Risolvi l'equazione utilizzando il metodo della variazione delle costanti online. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Esempi di soluzioni. Metodo di variazione di costanti arbitrarie per costruire una soluzione a un'equazione differenziale lineare disomogenea
Lezione 44. Equazioni lineari disomogenee del secondo ordine. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. (speciale lato destro).
Trasformazioni sociali. Stato e Chiesa.
La politica sociale dei bolscevichi era in gran parte dettata dal loro approccio di classe. Con decreto del 10 novembre 1917, il sistema di classi fu distrutto, i gradi, i titoli e i premi pre-rivoluzionari furono aboliti. È stata stabilita l'elezione dei giudici; fu attuata la secolarizzazione degli stati civili. Furono istituite l'istruzione gratuita e l'assistenza medica (decreto del 31 ottobre 1918). Alle donne furono concessi gli stessi diritti degli uomini (decreti del 16 e 18 dicembre 1917). Il Decreto sul Matrimonio ha introdotto l’istituto del matrimonio civile.
Con decreto del Consiglio dei commissari del popolo del 20 gennaio 1918 la chiesa fu separata dallo stato e dal sistema educativo. La maggior parte dei beni della chiesa furono confiscati. Il 19 gennaio 1918 il patriarca di Mosca e di tutta la Rus' Tikhon (eletto il 5 novembre 1917) anatemizzò il potere sovietico e invocò la lotta contro i bolscevichi.
Consideriamo un'equazione lineare disomogenea del secondo ordine
La struttura della soluzione generale di tale equazione è determinata dal seguente teorema:
Teorema 1. La soluzione generale dell'equazione disomogenea (1) è rappresentata come la somma di una soluzione particolare di questa equazione e della soluzione generale della corrispondente equazione omogenea
Prova. È necessario dimostrare che l'importo
è una soluzione generale dell'equazione (1). Dimostriamo innanzitutto che la funzione (3) è una soluzione dell'equazione (1).
Sostituendo la somma nell'equazione (1) invece di A, avrà
Poiché esiste una soluzione all'equazione (2), l'espressione tra le prime parentesi è identicamente uguale a zero. Poiché esiste una soluzione all'equazione (1), l'espressione tra le seconde parentesi è uguale a f(x). Pertanto, l’uguaglianza (4) è un’identità. La prima parte del teorema è quindi dimostrata.
Dimostriamo la seconda affermazione: l'espressione (3) è generale soluzione dell'equazione (1). Dobbiamo dimostrare che le costanti arbitrarie incluse in questa espressione possono essere selezionate in modo che le condizioni iniziali siano soddisfatte:
qualunque siano i numeri x0,y0 e (se solo x0è stata prelevata dall'area in cui si svolgono le funzioni un 1, un 2 E f(x) continuo).
Notando che può essere rappresentato nella forma . Quindi, in base alle condizioni (5), avremo
Risolviamo questo sistema e determiniamo C1 E C2. Riscriviamo il sistema nella forma:
Si noti che il determinante di questo sistema è il determinante di Wronski per le funzioni alle 1 E alle 2 al punto x=x0. Poiché queste funzioni sono linearmente indipendenti dalla condizione, il determinante di Wronski non è uguale a zero; quindi il sistema (6) ha una soluzione definita C1 E C2, cioè. ci sono tali significati C1 E C2, in base alla quale la formula (3) determina la soluzione dell'equazione (1) che soddisfa le condizioni iniziali date. Q.E.D.
Passiamo al metodo generale per trovare soluzioni parziali di un'equazione disomogenea.
Scriviamo la soluzione generale dell'equazione omogenea (2)
Cercheremo una soluzione particolare all'equazione disomogenea (1) nella forma (7), considerando C1 E C2 come alcune funzioni ancora sconosciute di X.
Differenziamo l'uguaglianza (7):
Selezioniamo le funzioni che stai cercando C1 E C2 in modo che valga l'uguaglianza
Se teniamo conto di questa condizione aggiuntiva, la derivata prima assumerà la forma
Differenziando ora questa espressione, troviamo:
Sostituendo nell'equazione (1), otteniamo
Le espressioni nelle prime due parentesi diventano zero, since sì 1 E sì 2– soluzioni di un'equazione omogenea. Pertanto, l'ultima uguaglianza assume la forma
Pertanto, la funzione (7) sarà una soluzione all'equazione disomogenea (1) se le funzioni C1 E C2 soddisfare le equazioni (8) e (9). Creiamo un sistema di equazioni dalle equazioni (8) e (9).
Poiché il determinante di questo sistema è il determinante di Wronski per soluzioni linearmente indipendenti sì 1 E sì 2 equazione (2), allora non è uguale a zero. Pertanto, risolvendo il sistema, troveremo entrambe le funzioni determinate di X:
Risolvendo questo sistema, troviamo , da dove, come risultato dell'integrazione, otteniamo . Successivamente, sostituiamo le funzioni trovate nella formula, otteniamo una soluzione generale dell'equazione disomogenea, dove sono costanti arbitrarie.
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie
Metodo di variazione di costanti arbitrarie per costruire una soluzione a un'equazione differenziale lineare disomogenea
UN N (T)z (N) (T) + UN N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + UN 1 (T)z"(T) + UN 0 (T)z(T) = F(T)
consiste nel sostituire costanti arbitrarie C K nella soluzione generale
z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C N z N (T)
corrispondente equazione omogenea
UN N (T)z (N) (T) + UN N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + UN 1 (T)z"(T) + UN 0 (T)z(T) = 0
per le funzioni ausiliarie C K (T) , le cui derivate soddisfano il sistema algebrico lineare
Il determinante del sistema (1) è il Wronskiano delle funzioni z 1 ,z 2 ,...,z N , che ne garantisce la risolubilità unica rispetto a .
Se sono derivative per , prese a valori fissi delle costanti di integrazione, allora la funzione
è una soluzione dell'equazione differenziale lineare disomogenea originale. L'integrazione di un'equazione disomogenea in presenza di una soluzione generale alla corrispondente equazione omogenea viene così ridotta a quadrature.
Metodo di variazione di costanti arbitrarie per costruire soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari in forma normale vettoriale
consiste nel costruire una particolare soluzione (1) nella forma
Dove Z(T) è la base delle soluzioni alla corrispondente equazione omogenea, scritta sotto forma di matrice, e la funzione vettoriale , che ha sostituito il vettore delle costanti arbitrarie, è definita dalla relazione . La soluzione particolare richiesta (con valori iniziali pari a zero a T = T 0 assomiglia
Per un sistema a coefficienti costanti l’ultima espressione è semplificata:
Matrice Z(T)Z− 1 (τ) chiamato Matrice di Cauchy operatore l = UN(T) .
Viene considerato un metodo per risolvere equazioni differenziali lineari disomogenee di ordine superiore con coefficienti costanti mediante il metodo di variazione delle costanti di Lagrange. Il metodo di Lagrange è applicabile anche alla risoluzione di eventuali equazioni lineari non omogenee se è noto il sistema fondamentale delle soluzioni dell'equazione omogenea.
ContenutoGuarda anche:
Metodo di Lagrange (variazione delle costanti)
Consideriamo un'equazione differenziale lineare disomogenea con coefficienti costanti di ordine n-esimo arbitrario:
(1)
.
Il metodo di variazione di una costante, che abbiamo considerato per un'equazione del primo ordine, è applicabile anche per le equazioni di ordine superiore.
La soluzione viene eseguita in due fasi. Nel primo passaggio scartiamo il membro di destra e risolviamo l'equazione omogenea. Di conseguenza, otteniamo una soluzione contenente n costanti arbitrarie. Nella seconda fase variamo le costanti. Cioè, crediamo che queste costanti siano funzioni della variabile indipendente x e troviamo la forma di queste funzioni.
Anche se qui stiamo considerando equazioni con coefficienti costanti, ma Il metodo di Lagrange è applicabile anche alla risoluzione di equazioni lineari disomogenee. Per fare ciò, però, è necessario conoscere il sistema fondamentale delle soluzioni dell'equazione omogenea.
Passaggio 1. Risoluzione dell'equazione omogenea
Come nel caso delle equazioni del primo ordine, cerchiamo prima la soluzione generale dell’equazione omogenea, uguagliando a zero il membro disomogeneo di destra:
(2)
.
La soluzione generale di questa equazione è:
(3)
.
Qui ci sono costanti arbitrarie; - n soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea (2), che formano un sistema fondamentale di soluzioni di questa equazione.
Passaggio 2. Variazione delle costanti: sostituzione delle costanti con funzioni
Nella seconda fase ci occuperemo della variazione delle costanti. In altre parole, sostituiremo le costanti con funzioni della variabile indipendente x:
.
Stiamo cioè cercando una soluzione dell'equazione originale (1) nella seguente forma:
(4)
.
Se sostituiamo (4) in (1), otteniamo un'equazione differenziale per n funzioni. In questo caso, possiamo collegare queste funzioni con equazioni aggiuntive. Quindi ottieni n equazioni da cui possono essere determinate n funzioni. Ulteriori equazioni possono essere scritte in vari modi. Ma lo faremo in modo che la soluzione abbia la forma più semplice. Per fare ciò, quando si differenzia, è necessario equiparare a zero i termini contenenti le derivate delle funzioni. Dimostriamolo.
Per sostituire la soluzione proposta (4) nell'equazione originale (1), dobbiamo trovare le derivate dei primi n ordini della funzione scritta nella forma (4). Differenziamo (4) utilizzando le regole di differenziazione di somma e prodotto:
.
Raggruppiamo i membri. Per prima cosa scriviamo i termini con derivate di , e poi i termini con derivate di :
.
Imponiamo la prima condizione alle funzioni:
(5.1)
.
Allora l'espressione per la derivata prima rispetto ad avrà una forma più semplice:
(6.1)
.
Utilizzando lo stesso metodo, troviamo la derivata seconda:
.
Imponiamo una seconda condizione alle funzioni:
(5.2)
.
Poi
(6.2)
.
E così via. In condizioni aggiuntive, equiparamo a zero i termini contenenti derivate di funzioni.
Pertanto, se scegliamo le seguenti equazioni aggiuntive per le funzioni:
(5.k) ,
allora le derivate prime rispetto a avranno la forma più semplice:
(6.k) .
Qui .
Trova la derivata ennesima:
(6.n)
.
Sostituisci nell'equazione originale (1):
(1)
;
.
Teniamo presente che tutte le funzioni soddisfano l'equazione (2):
.
Allora la somma dei termini contenenti zero dà zero. Di conseguenza otteniamo:
(7)
.
Di conseguenza, abbiamo ricevuto un sistema di equazioni lineari per le derivate:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Risolvendo questo sistema, troviamo le espressioni per le derivate in funzione di x. Integrando si ottiene:
.
Ecco le costanti che non dipendono più da x. Sostituendo nella (4), otteniamo una soluzione generale dell'equazione originale.
Si noti che per determinare i valori delle derivate non si è mai utilizzato il fatto che i coefficienti a i siano costanti. Ecco perché Il metodo di Lagrange è applicabile per risolvere qualsiasi equazione lineare non omogenea, se è noto il sistema fondamentale delle soluzioni dell'equazione omogenea (2).
Esempi
Risolvere equazioni utilizzando il metodo della variazione delle costanti (Lagrange).
Soluzione di esempi > > >
Risoluzione di equazioni di ordine superiore utilizzando il metodo Bernoulli
Risoluzione di equazioni differenziali lineari disomogenee di ordine superiore a coefficienti costanti mediante sostituzione lineare
Il metodo della variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato per risolvere equazioni differenziali disomogenee. Questa lezione è destinata a quegli studenti che sono già più o meno esperti nell'argomento. Se hai appena iniziato a prendere confidenza con il telecomando, ad es. Se sei un teiera, ti consiglio di iniziare con la prima lezione: Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni. E se hai già finito, scarta il possibile preconcetto che il metodo sia difficile. Perché è semplice.
In quali casi viene utilizzato il metodo di variazione delle costanti arbitrarie?
1) Per risolvere è possibile utilizzare il metodo della variazione di una costante arbitraria DE lineare disomogeneo del 1° ordine. Poiché l'equazione è del primo ordine, anche la costante è una.
2) Per risolverne alcuni si utilizza il metodo della variazione delle costanti arbitrarie equazioni lineari disomogenee del secondo ordine. Qui variano due costanti.
È logico supporre che la lezione sarà composta da due paragrafi... Così ho scritto questa frase e per circa 10 minuti ho pensato dolorosamente a quali altre sciocchezze intelligenti avrei potuto aggiungere per passare senza intoppi agli esempi pratici. Ma per qualche motivo non ho pensieri dopo le vacanze, anche se non mi sembra di aver abusato di nulla. Andiamo quindi direttamente al primo paragrafo.
Metodo di variazione di una costante arbitraria
per un'equazione lineare disomogenea del primo ordine
Prima di considerare il metodo di variazione di una costante arbitraria, è consigliabile conoscere l'articolo Equazioni differenziali lineari del primo ordine. In quella lezione ci siamo esercitati prima soluzione DE disomogeneo del 1° ordine. Questa prima soluzione, ti ricordo, si chiama metodo di sostituzione O Metodo Bernoulli(da non confondere con Equazione di Bernoulli!!!)
Ora guarderemo seconda soluzione– metodo di variazione di una costante arbitraria. Farò solo tre esempi, e li prenderò dalla lezione suddetta. Perché così pochi? Perché in effetti la soluzione del secondo modo sarà molto simile alla soluzione del primo. Inoltre, secondo le mie osservazioni, il metodo di variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato meno frequentemente rispetto al metodo di sostituzione.
Esempio 1
(Differenza dall'Esempio n. 2 della lezione Equazioni differenziali lineari disomogenee del 1° ordine)
Soluzione: Questa equazione è lineare disomogenea e ha una forma familiare: 
Nella prima fase, è necessario risolvere un'equazione più semplice: 
Cioè, resettiamo stupidamente il lato destro e scriviamo invece zero.
L'equazione chiamerò equazione ausiliaria.
In questo esempio, è necessario risolvere la seguente equazione ausiliaria:
Prima di noi equazione separabile, la cui soluzione (spero) non ti sarà più difficile: 
Così: 
– soluzione generale dell'equazione ausiliaria.
Al secondo passo sostituiremo qualche costante per adesso funzione sconosciuta che dipende da "x":
Da qui il nome del metodo: variamo la costante. In alternativa, la costante potrebbe essere una funzione che ora dobbiamo trovare.
IN originale equazione disomogenea facciamo una sostituzione:
Sostituiamo e 
nell'equazione :
Punto di controllo - i due termini a sinistra si annullano. Se ciò non accade, dovresti cercare l'errore sopra.
Come risultato della sostituzione, è stata ottenuta un'equazione con variabili separabili. Separiamo le variabili e integriamo.
Che benedizione, gli esponenti cancellano anche:
Aggiungiamo una costante “normale” alla funzione trovata:
Nella fase finale, ricordiamo la nostra sostituzione:
La funzione è stata appena trovata!
Quindi la soluzione generale è: 
Risposta: decisione comune: 
Se stampate le due soluzioni noterete facilmente che in entrambi i casi abbiamo trovato gli stessi integrali. L'unica differenza sta nell'algoritmo di soluzione.
Ora, per qualcosa di più complicato, commenterò anche il secondo esempio:
Esempio 2
Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale 
(Differenza dall'Esempio n. 8 della lezione Equazioni differenziali lineari disomogenee del 1° ordine)
Soluzione: Riduciamo l'equazione alla forma :
Ripristiniamo il membro di destra e risolviamo l'equazione ausiliaria:
Soluzione generale dell'equazione ausiliaria:
Nell'equazione disomogenea effettuiamo la sostituzione:
Secondo la regola della differenziazione del prodotto: 
Sostituiamo e nell'equazione disomogenea originale:
I due termini a sinistra si annullano, il che significa che siamo sulla strada giusta: 
Integriamo per parti. La gustosa lettera della formula di integrazione per parti è già coinvolta nella soluzione, quindi utilizziamo, ad esempio, le lettere “a” e “be”:
Ora ricordiamo la sostituzione:
Risposta: decisione comune:
E un esempio per una soluzione indipendente:
Esempio 3
Trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale corrispondente alla condizione iniziale data.
,
(Differenza dall'Esempio n. 4 della lezione Equazioni differenziali lineari disomogenee del 1° ordine)
Soluzione:
Questo DE è lineare disomogeneo. Utilizziamo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Risolviamo l'equazione ausiliaria:
Separiamo le variabili e integriamo: 
Decisione comune: 
Nell'equazione disomogenea effettuiamo la sostituzione: 
Eseguiamo la sostituzione: 
Quindi la soluzione generale è: 
Troviamo una soluzione particolare corrispondente alla condizione iniziale data: 
Risposta: soluzione privata:
La soluzione alla fine della lezione può servire da esempio per portare a termine il compito.
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie
per un'equazione lineare del secondo ordine disomogenea
a coefficienti costanti
Ho spesso sentito l'opinione che il metodo per variare le costanti arbitrarie per un'equazione del secondo ordine non è una cosa facile. Ma presumo quanto segue: molto probabilmente, il metodo sembra difficile a molti perché non si verifica così spesso. Ma in realtà non ci sono particolari difficoltà: il corso della decisione è chiaro, trasparente e comprensibile. E bellissimo.
Per padroneggiare il metodo, è auspicabile essere in grado di risolvere equazioni disomogenee del secondo ordine selezionando una particolare soluzione basata sulla forma del secondo membro. Questo metodo è discusso in dettaglio nell'articolo. DE di 2° ordine disomogenei. Ricordiamo che un'equazione lineare disomogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma:
Il metodo di selezione, discusso nella lezione precedente, funziona solo in un numero limitato di casi quando il lato destro contiene polinomi, esponenziali, seni e coseni. Ma cosa fare quando a destra, ad esempio, c'è una frazione, un logaritmo, una tangente? In una situazione del genere, il metodo di variazione delle costanti viene in soccorso.
Esempio 4
Trovare la soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine 
Soluzione: C'è una frazione sul lato destro di questa equazione, quindi possiamo immediatamente dire che il metodo per selezionare una particolare soluzione non funziona. Utilizziamo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Non ci sono segni di temporale, l'inizio della soluzione è del tutto normale:
Lo troveremo decisione comune adeguata omogeneo equazioni: 
Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica: 
– si ottengono radici complesse coniugate, quindi la soluzione generale è:
Presta attenzione alla registrazione della soluzione generale: se ci sono parentesi, aprile.
Ora facciamo quasi lo stesso trucco dell'equazione del primo ordine: variamo le costanti, sostituendole con funzioni sconosciute. Questo è, soluzione generale di disomogeneo cercheremo le equazioni nella forma:
Dove - per adesso funzioni sconosciute.
Sembra una discarica di rifiuti domestici, ma ora sistemeremo tutto.
Le incognite sono le derivate delle funzioni. Il nostro obiettivo è trovare le derivate e le derivate trovate devono soddisfare sia la prima che la seconda equazione del sistema.
Da dove vengono i “Greci”? Li porta la cicogna. Consideriamo la soluzione generale ottenuta in precedenza e scriviamo:
Troviamo le derivate:
Le parti di sinistra sono state trattate. Cosa c'è a destra?
è il lato destro dell'equazione originale, in questo caso:
Il coefficiente è il coefficiente della derivata seconda:
In pratica, quasi sempre, e il nostro esempio non fa eccezione.
Tutto è chiaro, ora puoi creare un sistema: 
Il sistema è solitamente risolto secondo le formule di Cramer utilizzando l'algoritmo standard. L'unica differenza è che al posto dei numeri abbiamo le funzioni.
Troviamo il principale determinante del sistema: 
Se hai dimenticato come viene rivelato il determinante due per due, fai riferimento alla lezione Come calcolare il determinante? Il collegamento porta al forum della vergogna =)
Quindi: questo significa che il sistema ha una soluzione unica.
Trovare la derivata: 
Ma non è tutto, finora abbiamo trovato solo la derivata.
La funzione stessa viene ripristinata mediante l'integrazione:
Consideriamo la seconda funzione: 
Qui aggiungiamo una costante “normale”.
Nella fase finale della soluzione, ricordiamo in quale forma stavamo cercando una soluzione generale all'equazione disomogenea? In tale:
Le funzioni di cui hai bisogno sono appena state trovate! 
Non resta che effettuare la sostituzione e scrivere la risposta:
Risposta: decisione comune:
In linea di principio la risposta avrebbe potuto allargare le parentesi.
Un controllo completo della risposta viene effettuato secondo lo schema standard, discusso nella lezione. DE di 2° ordine disomogenei. Ma la verifica non sarà facile, poiché è necessario trovare derivati piuttosto pesanti ed effettuare sostituzioni macchinose. Questa è una caratteristica spiacevole quando si risolvono tali diffusori.
Esempio 5
Risolvere un'equazione differenziale variando costanti arbitrarie
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Infatti sul lato destro c'è anche una frazione. Ricordiamo la formula trigonometrica; tra l'altro dovrà essere applicata durante la soluzione.
Il metodo di variazione delle costanti arbitrarie è il metodo più universale. Può risolvere qualsiasi equazione che può essere risolta metodo per selezionare una soluzione particolare in base alla forma del lato destro. La domanda sorge spontanea: perché non utilizzare anche lì il metodo della variazione delle costanti arbitrarie? La risposta è ovvia: la scelta di una soluzione particolare, di cui si è discusso in classe Equazioni disomogenee del secondo ordine, accelera notevolmente la soluzione e accorcia la registrazione, senza problemi con determinanti e integrali.
Diamo un'occhiata a due esempi con Problema di Cauchy.
Esempio 6
Trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale corrispondente alle condizioni iniziali date
, 
Soluzione: Anche in questo caso la frazione e l'esponente si trovano in una posizione interessante.
Utilizziamo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Lo troveremo decisione comune adeguata omogeneo equazioni: 
– si ottengono diverse radici reali, quindi la soluzione generale è:
Soluzione generale di disomogeneo cerchiamo le equazioni nella forma: , dove – per adesso funzioni sconosciute.
Creiamo un sistema:
In questo caso:
,
Trovare le derivate: 
, 
Così: 
Risolviamo il sistema utilizzando le formule di Cramer:
, il che significa che il sistema ha una soluzione unica.
Ripristiniamo la funzione mediante integrazione:
Usato qui Metodo per sussumere una funzione sotto il segno differenziale.
Ripristiniamo la seconda funzione mediante integrazione: 
Questo integrale è risolto metodo di sostituzione delle variabili:
Dalla sostituzione stessa esprimiamo:
Così: 
Questo integrale può essere trovato metodo di estrazione quadrato completo, ma negli esempi con diffusori preferisco espandere la frazione metodo dei coefficienti indeterminati:
Entrambe le funzioni trovate:
Di conseguenza, la soluzione generale dell’equazione disomogenea è:
Troviamo una soluzione particolare che soddisfi le condizioni iniziali .
Tecnicamente, la ricerca di una soluzione viene effettuata in modo standard, di cui si è parlato nell'articolo Equazioni differenziali disomogenee del secondo ordine.
Aspetta, ora troveremo la derivata della soluzione generale trovata:
Questa è una vera vergogna. Non è necessario semplificarlo, è più semplice creare immediatamente un sistema di equazioni. Secondo le condizioni iniziali :
Sostituiamo i valori trovati delle costanti 
alla soluzione generale:
Nella risposta, i logaritmi possono essere leggermente compressi.
Risposta: soluzione privata: 
Come puoi vedere, possono sorgere difficoltà negli integrali e nelle derivate, ma non nell'algoritmo stesso del metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Non sono io che ti ho intimidito, è tutta la collezione di Kuznetsov!
Per rilassarti, un ultimo esempio più semplice per risolverlo da solo:
Esempio 7
Risolvi il problema di Cauchy
, 
L'esempio è semplice, ma creativo, quando crei un sistema guardalo attentamente prima di decidere ;-),
Di conseguenza, la soluzione generale è:
Troviamo una soluzione particolare corrispondente alle condizioni iniziali .
Sostituiamo i valori trovati delle costanti nella soluzione generale:
Risposta: soluzione privata:
Consideriamo ora l'equazione lineare disomogenea
. (2)
Sia y 1 ,y 2 ,.., y n un sistema fondamentale di soluzioni, e sia la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea L(y)=0. Analogamente al caso delle equazioni del primo ordine, cercheremo una soluzione all'equazione (2) nella forma
. (3)
Assicuriamoci che esista una soluzione in questa forma. Per fare ciò, sostituiamo la funzione nell'equazione. Per sostituire questa funzione nell'equazione, troviamo le sue derivate. La derivata prima è uguale a 
. (4)
Quando si calcola la derivata seconda, appariranno quattro termini sul lato destro di (4), quando si calcola la derivata terza, appariranno otto termini e così via. Pertanto, per comodità di ulteriori calcoli, il primo termine in (4) è posto uguale a zero. Tenendo conto di ciò, la derivata seconda è uguale a 
. (5)
Per gli stessi motivi di prima, anche nella (5) poniamo il primo termine uguale a zero. Infine, la derivata ennesima è 
. (6)
Sostituendo i valori ottenuti delle derivate nell'equazione originale, abbiamo 
. (7)
Il secondo termine della (7) è uguale a zero, poiché le funzioni y j , j=1,2,..,n, sono soluzioni della corrispondente equazione omogenea L(y)=0. Combinando con il precedente, otteniamo un sistema di equazioni algebriche per trovare le funzioni C" j (x) 
(8)
Il determinante di questo sistema è il determinante di Wronski del sistema fondamentale di soluzioni y 1 ,y 2 ,..,y n della corrispondente equazione omogenea L(y)=0 e quindi non è uguale a zero. Di conseguenza esiste un’unica soluzione del sistema (8). Trovatolo, otteniamo le funzioni C" j (x), j=1,2,…,n, e, di conseguenza, C j (x), j=1,2,…,n Sostituendo questi valori in (3), otteniamo una soluzione ad un'equazione lineare disomogenea.
Il metodo presentato è chiamato metodo di variazione di una costante arbitraria o metodo di Lagrange.
Esempio n. 1. Troviamo la soluzione generale dell'equazione y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Consideriamo la corrispondente equazione omogenea y"" + 4y" + 3y = 0. Le radici della sua equazione caratteristica r 2 + 4r + 3 = 0 sono uguali a -1 e - 3. Pertanto, il sistema fondamentale di soluzioni di un'equazione omogenea è costituito dalle funzioni y 1 = e - x e y 2 = e -3 x. Cerchiamo una soluzione all'equazione disomogenea nella forma y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Per trovare le derivate C" 1 , C" 2 componiamo un sistema di equazioni (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
risolvendo il quale, troviamo, Integrando le funzioni ottenute, abbiamo 
Finalmente otteniamo
Esempio n.2. Risolvi equazioni differenziali lineari del secondo ordine con coefficienti costanti utilizzando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie: 
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Soluzione:
Questa equazione differenziale si riferisce a equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti.
Cercheremo una soluzione dell'equazione nella forma y = e rx. Per fare ciò, componiamo l'equazione caratteristica di un'equazione differenziale omogenea lineare a coefficienti costanti:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Radici dell'equazione caratteristica: r 1 = 4, r 2 = 2
Di conseguenza il sistema fondamentale delle soluzioni è costituito dalle funzioni: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
La soluzione generale dell'equazione omogenea ha la forma: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Cerca una soluzione particolare con il metodo della variazione di una costante arbitraria.
Per trovare le derivate di C" i componiamo un sistema di equazioni:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′1 (4e 4x) + C′2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Esprimiamo C" 1 dalla prima equazione:
C"1 = -c2e -2x
e sostituirlo nel secondo. Di conseguenza otteniamo:
C"1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C"2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integriamo le funzioni ottenute C" i:
C1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Poiché y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, scriviamo le espressioni risultanti nella forma:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
O
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Troviamo una soluzione particolare sotto la condizione:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Sostituendo x = 0 nell'equazione trovata, otteniamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Troviamo la derivata prima della soluzione generale ottenuta:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Sostituendo x = 0, otteniamo:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Otteniamo un sistema di due equazioni:
3ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C1 + 2C2 +10ln(3) -4 = 10ln3
O
C*1+C*2=2
4CH 1 + 2CH 2 = 4
O
C*1+C*2=2
2C1 + C2 = 2
Da: C 1 = 0, C * 2 = 2
La soluzione privata sarà scritta come:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
