Нахождение точки разрыва функции онлайн. Установить непрерывность функции в точке самостоятельно, а затем посмотреть решение. Непрерывность функции на промежутке
Определение точки разрыва функции
Конечная точка x 0
называется точкой разрыва функции
f(x)
,
если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
но не является непрерывной в этой точке.
То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x 0 ) функции в точке x 0 . См. «Определение непрерывности функции в точке ».
Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода
, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
Определение скачка функции
Скачком Δ функции
в точке называется разность пределов справа и слева
.
Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва
, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.
Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода
, если она не является точкой разрыва 1-го рода.
То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.
Исследование функций на непрерывность
При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.
- Элементарные функции
и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
, а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям ». - Сумма, разность и произведение
непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций » - Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции »
Примеры
Пример 1
Задана функция и два значения аргумента и .
Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.
Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
,
.
Тогда
.
Рассмотрим функцию .
Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной - степенной функцией с показателем степени 1
. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому функция определена и непрерывна для всех ,
кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех ,
кроме точки .
Рассмотрим функцию .
Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной ,
кроме точки .
Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.
График функции y = 4 1/(x+2) .
Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.
Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями , для предела слева имеем:
при ,
,
,
.
Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.
Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.
Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.
В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.
Пример 2
Задана функция .
Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.
График заданной функции.
Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
В входят еще две функции: и .
Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
,
.
Поэтому они также непрерывны для всех .
Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.
Рассмотрим точку .
Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки .
Возьмем окрестность .
На ней .
Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.
Найдем правый предел в точке .
Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность .
На ней .
Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .
Поскольку, в точке ,
предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной - это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.
Теперь рассмотрим точку .
Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.
Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.
Пример 3
Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.
Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех .
Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех ,
за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение :
;
;
;
.
Тогда
.
Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.
Тогда заданная функция примет вид:
(П1)
.
Она определена и непрерывна для всех ,
кроме точек и .
Поэтому точки и являются точками разрыва функции.
Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2)
.
Такую операцию мы можем проделать, если .
Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при ,
а в этой точке не определена.
Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела »). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .
Рассмотрим точку .
Знаменатель дроби в функции ,
при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при .
Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.
Рассмотрим точку .
Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций , имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.
Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.
Общая схема исследования
Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены "горбы" выпуклости, где не определены значения и т.п.
А уже на основании этих "особенностей" и строится макет графика - картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).
Начнем, конечно же, с плана . Исследование функции - объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.
Алгоритм
- Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
- Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
- Найти точки пересечения с осями координат.
- Установить, является ли функция чётной или нечётной.
- Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
- Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
- Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
- Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
- Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
- Построить график и асимптоты.
В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.
Схема исследования в формате pdf: скачать .
Полный пример решения онлайн
Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=\frac{x^2+8}{1-x}. $$
1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty). $$
2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:
Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ - вертикальная асимптота.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:
Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.
Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:
Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.
Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x \in (-\infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x \in (1; +\infty)$ функция $y\lt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:
5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.
6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y"=0$):
Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:
При $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производная $y" \lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.
При $x \in (-2; 1), (1;4)$ производная $y" >0$, функция возрастает на данных промежутках.
При этом $x=-2$ - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).
Найдем значения функции в этих точках:
Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.
7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:
Приравняем вторую производную к нулю:
Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x \in (-\infty; 1)$ выполняется $y"" \gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x \in (1;+\infty)$ выполняется $y"" \lt 0$, то есть функция выпуклая.
8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .
Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:
Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.
9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.
$$ y(-5)=5.5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9.5. $$
10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):
Примеры решений по исследованию функции
Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!
Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.
$$y=\frac{e^x}{x}.$$
Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.
$$y=-\frac{1}{4}(x^3-3x^2+4).$$
Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
$$y=\ln \frac{x+1}{x+2}.$$
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.
$$y=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}}.$$
Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.
$$y=\frac{x^3-1}{4x^2}.$$
Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.
$$y=\frac{x^3}{x^2-1}.$$
Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.
$$y=\frac{x^3}{2(x+5)^2}.$$
Как построить график онлайн?
Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки , с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).
Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?
Графический калькулятор Desmos
Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos . Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.
Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos .
Решебник
Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена - около 50 рублей . Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!
Полезные видео-ролики
Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.
Классный старый научно-популярный фильм "Математика. Функции и графики". Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.
Подборка онлайн калькуляторов для полного исследования функции и построение графика.
Найти Область определения функции
Вычислить Четность функции
Вычисление точек пересечения графика с осью (нули функции)
Найти экстремумы функции
Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
Построить график функции
Данный калькулятор предназначен для нахождения точек разрыва функции онлайн.
Точки разрыва функции – это точки, в которых функция имеет разрыв, при этом функция в этих точках не является непрерывной.
Существует определенная классификация точек разрыва функции. Точки разрыва функции делятся на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.
Точки разрыва первого рода при x=a имеют место быть, если существуют левосторонний и правосторонний пределы: lim(x→a-0)f(x) и lim(x→a+0)f(x). Эти пределы должны быть конечны. Если хотя бы один из односторонних пределов равен нулю или бесконечности, то в таком случае функция имеет точки разрыва второго рода.
Для того чтобы найти точки разрыва функции онлайн, необходимо указать функцию и значение аргумента.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Исследовать функцию, построить график
План исследования функций и построения графика .
Ответ означает следующее: even - функция четная, odd - функция нечетная, neither even nor odd - функция ни четная ни нечетная.
3. Точки пересечения графика функции с осями координат;
4. Непрерывность функции, точки разрыва;
5. Асимптоты графика функции;
6. Интервалы монотоности и критические точки;
7 . Интервалы выпуклости и точки перегиба;
8. Посторение графика на основании проведённого исследования.
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Решения типовых задач - Математический анализ
Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.
Пример 1 .
Функция не определена в точках, уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.
Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках.
Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Пример 2 Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как, т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.
Пример 3 Функция неопределена в нуле, следовательно, – точка разрыва.
Так как и, то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.
Пример 4
Функция является элементарной, поэтому она непрерывна в области её определения. В область определения не входят точки, следовательно, они являются точками разрыва данной функции.
Определим тип точек разрыва.
Так как, то точка является точкой
разрыва второго рода функции.
Односторонние пределы функции в точке равны, но функция при не определена, следовательно, является устранимой точкой разрыва первого рода.
Так как заданная функция является четной функцией, то, очевидно, что
И является точкой разрыва второго рода функции.
Для построения эскиза графика функции исследуем поведение функции при
и. Так как функция четная, то
Построим эскиз графика функции.
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики.
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением.
Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)
Важно : a должно быть меньше b , иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом - если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
С применением синуса и косинуса
Гиберболические синус и косинус
Гиберболические тангенс и котангенс
Гиберболические арксинус и арккосинус
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода
Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции
Что умеет находить этот калькулятор:
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание
Контрольная работа РУ - калькуляторы онлайн
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x ) называется непре-
рывной в точке x 0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x 0 ;
2) существует предел lim f (x ) ;
→ x 0
3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т.е. limf (x )= f (x 0 ) . |
||
x→ x0 |
||
Последнее условие равносильно условию lim | y = 0 , гдеx = x − x 0 – при- |
|
x→ 0 | ||
ращение аргумента, y = f (x 0 + | x )− f (x 0 ) – приращение функции, соответст- |
|
вующее приращению аргумента | x , т.е. функция | f (x ) непрерывна в точкеx 0 |
тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя непрерывность. Функцияy = f (x ) называется непрерыв-
ной слева в точкеx 0 , если она определена на некотором полуинтервале(a ;x 0 ]
и lim f (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 − 0
Функция y = f (x ) называется непрерывнойсправа в точкеx 0 , если она оп-
ределена на некотором полуинтервале [ x 0 ;a ) и limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0
Функция y = f (x ) | непрерывна в точке x 0 | тогда и только тогда, когда она |
||||||
непрерывна | ||||||||
lim f (x )= limf (x )= limf (x )= f (x 0 ) . | ||||||||
x→ x0 + 0 | x→ x0 − 0 | x→ x0 | ||||||
Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x ) называется
непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точкеx этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функцияy = f (x ) называетсяне-
прерывной на отрезке [ a; b] , если она
1) непрерывна в каждой точке интервала (a ;b ) ;
2) непрерывна справа в точке a ;
3) непрерывна слева в точке b .
Точки разрыва функции. Точкаx 0 , принадлежащая области определения функцииy = f (x ) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется
точкой разрыва данной функции , еслиf (x ) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:
1) Если существуют конечные пределы lim f (x )= f (x 0 − 0) и
x→ x0 − 0
f (x )= f (x 0 + 0) , причем не все три числаf (x 0 − 0) ,f (x 0 + 0) , | f (x 0 ) равны |
||
x→ x0 + 0 | |||
между собой, то x 0 | называется точкой разрыва I рода. | ||
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x 0 | равны меж- |
||
собой, но | не равны значению функции в этой точке: |
||
f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , то x 0 называется точкой устранимого разрыва.
В этом случае, положив f (x 0 )= A , можно видоизменить функцию в точкеx 0
так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности ). Разностьf (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) называетсяскачком функции в точке x 0 .
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.
2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределовf (x 0 − 0) иf (x 0 + 0) .
Свойства функций, непрерывных в точке.
f (x) | и g (x ) непрерывны в точкеx 0 , то функции |
||
f (x )± g (x ) , | f (x )g (x ) и | f (x) | (где g (x )≠ 0) также непрерывны в точкеx . |
g(x) | |||
2) Если функция u (x ) непрерывна в точкеx 0 , а функцияf (u ) непрерывна
в точке u 0 = u (x 0 ) , то сложная функцияf (u (x )) непрерывна в точкеx 0 .
3) Все основные элементарные функции (c , x a ,a x , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) непрерывны в каж-
дой точке своих областей определения.
Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f(x) определе-
на и непрерывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда для любого числаC , заключенного
между числами f (a ) иf (b ) , (f (a )< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .
2) (теорема Больцано – Коши
рывна на отрезке [ a ;b ] и принимает на его концах значения различных знаков.
Тогда найдется хотя бы одна точка x 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= 0 .
3) (1-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
4) (2-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке | [ a ;b ] . Тогда эта функция достигает на отрезке[ a ;b ] | |||||
наибольшего | наименьшего | значений, т.е. | существуют | |||
x1 , x2 [ a; b] , | для любой | точки x [ a ;b ] | справедливы | неравенства |
||
f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функцияy = 3x 2 + 2x − 5 непрерывна в произвольной точкеx 0 числовой оси.
Решение: 1 способ: Пусть x 0 – произвольная точка числовой оси. Вы-
числим сначала предел функции f (x ) приx → x 0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:
lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2 | − 5. |
||||||
x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | ||||
Затем вычисляем значение функции в точке x :f (x )= 3x 2 | − 5 . |
||||||
Сравнивая полученные результаты, видим, | lim f (x )= f (x 0 ) , что согласно |
||||||
x→ x0 | |||||||
определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x 0 .
2 способ: Пусть | x – приращение аргумента в точкеx 0 . Найдем соот- |
|||
ветствующее | приращение | y = f(x0 + x) − f(x0 ) = |
||
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5) | ||||
6 x x+ (x) 2 | 2x = (6x + 2)x + (x )2 . | |||
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу- |
||||
стремится | ||||
y = lim (6x + 2) | x + (x )2 = (6x + 2) lim | x + (limx )2 = 0 . |
|||
x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 |
||
Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность
x→ 0
функции для любого x 0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функцииf (x ) и определить их род. В
случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
1) f (x ) = 1− x 2 приx < 3;
5x приx ≥ 3
2) f (x )= x 2 + 4 x + 3 ;
x + 1
f (x) = | |||||
x4 (x− 2) |
|||||
f (x )= arctg | |||||
(x − 5) |
|||||
Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-
вая ось (−∞ ;+∞ ) . На интервалах(−∞ ;3) ,(3;+∞ ) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точкеx = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:
f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;
x →3 −0
f (3+ 0)= lim 5x = 15.
x →3 +0
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3 | |||||
разрыва I | f (x ) . Скачок функции в | ||||
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 . | |||||
f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , поэтому в точке | x = 3 | ||||
f (x ) непрерывна справа.
2) Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = − 1, в которой она не определена. Преобразуем выражение дляf (x ) , разложив числитель
дроби на множители: | f (x) = | 4 x +3 | (x + 1)(x + 3) | X + 3 приx ≠ − 1. |
|||||
x + 1 | x + 1 |
||||||||
Найдем односторонние пределы функции в точке x = − 1: |
|||||||||
f (x )= lim | f (x )= lim(x + 3)= 2 . | ||||||||
x →−1 −0 | x →−1 +0 | x →−1 | |||||||
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = − 1 – точка устранимо-
прямую y = x + 3 с «выколотой» точкойM (− 1;2) . Чтобы функция стала непре-
рывной, следует положить f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .
Таким образом, доопределив f (x ) по непрерывности в точкеx = − 1, мы получили функциюf * (x )= x + 3 с областью определения(−∞ ;+∞ ) .
3) Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек
x = 0 ,x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0:
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-
ко отрицательные значения, то f (− 0)= lim | = −∞ = f (+0) | Т.е. точка |
|||
(x − 2) |
|||||
x →−0 | |||||
x = 0 является точкой разрыва II рода функции | f (x ) . | ||||
Рассмотрим теперь точку x = 2:
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-
ваемой точки и положительные – справа, поэтому | f (2− 0)= | = −∞, |
||||||
x4 (x− 2) |
||||||||
x →2 −0 | ||||||||
f (2+ 0)= lim | = +∞ . Как и в предыдущем случае, в точкеx = 2 | |||||||
(x − 2) |
||||||||
x →2 +0 | ||||||||
ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.
x = 5 . | ||||||||||||||||||
f (5− 0)= lim arctg | π ,f (5+ 0)= lim arctg | x = 5 | ||||||||||||||||
(x − 5) | (x − 5) | |||||||||||||||||
x →5 −0 | x →5 +0 | |||||||||||||||||
ка разрыва | ||||||||||||||||||
f (5+ 0)− f (5− 0)= | π − (− | π )= π (см. рис. 5.2). | ||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функцииf (x ) в
каждой точке x 0 R :
а) f(x) = c= const; | б) f (x )= x ; | ||
в) f (x )= x 3 ; | г) f (x )= 5x 2 − 4x + 1; |
||
д) f (x )= sinx . | |||
5.175. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | является непрерывной на |
1 при x < 0 | |||
всей числовой оси. Построить график этой функции. | |||
5.176. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | не является непрерывной |
0 при x < 0 | |||
в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функцииf (x ) .
рывной в точке x = | Но непрерывна слева в этой точке. Построить график |
|||||||||||||
функции f (x ) . | ||||||||||||||
5.178. Построить графики функций | ||||||||||||||
а) y = | x + 1 | б) y= x+ | x + 1 | |||||||||||
x + 1 | x + 1 | |||||||||||||
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?
5.179. Указать точку разрыва функции
sin x | При x ≠ 0 | ||
при x = 0 | |||
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?
