обязательном минимуме содержания начального образования» по образовательной области «Математика» изучение алгебраического материала, как это было ранее, не выделено в качестве отдельной дидактической единицы подлежащей обязательному изучению. В данной части документа кратко отмечено, что необходимо «дать знания о числовых и буквенных выражениях, их значениях и различиях между этими выражениями». В «Требованиях к качеству подготовки выпускников» можно лишь найти короткую фразу неопределенного смысла «научить вычислять неизвестный компонент арифметического действия». Вопрос о том, как научить «вычислять неизвестный компонент» должен решать автор программы или технологии обучения.

Рассмотрим, как характеризуются понятия «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и какова методика их изучения в различных методическихсистемах обучения

7.1. Выражения и их виды …
в курсе математики

начальной школы

Выражением называют математическую запись, состоящую из чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных знаками арифметических действий. Отдельно взятое число есть также выражение. Выражение, в котором все числа обозначены цифрами, называют числовым выражением .

Если в числовом выражении выполнить указанные действия, то получим число, которое называют значением выражения.

Выражения можно классифицировать по числу арифметических действий, которые используются при записи выражений, и по способу обозначения чисел. По первому основанию выражения разбиваются на группы: элементарных (не содержащих знака арифметического действия), простых (один знак арифметического действия) и составных (более одного знака арифметических действий) выражений. По второму основанию различают числовые (числа записаны цифрами) и буквенные (хотя бы одно число или все числа обозначены буквами) выражения.

Математическую запись, которую в математике принято называть выражением, необходимо отличать от других видов записей.

Примером или вычислительным упражнением называют запись выражения вместе с требованием к его вычислению.

5+3 выражение, 8- его значение

5+3= вычислительное упражнение (пример),

8- результат вычислительного упражнения (примера)

В зависимости от знака арифметического действия, который используется в записи простого выражения, простые выражения разбивают на группы выражений со знаком «+,», «-», « », «:». Эти выражения имеют особые названия (2 + 3 — сумма; 7 — 4 – разность; 7 × 2 – произведение; 6: 3 — частное) и общепринятые способы чтения, с которыми знакомятся учащиеся начальной школы.

Способы чтения выражений со знаком «+»:

25+17 – 25 плюс 17

25+17 – к 25-ти прибавить 17

25+17 – 25 да 17

25+17 – 25 и еще 17.

25+17 – сумма чисел двадцать пять и семнадцать (сумма 25-ти и 17-ти)

25+17 – 25 увеличить на 17

25+17 – 1-ое слагаемое 25, 2-ое слагаемое 17

С записью простых выражений дети знакомятся по мере того, как вводится соответствующее математическое действие. Например, знакомство с действием сложения сопровождается записью выражения на сложение 2 + 1, здесь же даются образцы первых форм чтения этих выражений: «к двум прибавить один», «два и один», «два да один», «два плюс один». Другие формулировки вводятся по мере знакомства детей с соответствующими понятиями. Изучая название компонентов действий и их результатов, дети учатся читать выражение, используя эти названия (первое слагаемое 25, второе 17 или сумма 25-ти и 17-ти). Знакомство с понятиями «увеличить на…», «уменьшить на…» позволяет ввести новую формулировку для чтения выражений на сложение и вычитание с этими терминами «двадцать пять увеличить на семнадцать», «двадцать пять уменьшить на семнадцать». Так же поступают с остальными видами простых выражений.

С понятиями «выражение», «значение выражения» в ряде образовательных систем («Школа России» и «Гармония») дети знакомятся несколько позже, чем научатся их записывать, вычислять и читать не всеми, но многими формулировками. В других программах и системах обучения (система Л.В. Занкова, «Школа 2000…», «Школа 2100») эти математические записи сразу называют выражениями и используют это слово в вычислительных заданиях.

Обучая детей читать выражения различными формулировками, мы вводим их в мир математических терминов, даем возможность познать математический язык, отрабатываем смысл математических отношений, что, несомненно, повышает математическую культуру ученика, способствует осознанному усвоению многих математических понятий.

Ø Прием «делай как я». Правильная речь учителя, за которым дети повторяют формулировки, — основа грамотной математической речи школьников. Значительный эффект дает использование приема сравнения формулировок, которые произносят дети, с заданным образцом. Полезно использовать прием, когда учитель специально допускает речевые ошибки, а дети его исправляют.

Ø Дать несколько выражений и предложить прочитать эти выражения разными способами. Один ученик читает выражение, а другие проверяют. Полезно давать столько выражений, сколько формулировок знают дети к этому времени.

Ø Учитель диктует выражения разными способами, а дети записывают сами выражения, не вычисляя их значения. Такие задания направлены на то, чтобы проверить знание детьми математической терминологии, а именно: умение записывать выражения или вычислительные упражнения, прочтенные разными математическими формулировками.

Если ставится задача, предусматривающая проверку сформированности вычислительного навыка полезно читать выражения или вычислительные упражнения только теми формулировками, которые хорошо усвоены, не заботясь об их разнообразии, а детям предложить записывать только результаты вычислений, сами выражения можно не записывать.

Выражение, состоящее из нескольких простых, называют составным.

Следовательно, существенным признаком составного выражения является его составленность из простых выражений. Знакомство с составным выражением можно осуществить по следующему плану:

1. Дать простое выражение и вычислить его значение

(7 + 2 = 9), назвать его первым или данным.

2. Составить второе выражение так, чтобы значение первого стало компонентом второго (9 — 3), назвать это выражение продолжением для первого. Вычислить значение второго выражения(9 – 3 = 6).

3. Проиллюстрировать процесс слияния первого и второго выражений, опираясь на пособие.

Пособие представляет собой прямоугольный лист бумаги, который разделен на 5 частей и сложен в виде гармошки. На каждой части пособия имеются определенные записи:

7 + 2

=

— 3

= 6

Скрывая вторую и третью части данного пособия (из первого выражения скрываем требование к его вычислению и его значение, а во втором скрываем ответ на вопрос первого), получаем составное выражение и его значение (7 + 2 -3 = 6). Даем ему название – составное (составлено из других).

Иллюстрируем процесс слияния других пар выражений или вычислительных упражнений, подчеркивая:

ü объединить в составное можно лишь такую пару выражений, когда значение одного из них является компонентом другого;

ü значение выражения продолжения совпадает со значением составного выражения.

Закрепляя понятие составного выражения полезно выполнять задания двух видов.

1 вид. Дана совокупность простых выражений, необходимо выделить из них пары, для которых верно отношение «значение одного из них является компонентом другого». Составить из каждой пары простых выражений одно составное выражение.

2 вид. Дано составное выражение. Необходимо записать простые выражения, из которых оно составлено.

Описанный прием полезно использовать по нескольким причинам:

§ по аналогии можно ввести понятие составной задачи;

§ ярче выделяется существенный признак составного выражения;

§ предупреждаются ошибки при вычислении значений составных выражений;

§ данный прием позволяет проиллюстрировать роль скобок в составных выражениях.

Составные выражения, содержащие знаки «+», «-» и скобки, изучаются с первого класса. В некоторых системах обучения («Школа России», «Гармония», «Школа 2000») не предусматривается изучение скобок в первом классе. Их вводят во втором классе при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство суммы). Скобки вводятся как знаки, с помощью которых в математике можно показать порядок выполнения действий в выражениях содержащих более одного действия. В дальнейшем дети знакомятся с составными выражениями, содержащими действия первой и второй ступеней со скобками и без них. Изучение составных выражений сопровождается изучением правил порядка действий в этих выражениях и способов чтения составных выражений.

Значительное внимание во всех программах уделяется преобразованию выражений, которые осуществляются на основании сочетательного свойства суммы и произведения, правил вычитания числа из суммы и суммы из числа, умножения суммы на число и деления суммы на число. На наш взгляд, в отдельных программах, недостаточно упражнений направленных на формирование умения читать составные выражения, что, естественно, позже сказывается на умении решать уравнения вторым способом (см. ниже). В последних изданиях учебно-методических комплексов по математике для начальных классов по всем программам большое внимание уделяется заданиям на составление программ и алгоритмов вычислений для составных выражений в три — девять действий.

Выражения , в которых одно число или все числа обозначены буквами, называютбуквенными (а + 6; (а +в )×с – буквенные выражения). Пропедевтикой к введению буквенных выражений являются выражения, где одно из чисел заменяется точками или пустым квадратом. Называют эту запись выражением «с окошком» (+4 – выражение с окошком).

Типичными заданиями, содержащими буквенные выражения, являются задания на нахождение значений выражений при условии, что буква принимает различные значения из заданного перечня значений. (Вычисли значения выражений а + в и а — в , если а = 42, в = 90 или а = 100, в = 230). Для вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно подставляют в выражения и далее работают как с числовыми выражениями.

Буквенные выражения могут использоваться для введения обобщенных записей свойств арифметических действий, формируют представления о возможности переменных значений компонентов действий и позволяют подвести детей к центральному математическому понятию «переменная величина». Кроме того, с помощью буквенных выражений дети осознают свойства существования значений суммы, разности, произведения, частного на множестве целых неотрицательных чисел. Так, в выражении а + в при любых значениях переменных а и в можно вычислить значение суммы, а значение выражения а — в , на указанном множестве можно вычислить только в том случае, если в меньше или равно а . Анализируя задания, направленные на установление возможных ограничений для значений а и в в выражениях а в и а : в , дети устанавливают свойства существования значения произведения и значения частного в адаптированном к возрасту виде.

Буквенная символика используется в качестве средства обобщения знаний и представлений детей о количественных характеристиках объектов окружающего мира и о свойствах арифметических действий. Обобщающая роль буквенной символики делает ее очень сильным аппаратом для формирования обобщенных представлений и способов действий с математическим содержанием, что, несомненно, повышает возможности математики в развитии и формировании абстрактных форм мышления.

7.2. Изучение равенств и неравенств в курсе

математики начальных классов

Сравнение чисел и/или выражений приводит к появлению новых математических понятий «равенство» и «неравенство».

Равенством называют запись, содержащую два выражения соединенные знаком «=» — равно (3 = 1 + 2; 8 + 2 =7 + 3 — равенства).

Неравенством называют запись, содержащую два выражения и знак сравнения, указывающий на отношения «больше» или «меньше» между данными выражениями

(3 < 5; 2+4 > 2+3 — неравенства).

Равенства и неравенства бывают верными и неверными . Если значения выражений, стоящих в левой и правой части равенства, совпадают, то равенство считается верным, если нет, то равенство будет неверным. Соответственно: если в записи неравенства знак сравнения правильно указывает на отношения между числами (элементарными выражениями) или значениями выражений, то неравенство верно, в противном случае, неравенство неверно.

Большинство заданий в математике связано с вычислением значений выражений. Если значение выражения найдено, то выражение и его значение можно соединить знаком «равно», что принято записывать в виде равенства: 3+1=4. Если значение выражения вычислили верно, то равенство называют верным, если неверно, то записанное равенство считают неверным.

С равенствами дети знакомятся в первом классе одновременно с понятием «выражение» в теме «Числа первого десятка». Осваивая символическую модель образования последующего и предыдущего числа, дети записывают равенства 2 + 1 = 3 и 4 – 1 = 3. В дальнейшем равенства активно используются при изучении состава однозначных чисел и далее с этим понятием связано изучение практически каждой темы в курсе математики начальной школы.

Вопрос о введении понятий «верное» и «неверное» равенства в различных программах решается неоднозначно. В системе «Школа 2000…» это понятие вводят одновременно с записью равенства, в системе «Школа России» — при изучении темы «Состав однозначных чисел» в записях равенств «с окошком» (+3 = 5; 3 + = 5). Подбирая число, которое можно вставить в окошко, дети убеждаются в том, что в одних случаях получаются верные, а в других неверные равенства. Следует заметить, что данные математические записи с одной стороны позволяют закрепить состав чисел или другой вычислительный материал по теме урока, с другой, формируют представление о переменной величине и являются подготовкой к усвоению понятия «уравнение».

Во всех программах наиболее часто используются два вида заданий, связанных с понятиями равенства и неравенства, верные и неверные равенства и неравенства:

· Даны числа или выражения, нужно между ними поставить знак так, чтобы запись была верной. Например, «Поставь знаки: «<», «>», «=» 7-5 … 7-3; 6+4 … 6+3».

· Даны записи со знаком сравнения, надо подставить вместо окошка такие числа, чтобы получилось верное равенство или неравенство. Например, «Подбери числа так, чтобы записи были верными: > ; или +2 < +3».

Если сравниваются два числа, то выбор знака дети обосновывают, опираясь на принцип построения ряда натуральных чисел, значность числа или его состав. Сравнивая два числовых выражения или выражение с числом, дети вычисляют значения выражений, а затем сравнивают их значения, т. е. сводят сравнение выражений к сравнению чисел. В образовательной системе «Школа России» этот способ дается в виде правила: «Сравнить два выражения – значит, сравнить их значения». Этот же набор действий дети выполняют для проверки правильности выполненного сравнения. «Проверь, верны ли неравенства:

42 + 6 > 47; 47 — 5 > 47 — 4».

Наибольший развивающий эффект имеют задания, требующие поставить знак сравнения (или проверить верно ли поставлен знак сравнения) не вычисляя значений выражений данных в левой и правой частях неравенства (равенства). В этом случае дети должны поставить знак сравнения, опираясь на выявленные математические закономерности.

Форма предъявления задания и способы оформления его выполнения варьируется как в рамках одной программы, так и в различных программах.

Традиционно при решении неравенств с переменной использовалось два способа: способ подбора и способ сведения к равенству.

Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения переменной (неизвестного числа) осуществляется проверка правильности выбора. Для этого в заданное неравенство вместо неизвестного числа подставляется найденное значение. Вычисляется значение левой и правой части неравенства (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом), а затем, сравнивается значение левой и правой части полученного неравенства. Все эти действия могут выполняться устно или с записью промежуточных вычислений.

Второй способ заключается в том, что в записи неравенства вместо знака «<» или «>» ставят знак равенства и решают равенство известным детям способом. Затем, проводятся рассуждения, при которых используются знания детей об изменении результата действия в зависимости от изменения одного из его компонентов и определяются допустимые значения переменной.

Например, «Определи, какие значения может принимать а в неравенстве 12 — а < 7». Решение и образец рассуждений:

· Найдем значение а , если 12 – а = 7

· Вычисляю, применяя правило нахождения неизвестного вычитаемого: а = 12 — 7, а = 5.

· Уточняю ответ: при а равном 5-ти («корень уравнения равен 5-ти» в системе Занкова и «Школа 2000…») значение выражения 12 — 5 равно 7, а нам нужно найти такие значения этого выражения, которые бы были меньше 7-ми, значит надо из 12 вычитать числа большие пяти. Это могут быть числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.(чем большее число мы вычитаем из одного и того же числа, тем меньше значение разности). Значит, а = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Значения большие 12-ти переменная а принимать не может, так как большее число из меньшего вычитать нельзя (мы не умеем, если не вводятся отрицательные числа).

Пример подобного задания из учебника 3 класса (1-4), авторы: И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская :

№ 224. «Реши неравенства, используя решение соответствующих уравнений:

к — 37 < 29, 75 — с > 48, а + 44 < 91.

Проверь свои решения: подставь в каждое неравенство несколько чисел, больших и меньших корня соответствующего уравнения.

Составь свои неравенства с неизвестными числами, реши их и проверь найденные решения.

Предложи свое продолжение задания».

Надо отметить, что ряд технологий и программ обучения, усиливая логическую составляющую и значительно превышая стандартные требования к содержанию математического образования в начальных классах, вводят понятия:

Ø переменная величина, значение переменной;

Ø понятие «высказывание» (верные и неверные утверждения называют высказыванием (М3П) ), «истинные и ложные высказывания»;

Ø рассматривают системы уравнений (И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская).

7.3. Изучение уравнений в курсе математики

начальных классов

Равенство, содержащее переменную величину, называют уравнением. Решить уравнение — значит, найти такое значение переменной величины (неизвестного числа), при котором уравнение преобразуется в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение преобразуется в верное равенство, называют корнем уравнения.

В некоторых образовательных системах («Школа России» и «Гармония») введение понятия «переменной» не предусматривается. В них уравнение трактуется как равенство, содержащее неизвестное число. И далее, решить уравнение, значит, найти такое число, при подстановке которого вместо неизвестного получается верное равенство. Это число называют значением неизвестного или решением уравнения. Таким образом, термин «решение уравнения» используется в двух смыслах: как число (корень), при подстановке которого вместо неизвестного числа уравнение обращается в верное равенство, и как сам процесс решения уравнения.

В большинстве программ и систем обучения в начальной школе рассматривают два способа решения уравнений.

Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения осуществляется проверка правильности решения. Сущность проверки вытекает из определения уравнения и сводится к выполнению четырех взаимосвязанных действий:

1. В заданное уравнение вместо неизвестного числа подставляется найденное значение.

2. Вычисляется значение левой и правой части уравнения (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом).

3. Сравнивается значение левой и правой части полученного равенства.

4. Делается вывод о верности или неверности полученного равенства и далее, является ли найденное число решением (корнем) уравнения.

На первых порах выполняется только первое действие, а остальные проговариваются. Этот алгоритм проверки сохраняется для каждого способа решения уравнения.

Ряд систем обучения («Школа 2000», система обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова) для решения простых уравнений используют зависимость между частью и целым.

8 + х =10; 8 и х — части; 10 – целое. Чтобы найти часть можно из целого вычесть известную часть: х = 10 — 8; х = 2.

В этих системах обучения, еще на этапе решения уравнений способом подбора в речевую практику вводится понятие «корень уравнения» и сам способ решения называют решением уравнения с помощью «подбора корней».

Второй способ решения уравнения опирается на зависимость между результатом и компонентами действия. Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из компонентов. Например, зависимость между значением суммы и одним из слагаемых звучит так: «если из значения суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое». Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из слагаемых: «чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое». Решая уравнение, дети рассуждают так:

Задание: Реши уравнение 8 + х = 11.

В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Мы знаем, чтобы найти второе слагаемое нужно из значения суммы вычесть первое слагаемое. Значит, надо из 11 вычесть 8. Записываю: х = 11 – 8. Вычисляю, 11 минус 8 равно 3, пишу х = 3.

Полная запись решения с проверкой будет иметь следующий вид:

8 + х = 11

х = 11 — 8

х = 3

Названным выше способом решаются уравнения с двумя и более действиями со скобками и без них. В этом случае нужно определить порядок действий в составном выражении и, называя компоненты в составном выражении по последнему действию, следует выделить неизвестное, которое в свою очередь может быть выражением на сложение, вычитание, умножение или деление (выражено суммой, разностью, произведением или частным). Затем применяют правило для нахождения неизвестного компонента, выраженного суммой, разностью, произведением или частным, учитывая названия компонентов по последнему действию в составном выражении. Выполнив вычисления в соответствии с этим правилом, получают простое уравнение (или снова составное, если первоначально в выражении было три или более знаков действий). Его решение проводится по уже описанному выше алгоритму. Рассмотрим следующее задание.

Реши уравнение (х + 2) : 3 = 8.

В данном уравнении неизвестно делимое, выраженное суммой чисел х и 2. (В соответствии с правилами порядка действий в выражении, действие деления выполняют последним).

Чтобы найти неизвестное делимое, можно значение частного умножить на делитель: х + 2 = 8 × 3

Вычисляем значение выражения справа от знака равенства, получаем: х + 2 = 24.

Полная запись имеет вид: (х + 2) : 3 = 8

х + 2 = 8 × 3

х + 2 = 24

х = 24 — 2

Проверка: (22 + 2) : 3 = 8

В образовательной системе «Школа 2000…» в связи с широким использованием алгоритмов и их видов дается алгоритм (блок – схема) решения таких уравнений (см. схему 3).

Второй способ решения уравнений достаточно громоздкий, особенно для составных уравнений, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия применяется многократно. В связи с этим, многие авторы программ (системы «Школа России», «Гармония») совсем не включают в программу начальных классов знакомство с уравнениями сложной структуры либо вводят их в конце четвертого класса.

В данных системах в основном ограничиваются изучением уравнений следующих видов:

х + 2 = 6; 5 + х = 8 — уравнения на нахождение неизвестного слагаемого;

х – 2 = 6; 5 – х = 3 — уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого соответственно;

х × 5 = 20, 5 × х = 35 — уравнения на нахождение неизвестного множителя;

х : 3 = 8, 6: х = 2 — уравнения на нахождение неизвестного делимого и делителя соответственно.

х × 3 = 45 — 21; х × (63 — 58) = 20; (58 — 40) : х = (2 × 3) — уравнения, где одно или два числа, входящих в уравнение, представлено числовым выражением. Способ решения этих уравнений сводится к вычислению значений этих выражений, после чего уравнение принимает вид одного из простых уравнений выше указанных видов.

Ряд программ обучения математике в начальных классах (образовательная система Л.В. Занкова и «Школа 2000…») практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия приходится применять многократно и, нередко, требуют выполнения действий по преобразованию одной из частей уравнения на основе свойств математических действий. Например, в этих программах учащимся в третьем классе для решения предлагаются такие уравнения:

3× х — (20 + х ) = 70 или 2 × х – 8 + 5 × х = 97.

В математике существует и третий способ решения уравнений, который опирается на теоремы о равносильности уравнений и следствия из них. Например, одна из теорем о равносильности уравнений в упрощенной формулировке читается так: «Если к обеим частям уравнения с областью определения х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному».

Из данной теоремы вытекают следствия, которые и используются при решении уравнений.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим новое уравнение равносильное данному.

Следствие 2. Если в уравнении одно из слагаемых (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение равносильное данному.

Таким образом, процесс решения уравнения сводится к замене данного уравнения, равносильным, причем эта замена (преобразование) может осуществляться только с учетом теорем о равносильности уравнений или следствий из них.

Этот способ решения уравнений является универсальным, с ним детей знакомят в системе обучения Л.В. Занкова и в старших классах.

В методике работы над уравнениями накоплено большое число творческих заданий :

· на выбор уравнений по заданному признаку из ряда предложенных;

· на сравнение уравнений и способов их решений;

· на составление уравнений по заданным числам;

· на изменение в уравнении одного из известных чисел так, чтобы значение переменной стало больше (меньше), чем первоначально найденное значение;

· на подбор известного числа в уравнении;

· на составление алгоритмов решения с опорой на блок-схемы решения уравнений или без них;

· составление уравнений по текстам задач.

Следует заметить, что в современных учебниках наблюдается тенденция к введению материала на понятийном уровне. Например, каждому из выше названных понятий дается развернутое определение, отражающее его существенные признаки. Однако не все встречающиеся определения отвечают требованиям принципа научности. Например, понятие «выражение» в одном из учебников математики для начальных классов трактуется так: «Математическая запись из арифметических действий, не содержащая знаков больше, меньше или равно называется выражением» (образовательная система «Школа 2000»). Заметим, что в данном случае определение составлено неверно, так как в нем описано то, чего в записи нет, но неизвестно, что там есть. Это довольно типичная неточность, которую допускают в определении.

Заметим, что определения понятиям даются не сразу, т.е. не при первичном знакомстве, а в отсроченном времени, после того как дети познакомились с соответствующей математической записью и научились ею оперировать. Определения даются чаще всего в неявном виде, описательно.

Для справки : В математике встречаются как явные, так и неявные определения понятий. Среди явных определений наиболее распространены определения через ближайший род и видовое отличие . (Уравнение – это равенство, содержащее переменную величину.). Неявные определения можно разделить на два вида: контекстуальные и остенсивные . В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации.

Например: 3 + х = 9. х — неизвестное число, которое надо найти.

Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому эти определения еще называют определениями путем показа. Например, таким способом определяются в начальных классах понятия равенства и неравенства.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

неравенства равенства

7.4. Порядок выполнения действий в выражениях

Наши наблюдения и анализ ученических работ показывает, что изучение данной содержательной линии сопровождается следующими видами ошибок школьников:

· Не могут правильно применить правило порядка действий;

· Неверно отбирают числа для выполнения действия.

Например, в выражении 62 + 30: (18 — 3) выполняют действия в следующем порядке:

62 + 30 = 92 или так: 18 – 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Опираясь на данные о типичных ошибках, возникающих у школьников можно выделить два основных действия, которые следует формировать в процессе изучения данной содержательной линии:

1) действие по определению порядка выполнения арифметических действий в числовом выражении;

2) действие по отбору чисел для вычисления значений промежуточных математических действий.

В курсе математики начальных классов традиционно правила порядка действий формулируются в следующем виде.

Правило 1 . В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

Правило 2. В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Правило 3 . В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Каждое из данных правил ориентировано на определенный вид выражений:

1) выражения без скобок, содержащие только действия одной ступени;

2) выражения без скобок, содержащие действия первой и второй ступени;

3) выражения со скобками, содержащие действия, как первой, так и второй ступени.

При такой логике введения правил и последовательности их изучения выше названные действия будут состоять из ниже перечисленных операций, овладение которыми и обеспечивает усвоение данного материала:

§ распознать структуру выражения и назвать, к какому типу оно относится;

§ соотнести данное выражение с правилом, которым надо руководствоваться при вычислении его значения;

§ установить порядок действий в соответствии с правилом;

§ правильно отобрать числа для выполнения очередного действия;

§ выполнить вычисления.

Данные правила вводятся в третьем классе как обобщение для определения порядка действий в выражениях различной структуры. Нужно заметить, что до знакомства с этими правилами дети уже встречались с выражениями со скобками. В первом и втором классах при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство сложения, распределительное свойство умножения и деления), умеют вычислять значения выражений, содержащих действия одной ступени, т.е. им знакомо правило № 1. Поскольку вводится три правила, отражающие порядок действий в выражениях трех видов, то необходимо, прежде всего, научить детей выделять различные выражения с точки зрения тех признаков, на которые ориентировано каждое правило.

В образовательной системе «Гармония » основную роль в изучении этой темы играет система целесообразно подобранных упражнений, через выполнение которых дети усваивают общий способ определения порядка действий в выражениях разной структуры. Нужно заметить, что автор программы по математике в данной системе очень логично выстраивает методику введения правил порядка действий, последовательно предлагает детям упражнения для отработки операций, входящих в состав выше названных действий. Чаще всего встречаются задания:

ü на сравнение выражений и последующее выявление в них признаков сходства и различия (признак сходства отражает тип выражения, с точки зрения его ориентации на правило);

ü на классификацию выражений по заданному признаку;

ü на выбор выражений с заданными характеристиками;

ü на конструирование выражений по заданному правилу (условию);

ü на применение правила в различных моделях выражений (символической, схематической, графической);

ü на составление плана или блок-схемы порядка выполнения действий;

ü на постановку скобок в выражении при заданном его значении;

ü на определение порядка действий в выражении при вычисленном его значении.

В системах «Школа 2000…» и «Начальная школа ХХI века» предлагается несколько другой подход к изучению порядка действий в составных выражениях. При этом подходе основное внимание уделяется пониманию учащимися структуры выражения. Важнейшим учебным действием при этом является выделение в составном выражении нескольких частей (разбиение выражения на части). В процессе вычисления значений составных выражений учащиеся пользуются рабочими правилами :

1. Если выражение содержит скобки, то его разбивают на части так, чтобы одна часть с другой были соединены действиями первой ступени (знаками «плюс» и «минус»), не заключенными в скобки, находят значение каждой части, а затем действия первой ступени выполняют по порядку – слева направо.

2. Если в выражении нет действий первой ступени, не заключенных в скобки, но есть действия умножения и деления, не заключенные в скобки, то выражение разбивают на части, ориентируясь на эти знаки.

Эти правила позволяют производить вычисление значений выражений, содержащих большое число арифметических действий.

Рассмотрим пример.

Знаками плюс и минус, не заключенными в скобки, разобьем выражение на части: от начала до первого знака (минус), не заключенного в скобки, затем от этого знака до следующего (плюс) и от знака плюс до конца.

3 · 40 — 20 · (60 — 55) + 81: (36: 4)

Получилось три части:

1 часть — 3 40

2 часть — 20 · (60 — 55)

и 3 часть 81: (36: 4).

Находим значение каждой части:

1) 3 · 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 · 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Ответ: значение выражения 29.

Цель семинаров по данной содержательной линии

· реферировать и рецензировать статьи (пособия) дидактического, педагогического и психологического содержания;

· составлять картотеку к докладу, для изучения конкретной темы;

· выполнять логико-дидактический анализ школьных учебников, учебных комплектов, а также анализ реализации в учебниках определенной математической идеи, линии;

· подбирать задания для обучения понятиям, обоснованию математических утверждений, формированию правила или построению алгоритма.

Задания для самоподготовки

Тема занятия . Характеристика понятий «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и методика их изучения в различных методических

Нас окружают объекты. С первых дней ребенка в школе мы изучаем окружающий мир, в том числе и на уроках математики.

Учебник 1 кл. 1 часть. Что мы видим? Мы изучаем объекты. Что такое понятие об объекте? (это совокупность существенных свойств объекта)

В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.

Понятие – это совокупность суждений, мыслей, в которых что-либо утверждается об отличительных признаках исследуемого объекта. Что подразумеваем под объемом понятия? (совокупность объектов, обозначенных одним и тем же термином)

Так, программа обучения «Школа России» исходит из того, что базовыми понятиями начального курса математики являются понятия «числа» и «величины», параллельно рассматриваются алгебраический и геометрический материал, решаются текстовые задачи.

В начальной школе мы начинаем давать первые определения понятий: отрезок, квадрат, луч и т.д. Что такое определение понятия? (логическая операция, раскрывающая содержание понятия)

По объему математические понятия делятся на единичные и общие. Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным.

Примеры единичных понятий: «наименьшее двузначное число», «цифра 5», «квадрат, длина стороны которого 10 см», «круг радиусом 5 см».

Общие понятие отображает признаки определенного множества предметов. Объем таких понятий всегда будет больше объема одного элемента.

Примеры общих понятий: «множество двузначных чисел», «треугольники», «уравнения», «неравенства», «числа кратные 5», «учебники математики для начальной школы».

В обучении младших школьников наиболее часто встречаются контекстуальные и остенсивные определенияпонятий .

Любой отрывок из текста, будь какой контекст, в котором случается понятие, которое нас интересует есть, в некотором понимании, неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самим раскрывает ее содержание.

Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а - 3) × 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.

Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.

Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой - маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т.д.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Остенсивные определения - это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.

Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите - это квадрат». Это типичное остенсивное определение.

В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т.д.) цвет», «левый - правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.

На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами.

Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение».

Какую структуру имеет понятие? (определяемое понятие = родовое + видовое) Приведите пример. В следствии этой формулы и построено изучение математического материала в начальной школе. Например, рассмотрим понятия «квадрат» и «прямоугольник». Объем понятия «квадрат» есть частью объема понятия «прямоугольник». Поэтому первое называют видовым, а второе - родовым. В родо-видовых отношениях следует различать понятие ближайшего рода и следующие родовые ступени.

Например, для вида «квадрат» ближайшим родом будет род «прямоугольник», для прямоугольника ближайшим родом будет род «параллелограмм», для «параллелограмма» - «четырехугольник», для «четырехугольника» - «многоугольник», а для «многоугольника»- «плоская фигура».

В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования (например, при счете их). Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа.

Особое внимание следует уделить понятию число.

Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера), тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления.

Натуральное число рассматривается как общее свойство класса эквивалентных конечных множеств. Первые представления о числе связаны с количественной характеристикой предметов.

(Множество – совокупность некоторых объектов, эквивалентные = равночисленные)

Количественная характеристика множества осознается учащимися в процессе установления взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества и отрезком натурального числового ряда. Такое взаимно однозначное соответствие называется счетом элементов конечного множества. В этом случае количественная характеристика непустых конечных множеств находит выражение в таких отношениях, как «больше», «меньше», «равно», обозначаемых соответствующими символами.

На основе использования предметной наглядности устанавливается, например, что число кругов больше, чем квадратов, а квадратов меньше, чем кругов.

4, следовательно 5 б 4, 4 м 5

Число «нуль» в нач. школе рассматривается как характеристика пустого множества на основе практической деятельности с множеством предметов. Для этой цели используются рисунки типа:

. . .

.

. .

Или на основе результат арифметического действия при рассмотрении примеров вида: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Рассматриваются целые неотрицательные числа в курсе математики начальной школы по концентрам: «Числа от 0 до 10», «Числа от 10 до 100», «Числа от 100 до 1000», «Числа, которые больше 1000».

Основными понятиями в каждом концентре является устная и письменная нумерация.

Устная нумерация – способ называния каждого из чисел, встречающихся в жизненной практике, с помощью слов-числительных: один, девять, сто два и т.д.

Письменная нумерация – способ записи каждого из чисел, встречающихся в жизненной практике, с помощью цифр: 1, 2, 3…9, 0 на основе принципа поместного значения цифр (каждая цифра в зависимости от места, занимаемого им в записи числа, имеет свое определенное значение). Например, в записи числа 999 цифра 9, стоящая на первом месте справа налево, означает в данном числе 9 единиц. Эта же цифра, стоящая на втором месте справа налево, означает, что в числе 9 десятков и т.д.

Арифметические действия +, -, х, : рассматриваются в н.ш. на теоретико-множественной основе.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения конечных попарно непересекающихся множеств.

Вычитание натуральных чисел рассматривается на наглядной основе как удаление части конечного множества, являющего подмножеством данного множества.

Умножение целых неотрицательных чисел рассматривается как число элементов в объединении равночисленных попарно непересекающихся множеств.

Деление с теоретико-множественной точки зрения связано с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. С его помощью решаются две задачи на деление: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) (пр.: 15 яблок лежало на 3 тарелках. Сколько яблок на каждой тарелке?) и отыскивание числа таких подмножеств (деление по содержанию) (пр.: 15 яблок лежало на тарелках. На каждой тарелке лежало по 5 яблок. Сколько тарелок стояло на столе?).

Формирование у учащихся представлений о числе и десятичной системе счисления тесно связано с изучением величин.

Величина – это некоторое свойство множества предметов или явлений.

Величина – это такое свойство предметов или явлений, которое позволяет сравнить и установить пары объектов, обладающих этим свойством в равной или неравной мере.

В н.ш. рассматриваются такие величины, как длина, площадь, время, объем, масса.

Длина – величина, характеризующая протяженность, удаленность и перемещение тел или их частей вдоль заданной линии. Длина отрезка или прямой – это расстояние между его концами, измеренное каким-либо отрезком, принятым за единицу измерения длины.

Площадь – величина, характеризующая геометрические фигуры на плоскости и определяемая числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т.е. квадратов со стороной, равной единицы длины. Измерить площадь фигуры – значит установить, столько квадратных единиц длины (кв. см, кв.дм, кв.м и т.д.) она содержит.

Объем, вместимость – это величина, характеризующая геометрические тела и определяемая в простейших случаях числом умещающихся в тело единичных кубов, т.е. кубов с ребром, равным единице длины. Тела могут иметь одинаковые (т.е. тела равновеликие) и разные объемы.

Масса – это физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. Сравнение масс тел , действий над ними сводится к сравнению и действиям над числовыми значениями масс при одной и той же единице измерения массы.

Время – величина, характеризующая последовательную смену явлений и состояний материи, длительность бытия. Календарь - система счета дней, месяцев, годов. В математике время рассматривают как скалярную величину (величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом), т.к. промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы. Промежутки времени так же, как и другие скалярные величины, можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить на положительное действительное число. Между величинами одного рода имеют место отношения: «больше», «меньше», «равно».

На наглядной основе вводятся понятия о доле величины и дроби. Доля рассматривается как одна из равных частей целого. Дробь определяется как пара натуральных чисел (а, n ), характеризующая множество А одинаковых долей единицы; первое из них а показывает, сколько «n- ых» долейсодержит А и называется числителей дроби, второе n – на сколько одинаковых долей разделена единица и называется знаменателем дроби.

Параллельно с арифметическим материалом и изучением величин рассматривается теоретический материал: коммутативное свойство сложения и умножения (переместительное); сочетательное свойство умножения и сложения (ассоциативное), распределительное свойство деления относительно суммы и разности; распределительное свойство деления относительно суммы и разности; дистрибутивное свойство умножения относительно сложения и вычитания – рассматриваются как правила умножения суммы (разности) на число (a + b) x c = a x c + b x c . Кроме того, рассматривается зависимость между компонентами и результатом арифметического действия. Позднее на основе этой зависимости рассматривается решение уравнений.

В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами.

Более подробно остановимся на поэтапном формировании понятий.

После выполнения пяти-восьми заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правило, и предписание называются или записываются учащимися по памяти. На этом этапе учащиеся могут работать парами, поочередно выступая то в роли исполнителя, то в роли контролера.

В том случае, когда действие легко и верно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание дается в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащийся совершает про себя. Учащийся все еще получает указания типа «Назови про себя первый признак», «Проверь, есть ли он» и т.д. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату и производится по мере необходимости.

Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. В программе обучения на этом этапе предусматривается контроль со стороны обучающего только за конечным продуктом действия; обучаемый получает обратную связь при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным, идеальным, но содержание его известно обучающему, так как он сам его строил и сам преобразовал из действия внешнего, материального.

Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование действия по обобщенности обеспечивается специальным подбором заданий. При этом учитывается как специфическая, так и общелогическая часть ориентировочной основы действия.

Для обобщения специфической части, связанной с применением системы необходимых и достаточных признаков, даются для распознавания все типичные виды объектов, относящихся к данному понятию. Так, при формировании понятия угол важно, чтобы учащиеся поработали с углами, отличающимися по величине (от 0° до 360° и больше), по положению в пространстве и т.п. Кроме того, важно взять и такие объекты, которые имеют лишь некоторые признаки данного понятия, но к нему не относятся.

Для обобщения логической части действия распознавания даются для анализа все основные случаи, предусмотренные логическим правилом подведения под понятие, т.е. задания с положительным, отрицательным и неопределенным ответами. Можно включать также задания с избыточными условиями. Характерно, что в практике обучения, как правило, дается лишь один тип задач: с достаточным составом условий и положительным ответом. В результате учащиеся усваивают действие распознавания в недостаточно обобщенном виде, что, естественно, ограничивает пределы его применения. Задачи с избыточными, неопределенными условиями дают возможность научить учащихся не только обнаруживать те или иные признаки в предметах, но и устанавливать достаточность их для решения стоящей задачи. Последние в жизненной практике часто выступают как самостоятельная проблема.

Преобразование действия по двум другим свойствам достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно, как было указано, лишь на последних этапах. На всех других этапах дается лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме. Задерживать действие на переходных формах нельзя, так как это приведет к автоматизации его в данной форме, что препятствует переводу действия в новую, более позднюю форму.

Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала.

Лекция 7. Понятие периметра многоугольника

1. Методика рассмотрения элементов алгебры.

2. Числовые равенства и неравенства.

3. Подготовка к ознакомлению с переменной. Элементы буквенной символики.

4. Неравенства с переменной.

5. Уравнение

1. Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих на начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями в переменной функций. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезнее усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Задачи : 1.Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения.2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами.3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения и вычислять их значения при данных значениях букв.4. Познакомить учащихся с уравнениями 1-ой степени, содержащее действия первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а также на базе знания взаимосвязи м/у компонентами и результатом арифметический действий.

Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опоры на предметы.

Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с понятиями об арифметических действиях. В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На 1-формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на 2- о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.). Вводятся термины ʼʼматематическое выражениеʼʼ и ʼʼзначение математического выраженияʼʼ (без определœений). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются метаматематическими выражениями. При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы. Изучение правил порядка действий. Цель на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителœем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия в каждом примере. Далее формулируют сами или читают по учебнику вывод. Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определœенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется.

2. Числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равен-ми и неравен-ми. Числовые равенства и неравенства делятся на ʼʼверныеʼʼ и ʼʼневерныеʼʼ. Задачи: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству

1. Упражнение, направленное на уточнение знаний учащихся об арифметических действиях и на их применение. При ознакомлении учащихся с арифметическими действиями сравниваются выражение вида 5+3 и 5-3; 8*2 и 8/2. Сначала выражения сравниваются путем нахождения значений каждого и сравнения полученных чисел. В дальнейшем задание выполняется ни базе того, что сумма двух чисел больше их разности, а произведение - больше их частного; вычисление используется только для проверки результата. Сравнение выражений вида 7+7+7 и 7*3 проводится для закрепления знаний учащихся о связи сложения и умножения.

В процессе сравнения учащиеся знакомятся с порядком выполнения арифметических действий. Сначала рассматриваются выражения, содержание скобки, вида 16 - (1+6).

2. После этого рассматривается порядок действий в выражениях без скобок содержащих действия одной и двух степеней. Эти значения учащиеся усваивают в процессе выполнения примеров. Сначала рассматриваются порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, к примеру: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При этом дети должны усвоить, что если выражений есть только сложение и вычитания или только умножение и делœение, то они выполняются в том порядке в каком записаны. Далее вводятся выражения, содержащие действия обеих ступеней. Учащимся сообщается, что в таких выражениях нужно сначала выполнить по порядку действия умножения и делœения, а затем сложение и вычитание, к примеру: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Чтобы убедить учащихся в крайне важно сти соблюдения порядка действий, полезно выполнить их в одном и тоже выражении в другой последовательности и сравнить полученные результаты.

3. Упражнения, при выполнении которые учащиеся усваивают и закрепляют знания по соотношению между компонентами и результатами арифметических действий. Οʜᴎ включаются уже при изучении чисел десятка.

В этой группе упражнений учащиеся знакомятся со случаями изменения результатов действий исходя из изменения одного из компонентов. Сравниваются выражения, в которых изменяется одно из слагаемых (6+3 и 6+4) или уменьшаемое 8-2 и 9-2 и т.д. Подобные задания включаются также при изучении табличного умножения и делœения и выполняются с помощью вычислений (5*3 и 6*3, 16:2 и 18:2) и т.д. В дальнейшем можно сравнивать эти выражения без опоры на вычисления.

Рассмотренные упражнения тесно связаны с программным материалом и способствует его усвоению. Наряду с этим в процессе сравнения чисел и выражений учащиеся получают первые представления о равенстве и неравенстве .

Так, в 1 классе, где ещё термины ʼʼравенствоʼʼ и ʼʼнеравенствоʼʼ не используются, учитель может при проверке правильности выполненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: ʼʼКоля прибавил к шести восœемь и получил 15. Верное это решение или неверное?ʼʼ, или предлагать детям упражнения в которых требуется проверить решение данных примеров, найти верные записи и т.д. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств вида 5<6,8>4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: ʼʼВерны ли эти записи?ʼʼ, а после введения неравенства – ʼʼВерны ли эти неравенства?ʼʼ.

Начиная с 1 класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на базе применения изученных элементов арифметической теории(нумерации, смысла действий и другое). К примеру, на базе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов.

В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети встречаются с ʼʼцепочкойʼʼ равенств.

Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала." 2017, 2018.

Основными целями изучения алгебраического материала в начальных классах является получение младшими школьниками первоначальных сведений о равенствах и неравенствах, о переменной, о равенствах и неравенствах с переменной, о математических выражениях (числовых и буквенных), о вычислении их значений, о несложных уравнениях и неравенствах, обучение школьников способам их решения, а также решению задач алгебраическим способом. Изучение алгебраического материала в начальных классах способствует обобщению понятий о числах, арифметических действиях и их свойствах, является подготовкой к изучению алгебры в старших классах

Первые представления о равенствах и неравенствах дети получают при сравнении множеств и чисел. Их изучение связывается с изучением нумерации, арифметических действий и величин. Далее вводится представление о верных и неверных равенствах и неравенствах, о равенствах и неравенствах с переменной.

Уравнение рассматривается как равенство с переменной. Решить уравнение – значит подобрать такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение оно обращается в верное числовое равенство. На этом основан способ решения уравнений подбором. В начальных классах уравнения решают также на основе взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий, на основе применения основных свойств равенств (система Л.В.Занкова), а также с помощью графов (УМК «Начальная школа 21 века»). Решение неравенств ограничивается способом подбора. Уравнения и неравенства используются при решении задач, однако, алгебраический способ решения задач ограничивается в начальных классах уровнем ознакомления.

Понятия о простейших выражениях формируются в связи с изучением арифметических действий, затем вводятся сложные выражения и выражения с переменной. Младшие школьники учатся вычислять значения сложных числовых выражений, используя правила порядка действий. Они учатся также находить значения выражений с переменной при заданных значениях букв.

Буквенная символика используется при обобщении записи законов и свойств арифметических действий, а также формул для вычисления площадей прямоугольников, треугольников, многоугольников, объёмов, скоростей и др.

В настоящее время наблюдаются две кардинально противоположные тенденции в определении объёма содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы. Одна тенденция связана с ранней алгебраизацией курса математики начальных классов. Представителями этой тенденции являются И.И.Аргинская, Э.И.Александрова, Л.Г.Петерсон, В.Н.Рудницкая и др. Другая тенденция связана с введением алгебраического материала в курс математики начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса (Н.Б.Истомина) Учебник традиционной школы (М.И.Моро и др.) является представителем «срединных» взглядов.