Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм. Вынужденные колебания. Резонанс. Резонансные кривые. Векторные диаграммы. Уравнение движения
Может случиться так, что осциллятор принимает участие в двух одинаково направленных колебаниях с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Рассмотрим сложение таких колебаний.
Сложение колебаний с одинаковыми частотами
Для простоты рассмотрим сначала случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы. Общие решения складываемых гармонических колебаний имеют вид:
где x 1 , x 2 - переменные, описывающие колебания, A 1 , A 2 - их амплитуды, а , - начальные фазы. Результирующее колебание
удобно найти с помощью векторной диаграммы . Этот метод использует аналогию между вращением и колебательным процессом.
Возьмем общее решение (1.23) для гармонического колебания. Выберем ось 0x . Из точки 0 отложим вектор длиной A , образующий с осью 0x угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора будет перемещаться по оси 0x от +A до –A , причем величина проекции будет изменяться по закону
|
|
Таким образом, проекция конца вектора на ось 0x будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Векторная диаграмма для общего решения (1.23)
Применим теперь эту технику к сложению колебаний (1.34). Представим оба колебания с помощью векторов А 1 и А 2 Возьмем их векторную сумму (рис. 1.13)
Рис. 1.13. Векторная диаграмма для сложения одинаково направленных колебаний одинаковой частоты
Проекция вектора А 1 на ось 0x равна сумме проекций соответствующих векторов
Таким образом, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой , амплитудой A и начальной фазой a. Согласно теореме косинусов:
|
|
В частности, если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на величину, кратную (то есть 
), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд
Если же складываемые колебания находятся в противофазе (то есть 
), то
Биения
В этом разделе мы рассмотрим случай сложения одинаково направленных гармонических колебаний с разными частотами. На практике особый интерес представляет случай, когда складываемые колебания мало отличаются по частоте. Как мы увидим, в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, называемые биениями .
Для простоты рассмотрим случай, когда амплитуды складываемых колебаний равны A , а начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Частоты складываемых колебаний равны, соответственно, и . Итак,
|
|
Складываем эти выражения и учитываем известную формулу тригонометрии:
|
|
Если то в аргументе второго косинуса мы можем пренебречь сдвигом частоты:
|
|
Кроме того, множитель в скобках меняется медленно по сравнению с . Поэтому результирующее колебание x можно рассматривать как модулированное гармоническое колебание с частотой w , эффективная амплитуда которого изменяется со временем по закону (1.40) (рис. 1.14):
|
|
Подчеркнем, что в строгом смысле такое колебание не является гармоническим, и еще раз напомним, что, согласно определению, колебание гармоническое, если оно происходит по закону 
, причем все три его параметра: строго постоянны во времени.
Рис. 1.14. Биения при сложении колебаний с близкими частотами
Частота пульсаций амплитуды (ее называют частотой биений ) равна разности частот складываемых колебаний. Период биений равен
|
Приведем поучительный пример системы, в которой возникают биения. Рассмотрим два груза массой m
, которые могут колебаться под действием двух одинаковых пружин с коэффициентами жесткости k
. Пусть грузы соединены также мягкой пружиной с коэффициентом жесткости K<
Рис. 1.15. Пример связанных осцилляторов. Тогда в положении равновесия координаты грузов равны При колебаниях координаты равны, соответственно, x 1 (t) , x 2 (t) . Удлинения пружин записываются как
Мы имеем дело с системой с двумя степенями свободы. Составим уравнения движения. На первый груз действуют сила со стороны пружины k, равная
и сила со стороны пружины K , равная
На второй груз действуют аналогичные силы
Соответственно, уравнения движения имеют вид
Эти уравнения не слишком похожи на первый взгляд на уравнения гармонических колебаний, потому что на колебания x 1 оказывают влияния колебания x 2 и наоборот. Поэтому преобразуем уравнения к новым переменным, уравнения для которых были бы независимыми (такие переменные называют нормальными координатами, а соответствующие им колебания - нормальными колебаниями (модами)) . Именно, введем новые переменные x 1 иx 2 :
Как легко убедиться, положениям равновесия соответствуют нулевые значения этих координат
В этих переменных уравнения (1.42) принимают вид:
Складывая и вычитая эти уравнения, приходим к паре независимых уравнений для введенных нормальных координат:
Первое уравнение описывает гармонические колебания с частотой совпадающей с частотой колебаний пружинных маятников в отсутствие соединительной пружины К. Второе уравнение описывает колебания со сдвинутой частотой
Так как K<
Соответственно, мы получаем общее решение системы уравнений:
Общее решение для координат х 1 и х 2 колеблющихся точек следуют из (1.47) и (1.43):
Для примера рассмотрим случай, когда первая масса смещается на расстояние от положения равновесия и отпускается с нулевой начальной скоростью, а вторая масса остается в положении равновесия:
Этому соответствуют следующие начальные значения нормальных координат:Графики функций x 1 (t) , x 2 (t) показаны на рис. 1.16. Видна характерная картина биений.
Рис. 1.16. Биения в системе двух связанных осцилляторов В начальный момент времени колеблется лишь первый груз. Затем начинает колебаться второй, а амплитуда колебаний первого уменьшается. Через время первый груз останавливается, а второй колеблется с максимально возможной амплитудой. Произошла «перекачка» энергии от первого маятника ко второму. Затем процесс «перекачки» энергии идет в обратном направлении и к моменту первый маятник колеблется с максимальной амплитудой, а второй покоится. На рис. 1.17 демонстрируются биения в системе двух связанных математических маятников.
Рис. 1.17. Биения в системе связанных маятников Выясним теперь физический смысл нормальных мод, соответствующих чисто гармоническим колебаниям системы. Если возбуждены колебания только первой из них (x 1 ), то A 2 = 0 и, как следует из общего решения (1.48),
Из (1.53) видно, что первая нормальная мода соответствует такому колебанию, когда оба груза смещаются на одинаковые расстояния от их положений равновесия, но в противоположные стороны, другими словами - они колеблются в противофазе. Скорости движения грузов также равны по величине и противоположны по направлению, так что центр масс грузов остается неподвижным. Колебания происходят под действием пружин с жесткостью k, к которым добавляется соединительная пружина с жесткостью К. Как следствие, частота таких колебаний больше частоты колебаний несвязанных осцилляторов Возбуждение только второй (x 2 ) нормальной моды означает, что A 1 = 0 :
В этом случае грузы смещаются из положения равновесия в одну сторону на одинаковые расстояния, другими словами – они колеблются синфазно. Скорости их также одинаковы по величине и направлению. Соединительная пружина колеблется вместе с грузами, но остается не растянутой и потому не оказывает влияния, так что частота колебаний совпадает с частотой колебаний несвязанных маятников. В разобранном случае мы познакомились с нормальными модами и выяснили, что их частоты сдвигаются по сравнению с частотами колебаний несвязанных маятников. Любое другое колебательное движение системы можно представить как суперпозицию нормальных мод. Аналогичным образом можно рассмотреть цепочку из множества связанных друг с другом осцилляторов и изучить их нормальные колебания. Такая система представляет собой модель кристаллической решетки. Дополнительная информация http://allphysics.ru/feynman/bieniya - Фейнмановские лекции по физике. Биения. |
Метод комплексных амплитуд
Положение точки на плоскости можно однозначно задать комплексным числом:
Если точка ($А$) вращается, то координаты этой точки изменяются в соответствии с законом:
запишем $z$ в виде:
где $Re(z)=x$, то есть физическая величина x равна вещественной части комплексного выражения (4). При этом модуль комплексного выражения равен амплитуде колебаний -- $a$, его аргумент равен фазе (${\omega }_0t+\delta $). Иногда при взятии реальной части от $z$ знак операции Re опускают и получают символическое выражение:
Выражение (5) не следует принимать буквально. Часто формально упрощают (5):
где $A=ae^{i \delta}$ -- комплексная амплитуда колебания. Комплексный характер амплитуды $А$ обозначает, что колебание имеет начальную фазу неравную нулю.
Для того чтобы раскрыть физический смысл выражения типа (6), предположим, что частота колебаний (${\omega }_0$) имеет вещественную и мнимую части, и ее можно представить как:
Тогда выражение (6) можно записать как:
В том случае, если ${\omega }2>0,$ то выражение (8) описывает затухающие гармонические колебания с круговой частотой $\omega1$ и показателем затухания ${\omega }_2$. Если ${\omega }_2
Замечание
Над комплексными величинами можно проводить многие математические операции так, как будто величины являются вещественными. Операции возможны, если они сами линейны и вещественны (такими являются сложение, умножение, дифференцирование по вещественной переменной и другие, но не все). Надо помнить, что комплексные величины сами по себе не соответствуют никаким физическим величинам.
Метод векторных диаграмм
Пусть точка $A$ равномерно вращается по окружности радиуса $r$ (рис.1), скорость ее вращения ${\omega }_0$.
Рисунок 1.
Положение точки $А$ на окружности можно задать с помощью угла $\varphi $. Этот угол равен:
где $\delta =\varphi (t=0)$ величина угла поворота радиус-вектора $\overrightarrow{r}$ в начальный момент времени. Если точка $М$ вращается, то ее проекция на $ось X$ движется по диаметру окружности, совершая гармонические колебания между точками $М$ $N$. Абсциссу точки $А$ можно записать как:
Подобным способом можно представлять колебания любых величин.
Необходимо только принять изображение величины, которая совершает колебания абсциссой точки $А$, которая равномерно вращается по окружности. Можно, конечно использовать и ординату:
Замечание 1
Для того чтобы представлять затухающие колебания, надо брать не окружность, а логарифмическую спираль, которая приближается к фокусу. Если скорость приближения движущейся по спирали точки постоянна и очка движется к фокусу, то проекция этой точки на $ось X$ даст формулы затухающих колебаний.
Замечание 2
Вместо точки можно использовать радиус-вектор, который будет равномерно вращаться вокруг начала координат. Тогда величина, которая совершает гармонические колебания, будет изображаться как проекция этого вектора на $ось X$. При этом математические операции над величиной $x$ заменяют операциями над вектором.
Так операцию суммирования двух величин:
удобнее заменить суммированием двух векторов (используя правило параллелограмма). Векторы выбрать так, что их проекции на избранную $ось X$ являются выражениями $x_1\ и\ x_2$. Тогда результат операции суммирования векторов в проекции на ось абсцисс будет равен $x_1+\ x_2$.
Пример 1
Продемонстрируем применение метода векторных диаграмм.
Итак, представим комплексные числа векторами на комплексной плоскости. Величина, изменяющаяся по гармоническому закону, изображена вектором, который вращается с частотой ${\omega }0$ вокруг своего начала против часовой стрелки. Длина вектора равна амплитуде колебаний.
Графический метод решения, например, уравнения:
где $Z=R+i(\omega L-\frac{1}{\omega C})$ -- импеданс, представим с помощью рис.2. На этом рисунке изображена векторная диаграмма напряжений в цепи переменного тока.
Рисунок 2.
Учтем, что умножение комплексной величины на комплексную единицу означает ее поворот на угол $90^0$ против часовой стрелки, а умножение на ($-i$) на тот же угол по часовой стрелке. Из рис.2 ледует, что:
где $-\frac{\pi }{2}\le \varphi \le \frac{\pi }{2}.$ Изменение угла $\varphi $ зависит от соотношения между импедансами элементов цепи и частотами. Внешнее напряжение может изменяться по фазе, от совпадающего с напряжением на индуктивности, до совпадающего с напряжением на емкости. Выражается это обычно в виде отношения между фазами напряжений на элементах цепи и фазой внешнего напряжения:
Фаза напряжения на индуктивности ${(U}L=i\omega LI)$ всегда опережает фазу внешнего напряжения на угол от $0$ до $\pi .$
Фаза напряжения на емкости ${(U}C=-\frac{iI}{\omega C}$) всегда отстает от фазы внешнего напряжения на угол между $0$ и --$\ \pi .$
При этом фаза на сопротивлении может как опережать, так и отставать от фазы внешнего напряжения на угол между- $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}$.
Векторная диаграмма (рис.2) позволяет сформулировать следующее:
Фаза напряжения на индуктивности опережает фазу силы тока на $\frac{\pi }{2}$.
Фаза напряжения на емкости отстает на $\frac{\eth }{2}\ $от фазы силы тока.
Фаза напряжения на сопротивлении совпадает с фазой силы тока.
Пример 2
Задание: Продемонстрируйте то, что операцию возведения в квадрат нельзя применять к комплексным величинам как к вещественным числам.
Решение:
Допустим, что надо возвести в квадрат вещественное число $x$. Правильный ответ: $x^2$. Формально применим комплексный метод. Произведем замену:
$x\to x+iy$. Возведем полученное выражение в квадрат, получим:
\[{\left(x+iy\right)}^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]
Вещественная часть выражения (2.1) равна:
\[{Re\left(x+iy\right)}^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]
Причина ошибки в том, что операция возведения в квадрат не является линейной.
Вынужденные колебания. Резонанс.
До сих пор мы рассматривали собственные колебания, колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие было нужно лишь для того, чтобы вывести систему из состояния равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Дифференциальное уравнение собственных колебаний вообще не содержит следов внешнего воздействия на систему: это воздействие отражается лишь в начальных условиях.
Установление колебаний.
Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.
Синусоидальное воздействие.
Рассмотрим вначале наиболее простой случай вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы, изменяющейся по синусоидальному закону.
Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различными способами. Например, можно взять маятник в виде шарика на длинном стержне и длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано на рис. 178. Другой конец горизонтально расположенной пружины следует заставить двигаться по закону В с помошью кривошипно-шатунного механизма, приводимого в движение электромотором. Действующая на маятник со стороны пружины вынуждающая сила будет практически синусоидальна, если размах движения левого конца пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятника в точке закрепления пружины.
Уравнение движения.
У равнение движения для этой и других подобных систем, в которых наряду с возвращающей силой и силой сопротивления на осциллятор действует вынуждающая внешняя сила, синусоидально изменяющаяся со временем, можно записать в видеЗдесь левая часть в соответствии со вторым законом Ньютона, является произведением массы на ускорение. Первый член в правой части представляет собой возвращающую силу, пропорциональную смещению из положения равновесия. Для подвешенного на пружине груза это упругая сила, а во всех других случаях, когда ее физическая природа иная, эту силу называют квазиупругой. Второе слагаемое есть сила трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления воздуха или сила трения в оси. Амплитуду и частоту со раскачивающей систему вынуждающей силы будем считать постоянными.Разделим обе части уравнения на массу и введем обозначенияВ отсутствие вынуждающей силы правая часть уравнения обращается в нуль и оно, как и следовало ожидать, сводится к уравнению собственных затухающих колебаний.Опыт показывает, что во всех системах под действием синусоидальной внешней силы в конце концов устанавливаются колебания, которые также происходят по синусоидальному закону с частотой вынуждающей силы со и с постоянной амплитудой а, но с некоторым сдвигом по фазе относительно вынуждающей силы. Такие колебания называются установившимися вынужденными колебаниями.Установившиеся колебания. Рассмотрим вначале именно установившиеся вынужденные колебания, причем для простоты пренебрежем трением. В этом случае в уравнении не будет члена, содержащего скорость.Попробуем искать решение, соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, в видеВычислим вторую производную и подставим ее вместе в уравнениеЧтобы это равенство было справедливо в любой момент времени, коэффициенты при слева и справа должны быть одинаковы. Из этого условия находим амплитуду колебаний. Исследуем зависимость амплитуды а от частоты со вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 179. Подставив сюда значения, видим, что постоянная во времени сила просто смещает осциллятор в новое положение равновесия, сдвинутое от старого. Из следует, что при смещениеФазовые соотношения. По мере роста частоты со вынуждающей силы от установившиеся коле- рис. 179. график зависимости происходят в фазе с вынуждающей силой, а их амплитуда постоянно увеличивается, сначала медленно, а по мере приближения к все быстрее и быстрее при амплитуда колебаний неограниченно возрастает.При значениях, превосходящих частоту собственных колебаний, формула дает для а отрицательное значение (рис. 179). Из формулы ясно, что при колебания происходят в противофазе с вынуждающей силой: когда сила действует в одну сторону, осциллятор смещен в противоположную. При неограниченном увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда колебаний стремится к нулю.
Амплитуду колебаний во всех случаях удобно считать положительной, чего легко добиться, вводя сдвиг фаз между вынуждающей Здесь а по-прежнему дается формулой, а сдвиг фазы равен нулю при. Графики зависимости от частоты вынуждающей силы показаны на рис. 180.
Резонанс.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы имеет немонотонный характер. Резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты со вынуждающей силы к собственной частоте со0 осциллятора называется резонансом.Формула дает выражение для амплитуды вынужденных колебаний в пренебрежении трением. Именно с этим пренебрежением связано обращение амплитуды колебаний в бесконечность при точном совпадении частот. Реально амплитуда колебаний в бесконечность, конечно же, обращаться не может.Это означает, что при описании вынужденных колебаний вблизи резонанса учет трения принципиально необходим. При учете трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе получается конечной. Она будет тем меньше, чем больше трение в системе. Вдали от резонанса формулой можно пользоваться для нахождения амплитуды колебаний и при наличии трения, если оно не слишком сильное. Более того, эта формула, полученная без учета трения, имеет физический смысл только тогда, когда трение все же есть. Дело в том, что само понятие установившихся вынужденных колебаний применимо только к системам, в которых есть трение.
Если бы трения совсем не было, то процесс установления колебаний продолжался бы бесконечно долго. Реально это означает, что полученное без учета трения выражение для амплитуды вынужденных колебаний будет правильно описывать колебания в системе только спустя достаточно большой промежуток времени после начала действия вынуждающей силы. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что уже закончился переходный процесс, длительность которого совпадает с характерным временем затухания собственных колебаний в системе. При малом трении установившиеся вынужденные колебания происходят в фазе с вынуждающей силой при со и в противофазе при, как и в отсутствие трения. Однако вблизи резонанса фаза меняется не скачком, а непрерывно, причем при точном совпадении частот смещение отстает по фазе от вынуждающей силы на (на четверть периода). Скорость изменяется при этом в фазе с вынуждающей силой, что обеспечивает наиболее благоприятные условия для передачи энергии от источника внешней вынуждающей силы к осциллятору.
Какой физический смысл имеет каждый из членов в уравнении, описывающем вынужденные колебания осциллятора?
Что такое установившиеся вынужденные колебания?
При каких условиях можно использовать формулу для амплитуды установившихся вынужденных колебаний, полученную без учета трения?
Что такое резонанс? Приведите известные вам примеры проявления и использования явления резонанса.
Опишите сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смешением при разных соотношениях между частотой в вынуждающей силы и собственной частотой осциллятора.
Чем определяется длительность процесса установления вынужденных колебаний? Дайте обоснование ответа.
Векторные диаграммы.
Убедиться в справедливости приведенных выше утверждений можно, если получить решение уравнения, описывающее установившиеся вынужденные колебания при наличии трения. Поскольку установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы со и некоторым сдвигом по фазе, то решение уравнения, соответствующее таким колебаниям, следует искать в видеПри этом скорость и ускорение, очевидно, тоже будут изменяться со временем по гармоническому закону.Амплитуду а установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фазы удобно определять с помощью векторных диаграмм. Воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с частотой со, а его неизменная длина равна амплитудному значению этой осциллирующей величины. В соответствии с этим сопоставим каждому члену уравнения вращающийся с угловой скоростью вектор, длина которого равна амплитудному значению этого члена.Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов, то уравнение означает, что сумма векторов, сопоставляемых членам, стоящим в левой части, равна вектору, сопоставляемому величине, стоящей в правой части. Чтобы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех членов левой части уравнения, учитывая соотношения.Из формул видно, что вектор длины, сопоставляемый величине, опережает на угол вектор, сопоставляемый величине. Вектор длины, сопоставляемый члену, опережает на вектор длины. эти векторы направлены в противоположные стороны.
Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента времени показано на рис. 181. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью со против часовой стрелки вокруг точки. Мгновенные значения всех величинполучаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное направление. Вектор, сопоставляемый правой части уравнения, равен сумме векторов, изображенных на рис. 181. Это сложение показано на рис. 182. Применяя теорему Пифагора, получаем откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний.Сдвиг фазы между вынуждающей силой и смещением, как видно из векторной диаграммы на рис. 182, отрицателен, так как вектор длины отстает от вектора. ПоэтомуИтак, установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону, где определяются формулами.
Резонансные кривые.
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты со вынуждающей силы. При малом затухании у эта зависимость имеет очень резкий характер. Если, то при стремлении со к частоте свободных колебаний амплитуда вынужденных колебаний а стремится к бесконечности, что совпадает с полученным ранее результатом. При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же величины, но имеющей частоту, далекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на рис. 183.
Для нахождения частоты резонанса сорез, нужно найти, при каком со подкоренное выражение в формуле имеет минимум. Приравнивая производную этого выражения по со нулю или дополняя его до полного квадрата, убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при Резонансная частота оказывается меньше частоты свободных колебаний системы. При малых у резонансная частота практически совпадает. При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности при, амплитуда а, как видно, стремится к нулю при действии постоянной внешней силы. Это есть статическое смещение осциллятора из положения равновесия под действием постоянной силы.Максимальная амплитуда. Амплитуду вынужденных колебаний в резонансе находим, подставляя частоту из в выражение.Амплитуда колебаний в резонансе тем больше, чем меньше постоянная затухания. При изучении вынужденных колебаний вблизи резонанса трением пренебрегать нельзя, как бы мало оно ни было: только при учете затухания амплитуда в резонансе яре, получается конечной.Интересно сравнить значение со статическим смещением под действием силы. Составляя отношение, получаем при малом затуханииПодставляя сюда и учитывая, что есть время жизни собственных затухающих колебаний для той же системы в отсутствие внешних сил, находимНо есть число колебаний, совершаемых затухающим осциллятором за время жизни колебаний. Таким образом, резонансные свойства системы характеризуются тем же параметром, что и собственные затухающие колебания.Фазовые соотношения. Формула дает возможность проанализировать изменение сдвига фазы между внешней силой и смещением, при вынужденных колебаниях. При значение д близко к нулю. Это означает, что при низких частотах смещение осциллятора происходит в фазе с внешней силой. При медленном вращении кривошипа на рис. 178 маятник движется в такт с правым концом шатуна.Если стремится к нулю со стороны отрицательных значений,сдвиг фазы равен и смещение осциллятора происходит в противофазе с вынуждающей силой. В резонансе, как видно из, смещение отстает по фазе от внешней силы. Вторая из формул показывает, что при этом внешняя сила изменяется в фазе со скоростью все время действует в направлении движения. Что именно так и должно быть, ясно из интуитивных соображений.Резонанс скорости. Из формулы видно, что амплитуда колебаний скорости при установившихся вынужденных колебаниях равна. С помощью получаемЗависимость амплитуды скорости от частоты внешней силы показана на рис. 184. Резонансная кривая для скорости хотя и похожа на резонансную кривую для смещения, но отличается от нее в некоторых отношениях. Так, при при действии постоянной силы, осциллятор испытывает статическое смещение из положенияравновесия и скорость его после того, как закончится переходный процесс, равна нулю. Из формулы видно, что амплитуда скорости при обращается в нуль. Резонанс скорости имеет место при точном совпадении частоты внешней силы с частотой свободных колебаний.
Гармонические колебания
Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:
F(x) = A sin (ωt + φ),
Где A - длина вектора (амплитуда колебаний), φ - начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω - угловая скорость вращения, которая равна:
ω=2 πf, где f - частота в Герцах.
Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.
Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии . Для примера возьмём пилообразный сигнал.
Пилообразный сигнал
Его сумма будет представлена следующей формулой:
Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:
Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:
Вектора рисуют пилу.
Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.
Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.
Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)
Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.
Переходим к практическим упражнениям!
Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами:).
Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.
Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно .
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.
Для формирования звукового файла был взят пример . Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут
Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:
#define S_RATE (44100) //частота дискретизации
#define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 second buffer */
….
int main(int argc, char * argv)
{
...
float amplitude = 32000; //берём максимальную возможную амплитуду
float freq_Hz = 100; //частота сигнала
/* fill buffer with a sine wave */
for (i=0; i Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению, которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767). В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу: Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра) Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах. Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью. Для начала алокируем массивы: C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // массив поворотных множителей
in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //входный массив
out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //выходной массив
Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла). While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) {
in[j]=(float)value;
j+=2;
if (j > 2*size_array) break;
}
Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность {re, im, re, im,… re, im}, где fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком: Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));
Логарифм от количество байт в данных, делённых на количество байт в одной точке. После этого считаем поворотные множители: Fft_make(p2,c);// функция расчёта поворотных множителей для БПФ (первый параметр степень двойки, второй алокированный массив поворотных множителей).
И скармливаем наш считанный массив в преобразователь Фурье: Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(единица означает, что мы получаем нормализованный массив).
На выходе мы получаем комплексные числа вида {re, im, re, im,… re, im}. Для тех, кто не знает, что такое комплексное число, поясню. Я не зря начал эту статью с кучи вращающихся векторов и кучи гифок. Так вот, вектор на комплесной плоскости определяется действительной координатой a1 и мнимой координатой a2. Или длиной (это у нас амплитуда Am) и углом Пси (фаза). Обратите внимание, что size_array=2^p2. Первая точка массива соответствует частоте 0 Гц (постоянная), последняя точка соответствует частоте дискретизации, а именно 44100 Гц. В результате мы должны рассчитать частоту, соответствующей каждой точке, которые будут отличаться на частоту дельта: Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //частота дискретизации на размер массива.
Алокируем массив амплитуд: Double * ampl;
ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));
И смотрим на картинку: амплитуда - это длина вектора. А у нас есть его проекции на действительную и мнимую ось. В результате у нас будет прямоугольный треугольник, и тут мы вспоминаем теорему Пифагора, и считаем длину каждого вектора, и сразу пишем её в текстовый файл: For(i=0;i<(size_array);i+=2) {
fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out)));
cur_freq+=delta;
}
…
11.439514 10.943008
11.607742 56.649738
11.775970 15.652428
11.944199 21.872342
12.112427 30.635371
12.280655 30.329171
12.448883 11.932371
12.617111 20.777617
...
Теперь скармливаем получившейся программе тот звуковой файл синуса ./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav
format: 16 bits, PCM uncompressed, channel 1, freq 44100, 88200 bytes per sec, 2 bytes by capture, 2 bits per sample, 882000 bytes in data
chunk=441000
log2=18
size array=262144
wav format
Max Freq = 99.928 , amp =7216.136
И получаем текстовый файл АЧХ. Строим его график с помощью гнуплота Скрипт для построения: #! /usr/bin/gnuplot -persist
set terminal postscript eps enhanced color solid
set output "result.ps"
#set terminal png size 800, 600
#set output "result.png"
set grid xtics ytics
set log xy
set xlabel "Freq, Hz"
set ylabel "Amp, dB"
set xrange
#set yrange
plot "test.txt" using 1:2 title "AFC" with lines linestyle 1
Обратите внимание на ограничение в скрипте на количество точек по X: set xrange . Частота дискретизации у нас 44100, а если вспомнить теорему Котельникова, то частота сигнала не может быть выше половины частоты дискретизации, следовательно сигнал выше 22050 Гц нас не интересует. Почему так, советую прочитать в специальной литературе. Обратите внимание на резкий пик на частоте 100 Гц. Не забывайте, что по осям - логарифмический масштаб! Шерсть справа, как я думаю, ошибки преобразования Фурье (тут на память приходят окна). А давайте! Давайте поглядим спектры других сигналов! Double d_random(double min, double max)
{
return min + (max - min) / RAND_MAX * rand();
}
Она будет генерировать случайное число в заданном диапазоне. В результате main будет выглядеть так: Int main(int argc, char * argv)
{
int i;
float amplitude = 32000;
srand((unsigned int)time(0)); //инициализируем генератор случайных чисел
for (i=0; i Сгенерируем файл , (рекомендую к прослушиванию). Поглядим его в audacity. Поглядим спектр в программе audacity. И поглядим спектр с помощью нашей программы: Хочу обратить внимание на очень интересный факт и особенность шума - он содержит в себе спектры всех гармоник. Как видно из графика, спектр вполне себе ровный. Как правило, белый шум используется для частотного анализа пропускной способности, например, аудиоаппаратуры. Существуют и другие виды шумов: розовый, синий и другие
. Домашнее задание - узнать, чем они отличаются. А теперь давайте посмотрим другой интереснейший сигнал - меандр. Я там выше приводил табличку разложений различных сигналов в ряды Фурье, вы поглядите как раскладывается меандр, выпишите на бумажку, и мы продолжим. Для генерации меандра с частотой 25 Гц мы модифицируем в очередной раз наш генератор wav-файла: Int main(int argc, char * argv)
{
int i;
short int meandr_value=32767;
/* fill buffer with a sine wave */
for (i=0; i В результате получим звуковой файл (опять же, советую послушать), который сразу надо посмотреть в audacity Не будем томиться и поглядим его спектр: Пока не очень что-то понятно, что такое… А давайте поглядим несколько первых гармоник: Совсем другое дело! Ну-ка поглядим табличку. Смотрите-ка, у нас есть только 1, 3, 5 и т.д., т.е. нечётные гармоники. Мы так и видим, что у нас первая гармоника 25 Гц, следующая (третья) 75 Гц, затем 125 Гц и т.д., при этом у нас амплитуда постепенно уменьшается. Теория сошлась с практикой! Эта картинка прям как картинка из википедии , где для примера меандра берутся не все частоты, а только первые несколько. Меандр так же активно используется в радиотехнике (надо сказать, что - это основа всей цифровой техники), и стоит понимать что при длинных цепях его может отфильтровать так, что, родная мама не узнает. Его так же используют для проверки АЧХ различных приборов. Ещё интересный факт, что глушилки телевизоров работали именно по принципу высших гармоник, когда сама микросхема генерировала меандр десятки МГц, а его высшие гармоники могли иметь частоты сотни МГц, как раз на частоте работы телевизора, и высшие гармоники успешно глушили сигнал вещания телевизора. Вообще тема подобных экспериментов бесконечная, и вы можете теперь сами её продолжить. Для тех, кто нифига не понял, что мы тут делаем, или наоборот, для тех, кто понял, но хочет разобраться ещё лучше, а так же для студентам, изучающим ЦОС, крайне рекомендую эту книгу. Это ЦОС для чайников, которым является автор данного поста. Там доступным даже для ребёнка языком рассказываются сложнейшие понятия. В заключении хочу сказать, что математика - царица наук, но без реального применения многие люди теряют к ней интерес. Надеюсь, данный пост подстегнёт вас к изучению такого замечательного предмета, как обработка сигналов, и вообще аналоговой схемотехнике (затыкайте уши, чтобы не вытекали мозги!). :) Теги:
Гармоническое колебание x
= a
Cos (wt
+ a) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направление x
вектора , вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w. Длина этого вектора равна амплитуде колебания, а его первоначальное направление образует с осью x
угол, равный начальной фазе колебания - a. Используя это геометрическое толкование, решим задачу о сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и направления. x
= x
1 + x
2 = a
1 Cos (wt
+ a 1) + a
2 Cos (wt
+ a 2). Построим вектор (под углом a 1 к оси x
), изображающий первое колебание. Прибавим к нему векторно вектор , образующий угол a 2 с осью x
(рис. 12.8). Сумма проекций этих векторов на ось x
равна проекции на эту ось вектора , равного сумме и . x
= x
1 + x
2 . Рис. 12.8
Приведем эту векторную диаграмму во вращение с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через начало координат - точку О. При этом равенство x
= x
1 + x
2 сохранится неизменным во времени, хотя сами проекции x
, x
1 и x
2 будут теперь пульсировать по гармоническому закону с одинаковой частотой w и с начальными фазами a, a 1 и a 2 - соответственно. В результате сложения двух колебаний: x
1 = a
1 Cos (wt
+ a 1) и x
2 = a
2 Cos (wt
+ a 2) возникает новое колебание x
= x
1 + x
2 = = a
Cos (wt
+ a), частота которого - w – совпадает с частотой складываемых колебаний. Его амплитуда равна модулю вектора , а начальная фаза a, как следует из рис. 12.8, равна: Для подсчета амплитуды «а
» суммарного колебания, воспользуемся теоремой косинусов: Величина амплитуды результирующего колебания зависит не только от амплитуд складываемых колебаний а
1 и а
2 , но и от разности их начальных фаз. Колебание с максимальной амплитудой, а
= a
max = a
1 + a
2 возникает при сложении синфазных колебаний, то есть когда их начальные фазы совпадают: a 1 = a 2 . Если разность фаз (a 2 – a 1) = p, то амплитуда суммарного колебания будет минимальной a
= a
min = |a
1 – a
2 |. Если амплитуды таких колебаний, происходящих в противофазе, равны (a
1 = a
2), то амплитуда суммарного колебания окажется равной нулю. Этим методом векторных диаграмм нам предстоит в будущем часто пользоваться при сложении не только колебаний, но и волн. Лекция 13 «Механические колебания»
План лекции 1. Энергия гармонического осциллятора. 2. Собственные затухающие колебания. 3. Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.
Чистый ламповый синус
График спектра
это массив комплексных чисел. Я даже боюсь представить, где используется комплексное преобразование Фурье, но в нашем случае мнимая часть у нас равна нулю, а действительная равна значению каждой точке масива.
Ещё одна особенность именно быстрого преобразования Фурье, что оно обсчитывает массивы, кратные только степени двойки. В результате мы должны вычислить минимальную степень двойки:
Вектор на комплексной плоскости
В результате получаем файл примерно такого вида:Пробуем!
Итак (барабанная дробь), запускаем скрипт и лицезреем:
Спектр нашего сигнала
А давайте побалуем?
Вокруг шум…
Для начала построим спектр шума. Тема про шумы, случайные сигналы и т.п. достойна отдельного курса. Но мы её коснёмся слегка. Модифицируем нашу программу генерации wav-файла, добавим одну процедуру:
Сигнал в audacity
Спектр
Наш спектр
А компот?
Его величество - меандр или меандр здорового человека
Спектр меандра
Первые гармоники
А теперь внимание! В реальной жизни сигнал меандра у нас имеет бесконечную сумму гармоник всё более и более высокой частоты, но как правило, реальные электрические цепи не могут пропускать частоты выше какой-то частоты (в силу индуктивности и ёмкости дорожек). В результате на экране осциллографа можно часто увидеть вот такой сигнал:
Меандр курильщика
Сумма первых гармоник, и как меняется сигнал
Книга
Заключение
Удачи!
.
