Sistema di composizione omogeneo. Sistema decisionale fondamentale (caso di studio)
Soluzione trovare con una calcolatrice. L'algoritmo di soluzione è lo stesso dei sistemi lineari equazioni omogenee.
Operando solo con le righe, troviamo il rango della matrice, la base minore; dichiariamo incognite dipendenti e libere e troviamo la soluzione generale.
La prima e la seconda riga sono proporzionali, una di queste verrà eliminata:
.
Variabili dipendenti - x 2, x 3, x 5, libere - x 1, x 4. Dalla prima equazione 10x 5 = 0 troviamo quindi x 5 = 0
; .
La soluzione generale è simile a:
Troviamo il sistema fondamentale di soluzioni, che consiste di (n-r) soluzioni. Nel nostro caso n=5, r=3, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è costituito da due soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti. Affinché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta dagli elementi delle righe sia pari al numero di righe, cioè 2. È sufficiente dare le incognite libere x 1 e x 4 valori dalle righe del determinante del secondo ordine, che è diverso da zero, e calcola x 2 , x 3 , x 5 . Il determinante più semplice diverso da zero è .
Quindi la prima soluzione è:
, il secondo - 
.
Queste due decisioni costituiscono il sistema decisionale fondamentale. Si noti che il sistema fondamentale non è unico (i determinanti diversi da zero possono essere composti quanti si vuole).
Esempio 2. Trovare la soluzione generale e il sistema fondamentale delle soluzioni del sistema 
Soluzione.
,
ne consegue che il rango della matrice è 3 e è uguale al numero sconosciuto. Ciò significa che il sistema non ha incognite libere, e quindi le ha unica decisione- banale.
Esercizio . Esplora e risolvi il sistema equazioni lineari.
Esempio 4
Esercizio . Trovare soluzioni generali e particolari per ciascun sistema.
Soluzione. Scriviamo la matrice principale del sistema:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Portiamo la matrice a triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e sommarla a un'altra riga del sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e aggiungerla a un'altra equazione, il che non cambia la soluzione del sistema .
Moltiplica la seconda riga per (-5). Aggiungiamo la 2a riga alla 1a:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Moltiplica la seconda riga per (6). Moltiplica la terza riga per (-1). Aggiungiamo la 3a riga alla 2a:
Trova il rango della matrice.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
L'illustre minore ha ordine più alto(dei minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale reciproca), quindi rang(A) = 2.
Questo minore è basilare. Include coefficienti per l'incognita x 1, x 2, il che significa che le incognite x 1, x 2 sono dipendenti (di base) e x 3, x 4, x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo la fondamentale minore.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x1 | x2 | x4 | x3 | x5 |
Il sistema con i coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale ed ha la forma:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Con il metodo di eliminazione delle incognite, troviamo soluzione non banale:
Abbiamo ottenuto relazioni che esprimono variabili dipendenti x 1 ,x 2 tramite x 3 ,x 4 ,x 5 libere , cioè abbiamo trovato decisione comune:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x1 = - 0,55x4 - 1,82x3 - 0,64x5
Troviamo il sistema fondamentale di soluzioni, che consiste di (n-r) soluzioni.
Nel nostro caso n=5, r=2, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è formato da 3 soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti.
Affinché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta dagli elementi delle righe sia pari al numero di righe, cioè 3.
È sufficiente dare alle incognite libere valori x 3 ,x 4 ,x 5 dalle righe del determinante del 3° ordine, diversi da zero, e calcolare x 1 ,x 2 .
Il determinante diverso da zero più semplice è la matrice identità.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Compito . Trovare un insieme fondamentale di soluzioni sistema omogeneo equazioni lineari.
Dati della matrice
Trova: 1) aA - bB,
Soluzione: 1) Troviamo in sequenza, utilizzando le regole per moltiplicare una matrice per un numero e aggiungere matrici ..
2. Trova A*B se
Soluzione: Utilizza la regola della moltiplicazione della matrice
Risposta: 
3. Per una data matrice, trova il minore M 31 e calcola il determinante.
Soluzione: Minore M 31 è il determinante della matrice che si ottiene da A
dopo aver eliminato la riga 3 e la colonna 1. Trova
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Trasformiamo la matrice A senza cambiarne il determinante (creiamo zeri nella riga 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Ora calcoliamo il determinante della matrice A espandendo lungo la riga 1
Risposta: M 31 = 0, detA = 0
Risolvere utilizzando il metodo di Gauss e il metodo di Cramer.
2x1 + x2 + x3 = 2
x1 + x2 + 3x3 = 6
2x1 + x2 + 2x3 = 5
Soluzione: Controlliamo
Puoi usare il metodo di Cramer
Soluzione di sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Applichiamo il metodo di Gauss.
Riduciamo la matrice estesa del sistema ad una forma triangolare.
Per comodità di calcolo scambiamo le righe:
Moltiplicare la seconda riga per (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) e aggiungi al 3°:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Moltiplicare la prima riga per (k = -2 / 2 = -1 ) e aggiungi al 2°:
Ora il sistema originale può essere scritto come:
x1 = 1 - (1/2 x2 + 1/2 x3)
x2 = 13 - (6x3)
Dalla 2a riga esprimiamo
Dalla prima riga esprimiamo
La soluzione è la stessa.
Risposta: (2; -5; 3)
Trovare la soluzione generale del sistema e della FSR
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 6x5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Soluzione: Applicare il metodo di Gauss. Riduciamo la matrice estesa del sistema ad una forma triangolare.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Moltiplica la prima riga per (-11). Moltiplica la seconda riga per (13). Aggiungiamo la 2a riga alla 1a:
| -2 | -2 | -3 | ||
Moltiplica la seconda riga per (-5). Moltiplica la terza riga per (11). Aggiungiamo la 3a riga alla 2a:
Moltiplica la terza riga per (-7). Moltiplica la quarta riga per (5). Aggiungiamo la quarta riga alla terza:
La seconda equazione è una combinazione lineare del resto
Trova il rango della matrice.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Il minore selezionato ha l'ordine più alto (tra tutti i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale reciproca), quindi rang(A) = 2.
Questo minore è basilare. Include coefficienti per l'incognita x 1, x 2, il che significa che le incognite x 1, x 2 sono dipendenti (di base) e x 3, x 4, x 5 sono libere.
Il sistema con i coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale ed ha la forma:
18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5
7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5
Con il metodo di eliminazione delle incognite, troviamo decisione comune:
x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
Troviamo il sistema fondamentale di soluzioni (FSR), che consiste di (n-r) soluzioni. Nel nostro caso n=5, r=2, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è formato da 3 soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti.
Affinché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta dagli elementi delle righe sia pari al numero di righe, cioè 3.
È sufficiente dare alle incognite libere valori x 3 ,x 4 ,x 5 dalle righe del determinante del 3° ordine, diversi da zero, e calcolare x 1 ,x 2 .
Il determinante diverso da zero più semplice è la matrice identità.
Ma qui è più conveniente prenderlo
Troviamo utilizzando la soluzione generale:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4Þ
I Decisione FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ
II Decisione FSR: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III decisione FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Dato: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Trova: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Soluzione: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Risposta: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i
Per capire cosa è sistema decisionale fondamentaleè possibile guardare il video tutorial per lo stesso esempio facendo clic su . Passiamo ora alla descrizione di tutto il lavoro necessario. Questo ti aiuterà a comprendere l'essenza di questo problema in modo più dettagliato.
Come trovare il sistema fondamentale delle soluzioni di un'equazione lineare?
Prendiamo ad esempio il seguente sistema di equazioni lineari:
Troviamo una soluzione a questo sistema lineare equazioni. Per cominciare, noi scrivere la matrice dei coefficienti del sistema.
Trasformiamo questa matrice in una triangolare. Riscriviamo la prima riga senza modifiche. E tutti gli elementi che sono sotto $a_(11)$ devono essere azzerati. Per creare uno zero al posto dell'elemento $a_(21)$, devi sottrarre il primo dalla seconda riga e scrivere la differenza nella seconda riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(31)$, devi sottrarre il primo dalla terza riga e scrivere la differenza nella terza riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(41)$, devi sottrarre il primo moltiplicato per 2 dalla quarta riga e scrivere la differenza nella quarta riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(31)$, sottrai il primo moltiplicato per 2 dalla quinta riga e scrivi la differenza nella quinta riga. 
Riscriviamo la prima e la seconda riga senza modifiche. E tutti gli elementi che sono sotto $a_(22)$ devono essere azzerati. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(32)$ è necessario sottrarre il secondo moltiplicato per 2 dalla terza riga e scrivere la differenza nella terza riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(42)$, è necessario sottrarre il secondo moltiplicato per 2 dalla quarta riga e scrivere la differenza nella quarta riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(52)$, sottrai il secondo moltiplicato per 3 dalla quinta riga e scrivi la differenza nella quinta riga. 
Lo vediamo le ultime tre righe sono le stesse, quindi se sottrai la terza dalla quarta e dalla quinta, diventeranno zero. 
Per questa matrice scrivere un nuovo sistema di equazioni.
Vediamo che abbiamo solo tre equazioni linearmente indipendenti e cinque incognite, quindi il sistema fondamentale di soluzioni sarà costituito da due vettori. Quindi noi sposta le ultime due incognite a destra.
Ora cominciamo ad esprimere quelle incognite che si trovano sul lato sinistro attraverso quelle che si trovano sul lato destro. Iniziamo con l'ultima equazione, prima esprimiamo $x_3$, poi sostituiamo il risultato ottenuto nella seconda equazione ed esprimiamo $x_2$, poi nella prima equazione e qui esprimiamo $x_1$. Pertanto, abbiamo espresso tutte le incognite che si trovano sul lato sinistro attraverso le incognite che si trovano sul lato destro. 
Successivamente, invece di $x_4$ e $x_5$, puoi sostituire qualsiasi numero e trovare $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Ciascuno di questi cinque numeri sarà le radici del nostro sistema originale di equazioni. Per trovare i vettori inclusi in FSR dobbiamo sostituire 1 invece di $x_4$ e sostituire 0 invece di $x_5$, trovare $x_1$, $x_2$ e $x_3$, e quindi viceversa $x_4=0$ e $x_5=1$.
Il metodo gaussiano presenta una serie di svantaggi: è impossibile sapere se il sistema è coerente o meno finché non sono state effettuate tutte le trasformazioni necessarie nel metodo gaussiano; il metodo gaussiano non è adatto per sistemi a coefficienti letterali.
Considera altri metodi per risolvere sistemi di equazioni lineari. Questi metodi utilizzano il concetto di rango di una matrice e riducono la soluzione di qualsiasi sistema articolare alla soluzione di un sistema a cui si applica la regola di Cramer.
Esempio 1 Trovare la soluzione generale del seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo ridotto e una soluzione particolare del sistema disomogeneo.
1. Creiamo una matrice UN e la matrice aumentata del sistema (1)
2. Esplora il sistema (1) per compatibilità. Per fare ciò, troviamo i ranghi delle matrici UN e https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" Height="26 src=">). Se risulta così, il sistema (1) incompatibile. Se lo otteniamo , allora questo sistema è coerente e lo risolveremo. (Lo studio della consistenza si basa sul teorema di Kronecker-Capelli).
UN. Noi troviamo RA.
Trovare RA, considereremo successivamente i minori diversi da zero del primo, secondo, ecc. ordine della matrice UN e i minorenni che li circondano.
M1=1≠0 (1 è preso dall'angolo in alto a sinistra della matrice UN).
Confinante M1 la seconda riga e la seconda colonna di questa matrice. 
. Continuiamo al confine M1 la seconda riga e la terza colonna..gif" larghezza="37" altezza="20 src=">. Ora confinamo con il minore diverso da zero М2′ secondo ordine.
Abbiamo: 
(perché le prime due colonne sono uguali)
(perché la seconda e la terza riga sono proporzionali).
Lo vediamo rA=2, ed è la base minore della matrice UN.
B. Noi troviamo .
Minore sufficientemente elementare М2′ matrici UN confine con una colonna di membri liberi e tutte le righe (abbiamo solo l'ultima riga).
. Da ciò consegue che М3" rimane la base minore della matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 altezza=75" altezza="75"> (2)
Perché М2′- base minore della matrice UN sistemi (2) , allora questo sistema è equivalente al sistema (3) , costituito dalle prime due equazioni del sistema (2) (per М2′è nelle prime due righe della matrice A).
(3)
Poiché il minore di base è https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" Height="51"> (4)
In questo sistema, due incognite libere ( x2 E x4 ). Ecco perché FSR sistemi (4) consiste di due soluzioni. Per trovarli, assegniamo incognite gratuite a (4) innanzitutto i valori x2=1 , x4=0 , poi - x2=0 , x4=1 .
A x2=1 , x4=0 noi abbiamo:
.
Questo sistema lo ha già l'unica cosa soluzione (può essere trovata mediante la regola di Cramer o con qualsiasi altro metodo). Sottraendo la prima equazione dalla seconda equazione, otteniamo:
La sua decisione sarà x1= -1 , x3=0 . Dati i valori x2 E x4 , che abbiamo dato, otteniamo il primo decisione fondamentale sistemi (2) : .
Ora inseriamo (4) x2=0 , x4=1 . Noi abbiamo:
.
Risolviamo questo sistema usando il teorema di Cramer:
.
Otteniamo la seconda soluzione fondamentale del sistema (2) : .
Soluzioni β1 , β2 e truccarsi FSR sistemi (2) . Quindi la sua soluzione generale sarà
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Qui C1 , C2 sono costanti arbitrarie.
4. Trovane uno privato soluzione sistema eterogeneo(1) . Come nel paragrafo 3 , invece del sistema (1) consideriamo il sistema equivalente (5) , costituito dalle prime due equazioni del sistema (1) .
(5)
Trasferiamo le incognite libere ai lati di destra x2 E x4.
(6)
Diamo incognite gratuite x2 E x4 valori arbitrari, ad esempio, x2=2 , x4=1 e collegarli (6) . Prendiamo il sistema
Questo sistema ha una soluzione unica (perché il suo determinante М2′0). Risolvendolo (usando il teorema di Cramer o il metodo di Gauss), otteniamo x1=3 , x3=3 . Dati i valori delle incognite libere x2 E x4 , noi abbiamo soluzione particolare di un sistema disomogeneo(1)α1=(3,2,3,1).
5. Ora resta da scrivere soluzione generale α di un sistema disomogeneo(1) : è uguale alla somma decisione privata questo sistema e soluzione generale del suo sistema omogeneo ridotto (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Questo significa: 
(7)
6. Visita medica. Per verificare se hai risolto correttamente il sistema (1) , abbiamo bisogno di una soluzione generale (7) sostituire dentro (1) . Se ogni equazione diventa un'identità ( C1 E C2 dovrebbe essere distrutto), la soluzione viene trovata correttamente.
Sostituiremo (7) ad esempio, solo nell'ultima equazione del sistema (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Otteniamo: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Dove -1=-1. Abbiamo un'identità. Facciamo lo stesso con tutte le altre equazioni del sistema (1) .
Commento. La verifica è solitamente piuttosto complicata. Possiamo consigliare la seguente "verifica parziale": nella soluzione complessiva del sistema (1) assegnare alcuni valori a costanti arbitrarie e sostituire la soluzione particolare risultante solo nelle equazioni scartate (cioè in quelle equazioni da (1) che non sono inclusi (5) ). Se ottieni identità, allora più probabilmente, soluzione del sistema (1) trovato correttamente (ma tale controllo non dà piena garanzia di correttezza!). Ad esempio, se in (7) Mettere C2=- 1 , C1=1, quindi otteniamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Sostituendo nell'ultima equazione del sistema (1), abbiamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , cioè –1=–1. Abbiamo un'identità.
Esempio 2 Trovare la soluzione generale di un sistema di equazioni lineari (1) , esprimendo le principali incognite in termini di libere.
Soluzione. Come in Esempio 1, comporre matrici UN e https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" Height="50"> di queste matrici. Ora lasciamo solo quelle equazioni del sistema (1) , i cui coefficienti sono compresi in questa base minore (cioè abbiamo le prime due equazioni) e consideriamo il sistema costituito da esse, che è equivalente al sistema (1).
Trasferiamo le incognite libere ai membri di destra di queste equazioni.
sistema (9) risolviamo con il metodo gaussiano, considerando le parti giuste come membri liberi.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" larghezza="202 altezza=106" altezza="106">
Opzione 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" larghezza="192" altezza="106 src=">
Opzione 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" larghezza="172" altezza="80">
Opzione 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" larghezza="179 altezza=106" altezza="106">
Opzione 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" larghezza="195" altezza="106">
