Построение точечного и интервального прогнозов. Точечный и интервальный прогноз

Способ отсчета времени от условного начала

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Подобные документы

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В данной работе необходимо выполнить следующие задания в соответствии со своим вариантом:

1) построить линейную модель Y(t) = a 0 + a 1 t, параметры которой оценить методом наименьших квадратов (МНК);

2) оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайной остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию и по первому коэффициенту автокорреляции;

нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию;

3) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед;

4) отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования;

5) для данного ряда выбрать наилучший вид тренда.

Пусть имеются данные о динамике объемов ВВП США (в ценах 1997 г., млрд долл. США)

	Объем ВВП США, млрд. долл.		Объем ВВП США, млрд. долл.

Порядок выполнения.

1. Оценка параметров модели

Оценим параметры с помощью надстройки Excel Анализ данных .

Для этого выполним следующие действия:

введем исходные данные (рис. 1):

Рис. 1. Исходные данные

выберем команду Сервис + Анализ данных ;

в появившемся окне выберем инструмент Регрессия , а затем щелкнем по кнопке ОК (рис. 2).

Рис. 2. Диалоговое окно Анализ данных

в диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введем диапазон ячеек зависимой переменной (Котировки). В поле Входной интервал Х введем диапазон ячеек, который содержит значения независимой переменной (t). Если выделить и заголовки столбцов, то необходимо установить флажок в поле Метки.

Для параметров вывода выберем поле Новый рабочий лист.

Для анализа остатков выберем поля Остатки и График подбора.

Диалоговое окно будет выглядеть следующим образом (рис. 3).

Рис. 3. Диалоговое окно Регрессия

Результат регрессионного анализа будет выведен на новый лист рабочей книги Excel. Анализ содержит таблицу регрессионной статистики и дисперсионного анализа, таблицу регрессионного анализа, а также график подбора (рис. 4).

Дисперсионный анализ

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение
Переменная X 1

Вывод остатка

Наблюдение	Предсказанное Y

Рис. 4. График подбора

В результате расчетов получено линейное уравнение зависимости y t (урожайность) от t (время) в виде:

Y(t) = 3151,126 + 105,0833t

Оценка параметров модели "вручную ". Расчеты коэффициентов модели будем проводить по формулам кривых роста оцененных МНК:

где, - средние значения уровней ряда и моментов наблюдения соответственно.

Оценка параметров регрессии:

а 0 = 4096,876471 - 105,083 9 3151,1294.

В результате ручного расчета получено линейное уравнение зависимости y t (объем ВВП) от t (время) в виде:

Y(t) = 3151,1294 + 105,083t.

Оценка параметров модели средствами мастера диаграмм представлена на рис.

						(t-tср)(y-yср)

Рис. 5. Корреляционное поле и тренд

Оценка качества построенной модели

Для этого исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остатков близко или равно нулю, и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения;

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков

Для этого найдем значения ряда остатков и произведем суммирование

		Объем ВВП США, млрд. долл. (yt)

В нашем случае 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется. Модель по данному свойству адекватна .

Проверка независимости (отсутствие автокорреляции)

Данное свойство проверяют с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Для этого находится статистика Дарбина-Уотсона (d-статистика):

Для проверки используют два пороговых значения d в и d н, зависящие только от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости.

Расчетное значение d равно:

Значение рассчитанного параметра d больше d в и меньше 4d в, поэтому принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции по критерию Дарбина-Уотсона.

Также для проверки наличия автокорреляции можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции:

Для принятия решения об отсутствии или наличие автокорреляции в исследуемом ряду расчетное значение r(1) сопоставляют с табличным (критическим) значением r для = 0,05. Если r(1) < r , то гипотеза об отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду может быть принята, иначе - делают вывод о наличии автокорреляции в ряду.

Вычислим r(1) для нашего примера:

r(1) = = 0,6205.

Рассчитанное значение меньше табличного. Это означает, что гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду урожайности может быть принята.

Модель по параметру независимости адекватна .

Проверка случайности возникновения отдельных отклонений от тренда

Используем критерий, основанный на поворотных точках.

Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны.

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

где р фактическое количество поворотных точек в случайном ряду; 1,96 квантиль нормального распределения для 5%-го уровня значимости.

Квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть (не путать с процедурой округления!).

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), стало быть, модель не является адекватной.

Построим график остатков.

Рис. 6. График остатков

Количество поворотных точек равно 3.

Значение = = 6.

Неравенство выполняется 3 < 6. Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по данному параметру не адекватна .

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

Данное соответствие можно проверить с помощью RS-критерия:

где max , min - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков; S среднеквадратическое отклонение ряда остатков.

Если расчетное значение RS попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

Среднеквадратическое отклонение ряда остатков S = 3,6912.

Расчетное значение попадает в интервал , следовательно, выполняется свойство нормального распределения. Модель по этому параметру адекватна .

Если все пункты проверки дают положительный результат, то выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду экономической динамики, и, следовательно, ее можно использовать для построения прогнозных оценок. В противном случае модель надо улучшать.

Точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед

Точечный прогноз - это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в полученное (рассчитанное) уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения:

t = n + 1; t = n + 2 и т.д.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами.

1. Выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.

2. Прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту.

3. Тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет следующий вид

где р - число факторных переменных; k - период прогнозирования; t б - табличное значение t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений (значение t б можно получить с помощью встроенной функции Excel СТЬЮДРАСПОБР);

Стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от модели).

Для других моделей величина U(k) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Как видно из формулы, величина U зависит прямо пропорционально от точности модели, коэффициента доверительной вероятности t б, степени углубления в будущее на k шагов вперед, т.е. на момент t = n + k, и обратно пропорциональна объему наблюдений. Доверительный интервал прогноза будет иметь следующий вид:

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей.

После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

Построим прогнозы на два шага вперед (k = 1 и k = 2):

1) точечный

2) интервальный

Рассчитаем стандартную ошибку:

Тогда значение U(k) для расчета доверительного интервала будет равно:

Данные расчета верхних и нижних границ доверительного интервала приведены в таблице.

			Верхняя граница	Нижняя граница

График фактических данных, результатов расчета и прогнозирования

Для построения графика прогнозирования воспользуемся инструментом Excel Мастер диаграмм.

Для этого необходимо:

1. Выделить диапазоны ячеек значений t, урожайности и оценки урожайности.

2. Запустить Мастер диаграмм, в диалоговом окне мастера выбрать тип диаграммы Точечный, на котором значения соединены отрезками.

3. В диалоговом окне Исходные данные на вкладке Ряд добавить ряды для значений точечного и интервального прогноза. Для этого выбрать кнопку Добавить, в поле Имя указать название ряда, в поле Значение Х диапазон прогноза, в поле Значение Y диапазон либо точного, либо интервального прогнозов.

В результате график прогноза выглядит следующим образом (рис. 7).

Рис. 7. Результаты моделирования и прогнозирования

Выбор наилучшего тренда для оценки временного ряда

При анализе временных рядов широко используются графические методы, которые задают направление его дальнейшего анализа. В Excel для этого можно использовать средство Мастер диаграмм.

Для создания диаграммы необходимо выделить данные, которые будут отображены на диаграмме. Сюда следует включить как числовые данные, так и подписи к ним. Excel автоматически распознает подписи и использует их при построении диаграммы.

Работа мастера состоит из четырех основных шагов.

Шаг 1. Выбор типа и вида диаграммы. Во вкладке Стандартные можно увидеть основные типы диаграмм. Выбрав тип диаграммы, нажать кнопку Далее (рис. 8).

Рис. 8. Окно выбора типа диаграммы

Шаг 2. Выбор и уточнение ориентации диапазона данных и ряда.

Следующее диалоговое окно позволяет выполнить следующие действия:

выбрать (или изменить) диапазон данных листа. Если перед началом работы с мастером данные не были выделены, то, используя это поле, можно выбрать их сейчас;

уточнить ориентацию диапазона данных диаграммы с помощью переключателя Ряды в строках столбцах;

добавлять и удалять ряды;

присваивать рядам имена;

Шаг 3. Настройка диаграммы. Это наиболее сложный этап работы мастера. В появившемся окне предлагается большое количество самых различных параметров диаграммы. Если параметры не изменяются, то используются установленные по умолчанию значения.

Шаг 4. Выбор месторасположения диаграммы. На этом шаге определяется месторасположение созданной диаграммы.

Построение линий тренда

Для описания закономерностей в исследуемом временном ряду строятся линии тренда. В табл. приведены типы линий тренда, используемые в Excel.

Для добавления линии тренда в диаграмму необходимо выполнить следующие действия: excel автокорреляция точечный

1) щелкнуть правой кнопкой мыши по ряду данных;

2) в динамическом меню выбрать команду Добавить линию тренда.

На экране появится окно Линия тренда;

3) выбрать вид зависимости регрессии. Если выбран тип Полиномиальная, то необходимо обязательно выбрать степень полинома. Если выбран тип Линейная фильтрация (данный тип не является регрессией, производится сглаживание данных методом скользящей средней), то в поле точки необходимо ввести число точек для расчета средней величины;

4) перейти на вкладку Параметры. В списке Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой установить переключатель Автоматическое или Другое, после чего введите название кривой и оно появится в легенде диаграммы;

5) если линия тренда регрессия, то можно задать прогнозируемое количество периодов, которые будут добавлены к линии тренда;

6) в случае необходимости можно задать остальные параметры.

На один график корреляционного поля можно нанести несколько линий тренда и по параметру R^2 (коэффициент детерминации) определить вид тренда для предложенного временного ряда.

Для нашего примера график для выбора наилучшей модели выглядит следующим образом (рис. 9).

Рис. 9. Выбор наилучшей модели

В качестве лучшего можно выбрать тренд полиномиальный шестого порядка.

Размещено на Allbest.ru

...

Предварительный анализ заданного временного ряда на предмет наличия тренда. Обоснование наличия сезонности по графическому представлению одноименных элементов ряда разных лет. Применение модели для прогноза. Выбор типа остатков и корректировка модели.

контрольная работа , добавлен 12.09.2011

Проведение анализа динамики валового регионального продукта и расчета его точечного прогноза при помощи встроенных функций Excel. Применение корреляционно-регрессионного анализа с целью выяснения зависимости между основными фондами и объемом ВРП.

реферат , добавлен 20.05.2010

Ознакомление с разнообразными надстройками, входящими в состав Microsoft Excel; особенности их использования. Примеры решения задач линейного программирования с помощью вспомогательных программ "Подбор параметра", "Поиск решения" и "Анализ данных".

реферат , добавлен 25.04.2013

Построение графика на основе табличных данных, их анализ с использованием математического метода наименьших квадратов. Зависимость электрического сопротивления медного стержня от температуры. Использование линий тренда в MS Excel для прогнозирования.

контрольная работа , добавлен 24.04.2011

Анализ возможностей текстового редактора Word и электронных таблиц Excel для решения экономических задач. Описание общих формул, математических моделей и финансовых функций Excel, используемых для расчета скорости оборота инвестиций. Анализ результатов.

курсовая работа , добавлен 21.11.2012

Использование функции Excel для расчета экспоненциального роста на основании имеющихся данных. Построение графика прогноза по методу скользящей средней. Определение коэффициента детерминации. Полиномиальная зависимость между исследуемыми показателями.

лабораторная работа , добавлен 01.12.2011

Создание макроса на языке Statistica Visual Basic (SVB) для проверки гипотезы о нормальности остатков множественной регрессии. Возможности программирования на языке SVB в пакете STATISTICA. Проверка гипотезы в модели вторичного рынка жилья в г. Минске.

курсовая работа , добавлен 02.10.2009

Определение доли перевозчиков в их общем количестве средствами Excel. Автоматическое и ручное прогнозирование линейной и экспоненциальной зависимости. Вычисление тенденций с помощью добавления линии тренда на диаграмму. Возможности процессора MathCAD.

контрольная работа , добавлен 03.04.2012

Составление отчетной ведомости "Магазины" в Excel 2013. Работа с таблицами семейства Microsoft Office. Построение круговой диаграммы и гистограммы, графиков. Разработка процедур для табулирования функций. Программирование функций пользователя на VBA.

курсовая работа , добавлен 03.04.2014

Рассмотрение и ознакомление с одним из наиболее используемых языков программирования - С++. Его применение в процессе работы со строковыми типами данных и символами. Исследование кодов написания программ в режиме разработки консольного приложения.

Средняя относительная по модулю ошибка

|Е ср | отн = |Е ср | / Y ср * 100% (3.4.25)

Эти показатели дают представление об абсолютной величине ошибки модели и о доле ошибки в процентном отношении к среднему значению результативного признака.

При использовании ретропрогноза - подхода, когда несколько последних уровней ряда оставляются в качестве проверочной последовательности - точность прогнозных оценок определяется на основе этих же показателей.

Лучшей по точности считается та модель, у которой все перечисленные характеристики имеют меньшую величину. Однако эти показатели по-разному отражают степень точности модели и потому нередко дают противоречивые выводы. Для однозначного выбора лучшей модели исследователь должен воспользоваться либо одним основным показателем, либо обобщенным критерием.

Идея социально-экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан наэкстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называетсяперспективной , а в прошлое – ретроспективной .

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;

б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;

в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Поэтому надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы. Точечный прогноз на основе временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t =n +1, n +2,..., n +k .

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид:

, (3.4.27)

Стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от модели), m – количество факторов в модели, для линейной модели m = 1.

Коэффициент является табличным значением t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равной 70%, то при n =9 = 1,12. При вероятности, равной 95%, = 2,36.

Для других моделей величина U(k) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Как видно из формулы (3.10), величина U зависит прямо пропорционально от точности модели, коэффициента доверительной вероятности степени углубления в будущее на k шагов вперед, т.е. на момент t = n+k, и обратно пропорциональна объему наблюдений. Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

– верхняя граница прогноза = Y прогноз (n+k ) + U (k );

– нижняя граница прогноза = Y прогноз (n+k ) – U (k ).

Идея экономического прогнозирования временных рядов базируется на предположении о том, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции.

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое - ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;
б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;
в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.

Точечный прогноз. Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t = п + 1, /? + 2,..., п + k, где k - прогнозируемый период.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, происходит очень редко. Возникновение отклонений от прогнозного значения объясняется следующими причинами:

модель, выбранная для прогнозирования, является не единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать другую модель, которая дает более точные результаты;
прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Каждый исходный уровень обладает случайной компонентой, поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную составляющую;
тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики. Отдельные наблюдения могут отклоняться от среднего уровня. Такие отклонения будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы. Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя.

Ширина интервала зависит от качества модели (г.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина Д^, которая для линейной модели имеет вид

где S e - стандартная ошибка (СКО от линии тренда).

Коэффициент? кр - табличное значение ^-статистики Стьюдента при заданных уровне значимости а и числе степеней свободы v.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: г/прош - Д^ - нижняя граница, г/ прогн + Д^ - верхняя граница.

Только проведя все необходимые проверки, можно утверждать, что прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границами. После получения всех оценок необходимо убедиться в их непротиворечивости смыслу изучаемого экономическому процесса.

Пример 10.9

Директор интенсивно развивающейся компании планирует развитие экономической деятельности, опираясь на результаты предыдущих лет (табл. 10.24).

Таблица 10.24

Исходные данные к примеру 10.9

Требуется выполнить следующее.

1. Построить линейную модель зависимости результатов экономической деятельности от времени.
2. Оценить качество построенной модели на основе исследований:
- а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- б) отсутствия автокорреляции уровней ряда остатков по 1)1У-критерию (а = 0,05);
- в) нормальности распределения остаточной компоненты но критерию;
- г) относительной максимальной ошибки.
3. Определить размеры прогноза экономической деятельности предприятия на следующие два квартала. Построить график полученных результатов расчетов и прогнозирования.

Решение. 1. Построение модели.

Уравнение тренда ищем в виде T t = b 0 + b x t. Методом наименьших квадратов, используя инструмент «Регрессия», найдем коэффициенты уравнения тренда. Получаем уравнение Т г = 2,22 + 1,05?. Стандартная ошибка - 1,71. Коэффициент детерминации R 2 = 0,82, значимость уравнения (статистика Фишера) F= 41,7, F Kp (0,05; 1; 9) = 5,12. Значимость коэффициента уравнения b x =6,46, ? кр (0,05; 11) = 2,26. Уравнение статистически значимо.

2. Оценка качества модели.
а) Проверка случайности остаточной компоненты по критерию пиков. Данные но остаткам приведены в табл. 10.25. На графике остатков, представленном на рис. 10.5, подсчитываем число поворотных точек р = 5. Проверяем но формуле (10.5) значение р :

Данные по остаткам к примеру 10.9

Таблица 10.25

t	y(t)	е}	(е с ~е,-) 2

Так как неравенство справедливо (5 > 3), свойство случайности выполняется.

6) Проверка отсутствия автокорреляции уровней ряда остатков по DlT-критерию. Исходные данные для расчета статистики приведены в табл. 10.25. Имеем

Критические значения статистики Дарбина - Уотсона для а = 0,05 равны d L = 0,93, d v = 1,32. Найденное значение статистики попадает в интервал d v - (4 - d v) автокорреляция не обнаружена.

в) Проверка нормальности распределения остаточной компоненты по /^-критерию. Используем формулу (10.6):

Расчетное значение 2,98 попадает в интервал 2,67-3,69, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

г) Нахождение относительной максимальной ошибки проводим по формуле

Отметим, что если вычислять среднюю по модулю ошибку по формуле получим |е ср | = 1,38. Видно различие способов оценки точности модели.

Данные анализа ряда остатков приведены в табл. 10.26.

Данные анализа ряда остатков

Таблица 10.26

Вывод. Построенная модель статистически адекватна изучаемому временному процессу, несмотря на недостаточную точность модели .

3. Построение точечного и интервального прогноза на два шага вперед.

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + k:

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости а = 0,05 доверительная вероятность равна 95%, а значение критерия Стьюдента при v = п - 2 = 9 равно 2,26.

Ширину доверительного интервала вычисляем по формуле (10.7):

Прогнозные значения и доверительные интервалы для них приведены в табл. 10.27.

Таблица 10.27

Прогнозные значения и доверительные интервалы к примеру 10.9

			Нижняя граница	Верхняя граница

На рис. 10.6 представлены исходные и рассчитанные по уравнению регрессии данные с учетом прогнозных значений.

Рис. 10.6.

1/(0: - Упф)

Вывод. Модель регрессии имеет вид T t = 2,22 + l,05f. Модель адекватна по всем проверенным параметрам и может использоваться для краткосрочного прогноза.

На этом мы заканчиваем рассмотрение временных рядов. Существуют и другие методы сглаживания и коррекции временных рядов, но их рассмотрение выходит за рамки настоящей книги.

Это повлияло на прогнозные значения в сторону увеличения ширины доверительногоинтервала (см. далее табл. 10.27).

Назначение сервиса . Сервис используется для расчета параметров тренда временного ряда y t онлайн с помощью метода наименьших квадратов (МНК) (см. пример нахождения уравнения тренда), а также способом от условного нуля. Для этого строится система уравнений:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

и таблица следующего вида:

t	y	t 2	y 2	t y	y(t)
1
...	...	...	...	...	...
N
ИТОГО	∑	∑	∑	∑	∑

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .

Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя.

Значимость F

Для определения параметров математической функции при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы ∑t i . При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом +1 всех последующих уровней и –1 всех предыдущих уровней. Например, при обозначения времени будут: –2, –1, 0, +1, +2 . При четном числе уровней порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: –1, –3, –5 , а нижней половины ряда обозначаются +1, +3, +5 .

Пример . Статистическое изучение динамики численности населения.

С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.

1990	1996	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
1249	1133	1043	1030	1016	1005	996	985	975	968

Метод аналитического выравнивания

а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов . Используем способ отсчета времени от условного начала.
Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

t	y	t 2	y 2	t y
-9	1249	81	1560001	-11241
-7	1133	49	1283689	-7931
-5	1043	25	1087849	-5215
-3	1030	9	1060900	-3090
-1	1016	1	1032256	-1016
1	1005	1	1010025	1005
3	996	9	992016	2988
5	985	25	970225	4925
7	975	49	950625	6825
9	968	81	937024	8712
0	10400	330	10884610	-4038

Для наших данных система уравнений примет вид:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = -12.236, a 1 = 1040
Уравнение тренда:
y = -12.236 t + 1040

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

б) выравнивание по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt
a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2

t	y	t 2	y 2	t y	t 3	t 4	t 2 y
-9	1249	81	1560001	-11241	-729	6561	101169
-7	1133	49	1283689	-7931	-343	2401	55517
-5	1043	25	1087849	-5215	-125	625	26075
-3	1030	9	1060900	-3090	-27	81	9270
-1	1016	1	1032256	-1016	-1	1	1016
1	1005	1	1010025	1005	1	1	1005
3	996	9	992016	2988	27	81	8964
5	985	25	970225	4925	125	625	24625
7	975	49	950625	6825	343	2401	47775
9	968	81	937024	8712	729	6561	78408
0	10400	330	10884610	-4038	0	19338	353824

Для наших данных система уравнений имеет вид
10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400
0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038
330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824
Получаем a 0 = 1.258, a 1 = -12.236, a 2 = 998.5
Уравнение тренда:
y = 1.258t 2 -12.236t+998.5

Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.
Uy = y n+L ± K
где

L - период упреждения; у n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2 .
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 тыс. чел.

1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)

Определение автокорреляции

Автокорреляция характеризует связь между наблюдениями одного ряда. Ее можно представить как связь между исходным временным рядом и тем же рядом, сдвинутым на l шагов. Набор коэффициентов автокорреляции при различных l называется автокорреляционной функцией.

Значение коэффициента автокорреляции для различных l можно использовать для определения оптимального периода прогнозирования. Если , то прогнозировать экономический показатель на l шагов имеет смысл. Коэффициент автокорреляции можно вычислить по формуле:

Пример:вычислить коэффициенты автокорреляции для рассматриваемого ряда.

l=1 r 1 =0.617

l=2 r 2 =0.248

l=3 r 3 =0.107

Прогнозировать па один шаг вперед в принципе возможно, так как значение коэффициента автокорреляции при l=1 близко к 0.7 и связь между соседними наблюдениями временного ряда можно считать достаточной.

Контрольные вопросы:

1.Что называется автокорреляцией?

2. Длячего используют коэффициент автокорреляции?

3. Какие значения может принимать коэффициент автокорреляции?

4. Какие значения коэффициента автокорреляции при различной

величине сдвига определяют тесную связь и оптимальный период

прогнозирования?

5.Что называется автокорреляционной функцией?

Заключительным этапом анализа и построения модели является получение прогнозных оценок исследуемого показателя. Прогноз осуществляют подстановкой в выбранную модель значений времени t , входящих в период упреждения. Поскольку для каждого значения t получают только одно значение прогнозируемого показателя, то такой прогноз называется точечным. Т.к. в большинстве случаев социально-экономические процессы носят стохастический характер, то вероятность того, что расчетное значение прогнозируемого показателя совпадет с фактическим, практически равна нулю. Поэтому в дополнение к точечному прогнозу строят доверительный интервал, который учитывает случайный характер исследуемого процесса. Верхняя и нижняя границы доверительного интервала прогноза находятся по формулам:

где - расчетное по модели значение прогнозируемого показателя в момент времени t=n+l , n – длина временного ряда, l - период прогнозирования;

Значение t-критерия Стьюдента с вероятностью (табличное);

S p - среднеквадратическое отклонение прогнозируемого показателя.

Для линейной модели:

где ,(p – число параметров модели);

Если выбранная модель полностью адекватна и достаточно точна, то при сохранении сложившихся закономерностей динамики развития прогнозируемая величина с вероятностью попадает в доверительный интервал.

Оптимальный период прогнозирования определяется с помощью коэффициента автокорреляции, вычисленного при разных сдвигах l.

ПРИМЕР. Построить точечный и интервальный прогнозы для моделей кривой роста и Брауна.

а) прогноз для модели кривой роста (параболы)

б) прогноз для адаптивной модели Брауна

Контрольные вопросы:

1. Какой прогноз называется точечным?

2. Как получить точечный прогноз экономического показателя на ос модели прогнозирования

3. Какой прогноз называется интервальным?

4. Как получить интервальный прогноз экономического показателя на основе модели прогнозирования?

5. Чем отличается точечный прогноз от интервального?

6. От каких факторов зависит величина интервального прогноза?