Derivate di ordine superiore

In questa lezione impareremo come trovare le derivate di ordine superiore e come scrivere la formula generale per la derivata “ennesima”. Inoltre, la formula di Leibniz per tale derivata e, a grande richiesta, le derivate di ordine superiore di funzione implicita. Ti consiglio di fare subito un mini-test:

Ecco la funzione: ed ecco la sua derivata prima:

In caso di difficoltà/confusione su questo esempio, inizia con i due articoli base del mio corso: Come trovare la derivata? E Derivata di una funzione complessa. Dopo aver imparato le derivate elementari, ti consiglio di leggere la lezione I problemi più semplici con le derivate, di cui ci siamo occupati, in particolare derivata seconda.

Non è difficile nemmeno indovinare che la derivata seconda è la derivata della derivata prima:

In linea di principio, la derivata seconda è già considerata una derivata di ordine superiore.

Allo stesso modo: la derivata terza è la derivata della derivata 2a:

La derivata quarta è la derivata della derivata terza:

Derivata quinta: , ed è ovvio che anche tutte le derivate di ordine superiore saranno pari a zero:

Oltre alla numerazione romana, nella pratica vengono spesso utilizzate le seguenti notazioni:
, la derivata dell'ordine “n-esimo” è indicata con . In questo caso l'apice deve essere racchiuso tra parentesi tonde– distinguere la derivata dalla “y” in grado.

A volte vedi qualcosa del genere: – rispettivamente derivate terza, quarta, quinta, ..., “ennesima”.

Avanti senza paura e senza dubbi:

Esempio 1

La funzione è data. Trovare .

Soluzione: che dire... - vai avanti con la derivata quarta :)

Non è più consuetudine mettere quattro tratti, quindi passiamo agli indici numerici:

Risposta:

Ok, ora riflettiamo su questa domanda: cosa fare se la condizione richiede di trovare non la derivata 4a, ma, ad esempio, la derivata 20a? Se per la derivata 3-4-5 (massimo 6-7) ordine di grandezza, la soluzione viene formalizzata abbastanza rapidamente, quindi non "arriveremo" molto presto a derivati ​​di ordine superiore. In effetti, non scrivere 20 righe! In una situazione del genere, è necessario analizzare diversi derivati ​​trovati, vedere lo schema e creare una formula per il derivato “ennesimo”. Quindi, nell’esempio n. 1 è facile capire che ad ogni differenziazione successiva “apparirà” un ulteriore “tre” davanti all’esponente, e ad ogni passo il grado del “tre” è uguale al numero di la derivata, quindi:

Dove è un numero naturale arbitrario.

E infatti, se , allora si ottiene esattamente la derivata 1a: , se – allora 2°: ecc. La ventesima derivata viene quindi determinata istantaneamente: – e niente “fogli chilometrici”!

Riscaldamento da soli:

Esempio 2

Trova funzioni. Scrivi la derivata dell'ordine

La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.

Dopo un rinvigorente riscaldamento, prenderemo in considerazione esempi più complessi in cui elaboreremo l'algoritmo risolutivo di cui sopra. Per coloro che sono riusciti a prendere conoscenza della lezione Limite di sequenza, sarà un po' più semplice:

Esempio 3

Trova la funzione.

Soluzione: per chiarire la situazione, troviamo diversi derivati:

Non abbiamo fretta di moltiplicare i numeri risultanti! ;-)


Forse è abbastanza. ...Ho anche esagerato un po'.

Il prossimo passo è creare la formula per la derivata “ennesima”. (se la condizione non lo richiede, puoi cavartela con una bozza). Per fare ciò, esaminiamo i risultati ottenuti e identifichiamo gli schemi con cui si ottiene ogni derivata successiva.

Innanzitutto si alternano. L'allineamento garantisce "lampeggiante", e poiché la derivata 1a è positiva, la formula generale includerà il seguente fattore: . Funzionerebbe anche un'opzione equivalente, ma personalmente, da ottimista, adoro il segno più =)

In secondo luogo, al numeratore “finisce” fattoriale, ed è "in ritardo" rispetto al numero derivato di un'unità:

E in terzo luogo, aumenta la potenza di "due" nel numeratore, che è uguale al numero della derivata. Lo stesso si può dire del grado del denominatore. Finalmente:

Per verificare, sostituiamo un paio di valori "en", ad esempio, e:

Ottimo, ora sbagliare è semplicemente un peccato:

Risposta:

Una funzione più semplice da risolvere da solo:

Esempio 4

Trova funzioni.

E un problema più interessante:

Esempio 5

Trova funzioni.

Ripetiamo ancora una volta la procedura:

1) Innanzitutto troviamo diversi derivati. Per catturare gli schemi, di solito ne bastano tre o quattro.

2) Allora consiglio vivamente di realizzarlo (almeno in forma di bozza) L’”ennesimo” derivato – è garantito per proteggerti dagli errori. Ma puoi farne a meno, ad es. stimare mentalmente e annotare immediatamente, ad esempio, la ventesima o l'ottava derivata. Inoltre, alcune persone sono generalmente in grado di risolvere i problemi in questione oralmente. Tuttavia, dovresti ricordare che i metodi “rapidi” sono complicati ed è meglio essere sicuri.

3) Nella fase finale, controlliamo la derivata “n-esima”: prendiamo una coppia di valori “n-esimi” (preferibilmente vicini) ed eseguiamo la sostituzione. Ed è ancora più affidabile controllare tutti i derivati ​​precedentemente trovati. Quindi lo sostituiamo con il valore desiderato, ad esempio, o e analizziamo attentamente il risultato.

Una breve soluzione agli esempi 4 e 5 alla fine della lezione.

In alcune attività, per evitare problemi, è necessario fare un po' di magia sulla funzione:

Esempio 6

Soluzione: Non voglio affatto differenziare la funzione proposta, poiché risulterà in una frazione "cattiva", il che complicherà notevolmente la ricerca delle derivate successive.

A questo proposito è consigliabile eseguire trasformazioni preliminari: utilizziamo formula della differenza quadrata E proprietà del logaritmo :

La questione è completamente diversa:

E vecchi amici:

Penso che si stia esaminando tutto. Tieni presente che la 2a frazione ha segno alternato, ma la 1a frazione no. Costruiamo la derivata dell'ordine:

Controllo:

Bene, per amore di bellezza, togliamo il fattoriale tra parentesi:

Risposta:

Un compito interessante da risolvere da solo:

Esempio 7

Scrivi la formula della derivata dell'ordine per la funzione

E ora parliamo dell'incrollabile garanzia reciproca che persino la mafia italiana invidierebbe:

Esempio 8

La funzione è data. Trovare

La diciottesima derivata al punto. Appena.

Soluzione: prima, ovviamente, devi trovare . Andare:

Abbiamo iniziato con il seno e siamo finiti con il seno. È chiaro che con un’ulteriore differenziazione questo ciclo continuerà indefinitamente, e sorge la seguente domanda: qual è il modo migliore per “arrivare” alla diciottesima derivata?

Il metodo “amatoriale”: annotare velocemente i numeri delle derivate successive nella colonna di destra:

Così:

Ma questo funziona se l'ordine della derivata non è troppo grande. Se devi trovare, ad esempio, la derivata centesima, dovresti usare la divisibilità per 4. Cento è divisibile per 4 senza resto, ed è facile vedere che tali numeri si trovano nella riga inferiore, quindi: .

A proposito, anche la derivata 18 può essere determinata da considerazioni simili:
La seconda riga contiene i numeri divisibili per 4 con resto 2.

Si basa su un altro metodo più accademico periodicità sinusoidale E formule di riduzione. Usiamo la formula già pronta per la derivata “ennesima” del seno , in cui viene semplicemente sostituito il numero desiderato. Per esempio:
(formula di riduzione ) ;
(formula di riduzione )

Nel nostro caso:

(1) Poiché il seno è una funzione periodica con un periodo, l'argomento può essere "svitato" senza problemi 4 periodi (cioè).

La derivata dell'ordine del prodotto di due funzioni può essere trovata utilizzando la formula:

In particolare:

Non è necessario ricordare nulla di specifico, perché più formule conosci, meno capisci. È molto più utile familiarizzare con te stesso Il binomio di Newton, poiché la formula di Leibniz è molto, molto simile ad essa. Bene, quei fortunati che riceveranno un derivato del 7o ordine o superiore (cosa davvero improbabile), sarà costretto a farlo. Tuttavia, quando arriva il turno combinatoria– allora devi ancora farlo =)

Troviamo la derivata terza della funzione. Utilizziamo la formula di Leibniz:

In questo caso: . I derivati ​​sono facili da recitare oralmente:

Ora con attenzione e ATTENZIONE esegui la sostituzione e semplifica il risultato:

Risposta:

Un compito simile per una soluzione indipendente:

Esempio 11

Trova funzionalità

Se nell'esempio precedente la soluzione "frontale" era ancora in competizione con la formula di Leibniz, allora qui sarà davvero spiacevole. E ancora più spiacevole - nel caso di una derivata di ordine superiore:

Esempio 12

Trova la derivata dell'ordine specificato

Soluzione: la prima e significativa osservazione è che probabilmente non è necessario decidere in questo modo =) =)

Scriviamo le funzioni e troviamo le loro derivate fino al 5° ordine compreso. Presumo che le derivate della colonna di destra siano diventate orali per te:

Nella colonna di sinistra, i derivati ​​​​"viventi" "finiscono" rapidamente e questo è molto positivo: tre termini nella formula di Leibniz verranno azzerati:

Vorrei soffermarmi ancora una volta sul dilemma apparso nell'articolo su derivati ​​complessi: Devo semplificare il risultato? In linea di principio, puoi lasciarlo così: sarà ancora più facile per l'insegnante controllare. Ma potrebbe chiedere che la decisione venga finalizzata. D'altra parte, la semplificazione di propria iniziativa è irta di errori algebrici. Abbiamo però una risposta ottenuta in modo “primitivo” =) (vedi link all'inizio) e spero che sia corretto:

Fantastico, tutto è andato per il verso giusto.

Risposta:

Compito felice per una soluzione indipendente:

Esempio 13

Per funzione:
a) trovare per differenziazione diretta;
b) trovare utilizzando la formula di Leibniz;
c) calcolare.

No, non sono affatto un sadico – il punto “a” qui è abbastanza semplice =)

Ma sul serio, la soluzione “diretta” mediante differenziazioni successive ha anche un “diritto alla vita” – in alcuni casi la sua complessità è paragonabile alla complessità dell’applicazione della formula di Leibniz. Utilizzalo se lo ritieni opportuno: è improbabile che questo costituisca un motivo per non superare l'incarico.

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione.

Per sollevare l'ultimo paragrafo devi essere in grado di farlo differenziare le funzioni implicite:

Derivate di ordine superiore di funzioni specificate implicitamente

Molti di noi hanno trascorso lunghe ore, giorni e settimane della nostra vita studiando cerchi, parabole, iperbole– e a volte sembrava addirittura una vera punizione. Quindi vendiamoci e differenziamoli adeguatamente!

Cominciamo con la parabola “scolastica” nella sua posizione canonica:

Esempio 14

L'equazione è data. Trovare .

Soluzione: Il primo passo è familiare:

Il fatto che la funzione e la sua derivata siano espresse implicitamente non cambia l'essenza della questione; la derivata seconda è la derivata della derivata prima:

Tuttavia, ci sono delle regole del gioco: di solito vengono espressi i derivati ​​del 2o ordine e quelli superiori solo attraverso “X” e “Y”. Pertanto sostituiamo : nella derivata 2a risultante:

La derivata terza è la derivata della derivata 2a:

Allo stesso modo, sostituiamo:

Risposta:

Iperbole "scolastica" in posizione canonica– per lavoro autonomo:

Esempio 15

L'equazione è data. Trovare .

Ribadisco che la derivata 2a e il risultato vanno espressi solo tramite “x”/“y”!

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione.

Dopo gli scherzi dei bambini, diamo un'occhiata alla pornografia tedesca, diamo un'occhiata ad altri esempi per adulti, dai quali impareremo un'altra importante soluzione:

Esempio 16

Ellisse lui stesso.

Soluzione: troviamo la derivata 1a:

Adesso fermiamoci e analizziamo il punto successivo: ora dobbiamo differenziare la frazione, cosa che non piace affatto. In questo caso, ovviamente, è semplice, ma nei problemi della vita reale tali doni sono troppo pochi e rari. C'è un modo per evitare di trovare l'ingombrante derivato? Esiste! Prendiamo l'equazione e usiamo la stessa tecnica di quando troviamo la derivata 1a: "appendiamo" i tratti su entrambi i lati:

La derivata seconda deve essere espressa solo in termini di e , così adesso (Proprio adesso)È conveniente eliminare la derivata 1. Per fare ciò, sostituisci nell'equazione risultante:

Per evitare inutili difficoltà tecniche, moltiplichiamo entrambe le parti per:

E solo nella fase finale formuliamo la frazione:

Ora guardiamo l'equazione originale e notiamo che il risultato ottenuto può essere semplificato:

Risposta:

Come trovare il valore della derivata 2 in qualsiasi punto (che, ovviamente, appartiene all'ellisse), ad esempio, al punto ? Molto facile! Questo motivo è già stato riscontrato nella lezione su equazione normale: è necessario sostituire la derivata 2 nell'espressione :

Naturalmente in tutti e tre i casi è possibile ottenere funzioni esplicitamente definite e differenziarle, ma poi essere mentalmente preparati a lavorare con due funzioni che contengono radici. A mio avviso è più conveniente realizzare la soluzione in “modo implicito”.

Un ultimo esempio da risolvere da solo:

Esempio 17

Trova una funzione specificata implicitamente

Il testo dell'opera è pubblicato senza immagini e formule.
La versione completa dell'opera è disponibile nella scheda "File di lavoro" in formato PDF

"Anche a me il binomio di Newton!»

dal romanzo "Il Maestro e Margherita"

“Il triangolo di Pascal è così semplice che anche un bambino di dieci anni potrebbe scriverlo. Allo stesso tempo nasconde tesori inesauribili e collega tra loro diversi aspetti della matematica che a prima vista non hanno nulla in comune tra loro. Proprietà così insolite ci permettono di considerare il triangolo di Pascal uno dei diagrammi più eleganti di tutta la matematica”.

Martin Gardner.

Obiettivo del lavoro: generalizzare formule di moltiplicazione abbreviate e mostrare la loro applicazione alla risoluzione di problemi.

Compiti:

1) studiare e sistematizzare le informazioni su questo tema;

2) analizzare esempi di problemi utilizzando il binomio di Newton e le formule per la somma e la differenza delle potenze.

Oggetti di studio: Binomio di Newton, formule per somme e differenze di potenze.

Metodi di ricerca:

Lavora con letteratura scientifica educativa e popolare, risorse Internet.

Calcoli, confronti, analisi, analogie.

Rilevanza. Una persona spesso deve affrontare problemi in cui ha bisogno di contare il numero di tutti i modi possibili per posizionare alcuni oggetti o il numero di tutti i modi possibili per eseguire un'azione. I diversi percorsi o opzioni che una persona deve scegliere si sommano a un'ampia varietà di combinazioni. E un intero ramo della matematica, chiamato combinatoria, è impegnato a cercare risposte alle domande: quante combinazioni ci sono in un dato caso?

I rappresentanti di molte specialità devono occuparsi di quantità combinatorie: scienziato chimico, biologo, progettista, dispatcher, ecc. Il crescente interesse per la combinatoria è stato recentemente causato dal rapido sviluppo della cibernetica e della tecnologia informatica.

introduzione

Quando vogliono sottolineare che l’interlocutore sta esagerando la complessità dei problemi che si trova ad affrontare, dicono: “Mi piace anche il binomio di Newton!” Dicono, ecco il binomio di Newton, è complicato, ma che problemi hai! Anche coloro i cui interessi non hanno nulla a che fare con la matematica hanno sentito parlare del binomio di Newton.

La parola "binomio" significa binomio, cioè la somma di due termini. Le cosiddette formule di moltiplicazione abbreviate sono note dal corso scolastico:

( UN+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 , (a + b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 + b 3 .

Una generalizzazione di queste formule è una formula chiamata formula binomiale di Newton. A scuola vengono utilizzate anche formule per fattorizzare le differenze di quadrati, le somme e le differenze di cubi. Generalizzano ad altri gradi? Sì, esistono tali formule, vengono spesso utilizzate per risolvere vari problemi: dimostrare la divisibilità, ridurre le frazioni, calcoli approssimativi.

Lo studio delle formule generalizzate sviluppa il pensiero matematico-deduttivo e le capacità di pensiero generale.

SEZIONE 1. FORMULA BINOMALE DI NEWTON

Combinazioni e loro proprietà

Sia X un insieme formato da n elementi. Qualsiasi sottoinsieme Y di un insieme X contenente k elementi è chiamato combinazione di k elementi da n, con k ≤ n.

Il numero di diverse combinazioni di k elementi da n è indicato con C n k. Una delle formule più importanti della combinatoria è la seguente formula per il numero C n k:

Si può scrivere, dopo ovvie abbreviazioni, come segue:

In particolare,

Ciò è abbastanza coerente con il fatto che nell'insieme X c'è solo un sottoinsieme di 0 elementi: il sottoinsieme vuoto.

I numeri C n k hanno una serie di proprietà notevoli.

La formula è corretta: С n k = С n - k n , (3)

Il significato della formula (3) è che esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di tutti i sottoinsiemi di k membri di X e l'insieme di tutti i sottoinsiemi di (n - k) membri di X: per stabilire questa corrispondenza, è sufficiente che ogni sottoinsieme di k membri di Y confronti il ​​suo complemento nell'insieme X.

La formula corretta è С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

La somma sul lato sinistro esprime il numero di tutti i sottoinsiemi dell'insieme X (C 0 n è il numero di sottoinsiemi di 0 membri, C 1 n è il numero di sottoinsiemi di un membro, ecc.).

Per ogni k, 1≤ k≤ n, l'uguaglianza è vera

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Questa uguaglianza è facile da ottenere utilizzando la formula (1). Infatti,

1.2. Derivazione della formula binomiale di Newton

Consideriamo le potenze del binomio un+B .

n = 0, (a+B ) 0 = 1

n = 1, (a+B ) 1 = 1a+1B

n = 2,(un+B ) 2 = 1a 2 +2aB +1 B 2

n = 3,(un+B ) 3 = 1 a 3 + 3 bis 2 B + 3 bisB 2 +1 B 3

n = 4,(un+B ) 4 = 1a 4 +4 bis 3 B +6a 2 B 2 +4aB 3 +1 B 4

n = 5,(un+B ) 5 = 1a 5 +5 bis 4 B +10a 3 B 2 +10a 2 B 3 +5 bisB 4 + 1 B 5

Notiamo i seguenti modelli:

Il numero di termini del polinomio risultante è maggiore di uno rispetto all'esponente del binomio;

L'esponente del primo termine diminuisce da n a 0, l'esponente del secondo termine aumenta da 0 a n;

Le potenze di tutti i monomi sono uguali alle potenze del binomio nella condizione;

Ogni monomio è il prodotto della prima e della seconda espressione in varie potenze e un certo numero - un coefficiente binomiale;

I coefficienti binomiali equidistanti dall'inizio e dalla fine dell'espansione sono uguali.

Una generalizzazione di queste formule è la seguente formula, chiamata formula binomiale di Newton:

(UN + B ) N = C 0 N UN N B 0 + C 1 N UN N -1 B + C 2 N UN N -2 B 2 + ... + C N -1 N ab N -1 + C N N UN 0 B N . (6)

In questa formula N può essere qualsiasi numero naturale.

Deriviamo la formula (6). Innanzitutto scriviamo:

(UN + B ) N = (UN + B )(UN + B ) ... (UN + B ), (7)

dove il numero di parentesi da moltiplicare è uguale a N. Dalla consueta regola di moltiplicare una somma per una somma segue che l'espressione (7) è uguale alla somma di tutti i prodotti possibili, che può essere composta come segue: qualsiasi termine della prima delle somme a+b moltiplicato per qualsiasi termine della seconda somma a+b, a qualsiasi termine della terza somma, ecc.

Da quanto sopra è chiaro che il termine nell'espressione for (UN + B ) N corrispondono (biunivocamente) a stringhe di lunghezza n composte da lettere aeb. Tra i termini ci saranno termini simili; è ovvio che tali membri corrispondono a stringhe contenenti lo stesso numero di lettere UN. Ma il numero di righe che contengono esattamente k volte la lettera UN, è uguale a C n k . Ciò significa che la somma di tutti i termini contenenti la lettera a con un fattore esattamente k volte è uguale a C n k UN N - K B K . Poiché k può assumere valori 0, 1, 2, ..., n-1, n, la formula (6) segue dal nostro ragionamento. Si noti che (6) può essere scritto più breve: (8)

Sebbene la formula (6) prenda il nome da Newton, in realtà fu scoperta ancor prima di Newton (per esempio, Pascal lo sapeva). Il merito di Newton sta nel fatto di aver trovato una generalizzazione di questa formula per il caso di esponenti non interi. Fu I. Newton nel 1664-1665. derivato una formula che esprime il grado di binomio per esponenti frazionari e negativi arbitrari.

I numeri C 0 n, C 1 n, ..., C n n compresi nella formula (6) sono solitamente chiamati coefficienti binomiali, definiti come segue:

Dalla formula (6) si possono ricavare alcune proprietà di questi coefficienti. Ad esempio, supponendo UN=1, b = 1, otteniamo:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n,

quelli. formula (4). Se metti UN= 1, b = -1, allora avremo:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

oppure C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Ciò significa che la somma dei coefficienti dei termini pari dell'espansione è uguale alla somma dei coefficienti dei termini dispari dell'espansione; ciascuno di essi è uguale a 2 n -1 .

I coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi dell'espansione sono uguali. Queste proprietà derivano dalla relazione: C n k = C n n - k

Un caso speciale interessante

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

o più corto (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Teorema dei polinomi

Teorema.

Prova.

Per ottenere un monomio dopo aver aperto le parentesi, è necessario selezionare quelle parentesi da cui è tratto, quelle parentesi da cui è tratto, ecc. e quelle parentesi da cui è tratto. Il coefficiente di questo monomio dopo aver introdotto termini simili è uguale al numero di modi in cui tale scelta può essere effettuata. Il primo passo della sequenza elettorale può essere effettuato in modi, il secondo passo - dentro, il terzo - ecc., l'esimo passo - in modi. Il coefficiente richiesto è uguale al prodotto

SEZIONE 2. Derivate di ordine superiore.

Il concetto di derivate di ordine superiore.

Sia la funzione differenziabile in un certo intervallo. Quindi la sua derivata, in generale, dipende da X, cioè, è una funzione di X. Di conseguenza, nei suoi confronti si può nuovamente sollevare la questione dell'esistenza di un derivato.

Definizione . Si chiama la derivata della derivata prima Derivata del secondo ordine o derivata seconda ed è indicato con il simbolo o, cioè

Definizione . La derivata della derivata seconda è detta derivata del terzo ordine o derivata terza ed è indicata con il simbolo o.

Definizione . DerivatoN -esimo ordine funzioni è detta derivata prima della derivata (N -1)esimo ordine di questa funzione ed è indicato con il simbolo oppure:

Definizione . Si chiamano derivati ​​di ordine superiore al primo derivati ​​più alti.

Commento. Allo stesso modo, possiamo ottenere la formula N-esima derivata della funzione:

Derivata seconda di una funzione definita parametricamente

Se una funzione è data parametricamente da equazioni, allora per trovare la derivata del secondo ordine è necessario differenziare l'espressione della sua derivata prima come funzione complessa della variabile indipendente.

Da allora

e tenendo conto che,

Abbiamo capito, cioè.

La derivata terza può essere trovata in modo simile.

Differenziale di somma, prodotto e quoziente.

Poiché il differenziale si ottiene dalla derivata moltiplicandolo per il differenziale della variabile indipendente, quindi, conoscendo le derivate delle funzioni elementari di base, nonché le regole per trovare le derivate, si possono arrivare a regole simili per trovare i differenziali.

1 0 . Il differenziale della costante è zero.

2 0 . Il differenziale di una somma algebrica di un numero finito di funzioni differenziabili è uguale alla somma algebrica dei differenziali di tali funzioni .

3 0 . Il differenziale del prodotto di due funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della prima funzione per il differenziale della seconda e della seconda funzione per il differenziale della prima .

Conseguenza. Il moltiplicatore costante può essere tolto dal segno differenziale.

2.3. Funzioni definite parametricamente, loro differenziazione.

Definizione . Una funzione si dice parametricamente se entrambe le variabili X E y sono definite ciascuna separatamente come funzioni a valore singolo della stessa variabile ausiliaria - parametroT :

DoveT varia all'interno.

Commento . Presentiamo le equazioni parametriche di una circonferenza e di un'ellisse.

a) Cerchio con centro nell'origine e raggio R ha equazioni parametriche:

b) Scriviamo le equazioni parametriche per l'ellisse:

Escludendo il parametro T Dalle equazioni parametriche delle rette in esame si può arrivare alle loro equazioni canoniche.

Teorema . Se la funzione y dall'argomentazione x è dato parametricamente da equazioni dove e sono differenziabili rispetto aT funzioni e poi.

2.4. Formula di Leibniz

Per trovare la derivata N l’esimo ordine del prodotto di due funzioni, la formula di Leibniz è di grande importanza pratica.

Permettere tu E v- alcune funzioni da una variabile X, aventi derivati ​​di qualsiasi ordine e sì = uv. Esprimiamoci N-esima derivata tramite derivate di funzioni tu E v .

Abbiamo costantemente

È facile notare l'analogia tra le espressioni per la derivata seconda e terza e l'espansione del binomio di Newton rispettivamente nella seconda e terza potenza, ma al posto degli esponenti ci sono numeri che determinano l'ordine della derivata, e le funzioni stesse possono essere considerati “derivati ​​di ordine zero”. Tenendo conto di ciò, otteniamo la formula di Leibniz:

Questa formula può essere dimostrata per induzione matematica.

SEZIONE 3. APPLICAZIONE DELLA FORMULA LEIBNITZ.

Per calcolare la derivata di qualsiasi ordine dal prodotto di due funzioni, ignorando l'applicazione sequenziale della formula per il calcolo della derivata del prodotto di due funzioni, utilizzare Formula di Leibniz.

Usando questa formula, considereremo esempi di calcolo della derivata di ordine ennesimo del prodotto di due funzioni.

Esempio 1.

Trovare la derivata del secondo ordine di una funzione

Secondo la definizione, la derivata seconda è la derivata prima della derivata prima, cioè

Pertanto, troviamo prima la derivata del primo ordine della funzione data secondo regole di differenziazione e utilizzando tabella dei derivati:

Ora troviamo la derivata della derivata del primo ordine. Questa sarà la derivata del secondo ordine desiderata:

Risposta:

Esempio 2.

Trovare la derivata del esimo ordine di una funzione

Soluzione.

Troveremo successivamente le derivate della prima, della seconda, della terza e così via negli ordini di una data funzione in modo da stabilire uno schema generalizzabile alla derivata-esima.

Troviamo la derivata del primo ordine come derivata del quoziente:

Qui l'espressione è chiamata fattoriale di un numero. Il fattoriale di un numero è uguale al prodotto dei numeri da uno a

La derivata del secondo ordine è la derivata prima della derivata prima, cioè

Derivata del terzo ordine:

Quarta derivata:

Nota lo schema: al numeratore c'è un fattoriale di un numero che è uguale all'ordine della derivata, e al denominatore l'espressione alla potenza è uno maggiore dell'ordine della derivata, cioè

Risposta.

Esempio 3.

Trova il valore della derivata terza della funzione in un punto.

Soluzione.

Secondo tabella delle derivate di ordine superiore, abbiamo:

Nell'esempio in esame, cioè, otteniamo

Si noti che un risultato simile potrebbe essere ottenuto trovando sequenzialmente le derivate.

In un dato punto la derivata terza è uguale a:

Risposta:

Esempio 4.

Trova la derivata seconda di una funzione

Soluzione. Per prima cosa troviamo la derivata prima:

Per trovare la derivata seconda differenziamo nuovamente l'espressione della derivata prima:

Risposta:

Esempio 5.

Trova se

Poiché la funzione data è il prodotto di due funzioni, per trovare la derivata del quarto ordine sarebbe opportuno applicare la formula di Leibniz:

Troviamo tutte le derivate e calcoliamo i coefficienti dei termini.

1) Calcoliamo i coefficienti dei termini:

2) Trova le derivate della funzione:

3) Trova le derivate della funzione:

Risposta:

Esempio 6.

Data la funzione y=x 2 cos3x. Trova la derivata del terzo ordine.

Sia u=cos3x , v=x 2 . Quindi, utilizzando la formula di Leibniz, troviamo:

Le derivate in questa espressione hanno la forma:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Pertanto, la derivata terza della funzione data è uguale a

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Esempio 7.

Trova la derivata N funzione dell'esimo ordine y=x2cosx.

Usiamo la formula di Leibniz, assumendou=cosx, v=x 2 . Poi

I restanti termini della serie sono uguali a zero, poiché(x2)(i)=0 per i>2.

Derivato n -esimo ordine della funzione coseno:

Pertanto, la derivata della nostra funzione è uguale a

CONCLUSIONE

A scuola si studiano e si utilizzano le cosiddette formule di moltiplicazione abbreviate: quadrati e cubi della somma e differenza di due espressioni e formule per fattorizzare la differenza dei quadrati, somma e differenza dei cubi di due espressioni. Una generalizzazione di queste formule è la formula chiamata formula binomiale di Newton e la formula per fattorizzare la somma e la differenza delle potenze. Queste formule sono spesso utilizzate per risolvere vari problemi: dimostrazione di divisibilità, riduzione di frazioni, calcoli approssimativi. Vengono prese in considerazione le proprietà interessanti del triangolo di Pascal, che sono strettamente correlate al binomio di Newton.

L'opera sistematizza le informazioni sull'argomento, fornisce esempi di problemi utilizzando il binomio di Newton e le formule per la somma e la differenza delle potenze. Il lavoro può essere utilizzato nel lavoro di un circolo matematico, nonché per lo studio indipendente da parte di coloro che sono interessati alla matematica.

ELENCO DELLE FONTI UTILIZZATE

1.Vilenkin N.Ya. Combinatoria. - ed. "La scienza". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra e inizio dell'analisi matematica. 10a elementare: libro di testo. per l'istruzione generale organizzazioni livelli base e avanzati - M.: Prosveshchenie, 2014. - 431 p.

3. Risoluzione di problemi di statistica, calcolo combinatorio e teoria della probabilità. 7-9 voti / autore - compilatore V.N. Studenetskaja. - ed. 2°, rivisto, - Volgograd: Insegnante, 2009.

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Equazioni algebriche dei gradi superiori / manuale metodologico per gli studenti del dipartimento preparatorio interuniversitario. - San Pietroburgo, 2001.

5. Sharygin I.F. Corso facoltativo di matematica: Problem solving. Libro di testo per la 10a elementare. Scuola superiore. - M.: Educazione, 1989.

6.Scienza e vita, binomio di Newton e triangolo di Pascal[Risorsa elettronica]. - Modalità di accesso: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Viene fornita la formula di Leibniz per calcolare la derivata n-esima del prodotto di due funzioni. La sua dimostrazione è data in due modi. Viene considerato un esempio di calcolo della derivata dell'ordine ennesimo.

Contenuto

Guarda anche: Derivata del prodotto di due funzioni

Formula di Leibniz

Utilizzando la formula di Leibniz, puoi calcolare la derivata di ordine ennesimo del prodotto di due funzioni. Sembra questo:
(1) ,
Dove
- coefficienti binomiali.

I coefficienti binomiali sono i coefficienti dell'espansione di un binomio in potenze e:
.
Inoltre il numero è il numero di combinazioni da n a k.

Dimostrazione della formula di Leibniz

Applichiamo la formula per la derivata del prodotto di due funzioni:
(2) .
Riscriviamo la formula (2) nella forma seguente:
.
Consideriamo cioè che una funzione dipenda dalla variabile x e l'altra dalla variabile y. Alla fine del calcolo assumiamo . Allora la formula precedente può essere scritta come segue:
(3) .
Poiché la derivata è uguale alla somma dei termini e ciascun termine è il prodotto di due funzioni, per calcolare le derivate di ordine superiore è possibile applicare in modo coerente la regola (3).

Allora per la derivata di ordine ennesimo abbiamo:

.
Considerando questo e , otteniamo la formula di Leibniz:
(1) .

Dimostrazione per induzione

Diamo una dimostrazione della formula di Leibniz utilizzando il metodo dell'induzione matematica.

Riscriviamo ancora una volta la formula di Leibniz:
(4) .
Per n = 1 abbiamo:
.
Questa è la formula per la derivata del prodotto di due funzioni. È giusta.

Supponiamo che la formula (4) sia valida per la derivata dell'ordine ennesimo. Proviamo che vale per la derivata n+ 1 -esimo ordine.

Distinguiamo (4):
;



.
Quindi abbiamo trovato:
(5) .

Sostituiamo nella (5) e teniamo conto che:

.
Ciò dimostra che la formula (4) ha la stessa forma per la derivata n+ 1 -esimo ordine.

Quindi la formula (4) è valida per n = 1 . Dal presupposto che vale per un certo numero n = m ne consegue che vale per n = m + 1 .
La formula di Leibniz è stata dimostrata.

Esempio

Calcolare la derivata n-esima di una funzione
.

Applichiamo la formula di Leibniz
(2) .
Nel nostro caso
;
.

Dalla tabella delle derivate abbiamo:
.
Applichiamo le proprietà delle funzioni trigonometriche:
.
Poi
.
Ciò mostra che la differenziazione della funzione seno porta al suo spostamento di . Poi
.

Trovare le derivate della funzione.
;
;
;
, .

Poiché per , allora nella formula di Leibniz solo i primi tre termini sono diversi da zero. Trovare i coefficienti binomiali.
;
.

Secondo la formula di Leibniz abbiamo:

.

Guarda anche:

La risoluzione dei problemi applicati si riduce al calcolo dell'integrale, ma non è sempre possibile farlo con precisione. A volte è necessario conoscere il valore di un certo integrale con un certo grado di precisione, ad esempio al millesimo.

Ci sono problemi quando sarebbe necessario trovare il valore approssimativo di un certo integrale con la precisione richiesta, quindi viene utilizzata l'integrazione numerica come il metodo Simposny, i trapezi e i rettangoli. Non tutti i casi ci permettono di calcolarlo con una certa precisione.

Questo articolo esamina l'applicazione della formula di Newton-Leibniz. Ciò è necessario per il calcolo accurato dell'integrale definito. Forniremo esempi dettagliati, considereremo i cambiamenti di variabile nell'integrale definito e troveremo i valori dell'integrale definito quando si integra per parti.

Formula di Newton-Leibniz

Definizione 1

Quando la funzione y = y (x) è continua dall'intervallo [ a ; b ] , e F (x) è quindi una delle antiderivative della funzione di questo segmento Formula di Newton-Leibniz considerato giusto. Scriviamolo così: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Questa formula è considerata la formula base del calcolo integrale.

Per produrre una dimostrazione di questa formula, è necessario utilizzare il concetto di integrale con limite superiore variabile disponibile.

Quando la funzione y = f (x) è continua dall'intervallo [ a ; b], allora il valore dell'argomento x ∈ a; b , e l'integrale ha la forma ∫ a x f (t) d t ed è considerato una funzione del limite superiore. È necessario prendere la notazione della funzione che assumerà la forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , è continua, e una disuguaglianza della forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) è valido per questo.

Fissiamo che l'incremento della funzione Φ (x) corrisponde all'incremento dell'argomento ∆ x , è necessario utilizzare la quinta proprietà principale dell'integrale definito e otteniamo

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

dove valore c ∈ x; x + ∆ x .

Fissiamo l'uguaglianza nella forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Per definizione di derivata di una funzione, è necessario andare al limite come ∆ x → 0, quindi otteniamo una formula della forma Φ " (x) = f (x). Troviamo che Φ (x) è una delle derivate per una funzione della forma y = f (x), situata su [a; b]. Altrimenti, l'espressione può essere scritta

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, dove il valore di C è costante.

Calcoliamo F (a) utilizzando la prima proprietà dell'integrale definito. Allora lo capiamo

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, quindi otteniamo che C = F (a). Il risultato è applicabile quando si calcola F (b) e otteniamo:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), in altre parole F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( UN) . L'uguaglianza è dimostrata dalla formula di Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Prendiamo l'incremento della funzione come F x a b = F (b) - F (a) . Usando la notazione, la formula di Newton-Leibniz assume la forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Per applicare la formula è necessario conoscere una delle antiderivative y = F (x) della funzione integranda y = f (x) dal segmento [ a ; b], calcola l'incremento dell'antiderivativa da questo segmento. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di calcoli utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Esempio 1

Calcola l'integrale definito ∫ 1 3 x 2 d x utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Soluzione

Consideriamo che l'integrando della forma y = x 2 è continuo dall'intervallo [ 1 ; 3], allora è integrabile su questo intervallo. Dalla tabella degli integrali indefiniti vediamo che la funzione y = x 2 ha un insieme di antiderivative per tutti i valori reali di x, il che significa x ∈ 1; 3 verrà scritto come F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Occorre prendere la primitiva con C = 0, quindi otteniamo che F (x) = x 3 3.

Usiamo la formula di Newton-Leibniz e troviamo che il calcolo dell'integrale definito assume la forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Risposta:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Esempio 2

Calcola l'integrale definito ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Soluzione

La funzione data è continua dal segmento [-1; 2], il che significa che è integrabile su di esso. È necessario trovare il valore dell'integrale indefinito ∫ x · e x 2 + 1 d x utilizzando il metodo della sussunta sotto il segno differenziale, quindi otteniamo ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Abbiamo quindi un insieme di antiderivate della funzione y = x · e x 2 + 1, valide per tutti gli x, x ∈ - 1; 2.

È necessario prendere la primitiva in C = 0 e applicare la formula di Newton-Leibniz. Quindi otteniamo un'espressione della forma

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Risposta:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Esempio 3

Calcola gli integrali ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x e ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Soluzione

Segmento - 4; - 1 2 dice che la funzione sotto il segno di integrale è continua, cioè integrabile. Da qui troviamo l'insieme delle antiderivative della funzione y = 4 x 3 + 2 x 2. Lo capiamo

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

È necessario prendere la primitiva F (x) = 2 x 2 - 2 x, quindi, applicando la formula di Newton-Leibniz, otteniamo l'integrale, che calcoliamo:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Procediamo al calcolo del secondo integrale.

Dal segmento [-1; 1] abbiamo che l'integrando si considera illimitato, perché lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , ne consegue che è condizione necessaria l'integrabilità del segmento. Allora F (x) = 2 x 2 - 2 x non è antiderivativa per y = 4 x 3 + 2 x 2 dall'intervallo [ - 1 ; 1], poiché il punto O appartiene al segmento, ma non è compreso nel dominio di definizione. Ciò significa che esiste un integrale di Riemann e Newton-Leibniz definito per la funzione y = 4 x 3 + 2 x 2 dall'intervallo [ - 1 ; 1] .

Risposta: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , esiste un integrale di Riemann e Newton-Leibniz definito per la funzione y = 4 x 3 + 2 x 2 dall'intervallo [ - 1 ; 1] .

Prima di utilizzare la formula di Newton-Leibniz, è necessario conoscere esattamente l'esistenza di un integrale definito.

Trasformare una variabile in un integrale definito

Quando la funzione y = f (x) è definita e continua dall'intervallo [ a ; b], quindi l'insieme disponibile [a; b] è considerato l'intervallo di valori della funzione x = g (z), definita sul segmento α; β con la derivata continua esistente, dove g (α) = a e g β = b, otteniamo da ciò che ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Questa formula viene utilizzata quando è necessario calcolare l'integrale ∫ a b f (x) d x, dove l'integrale indefinito ha la forma ∫ f (x) d x, calcoliamo utilizzando il metodo di sostituzione.

Esempio 4

Calcola un integrale definito della forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Soluzione

La funzione integranda è considerata continua nell'intervallo di integrazione, il che significa che esiste un integrale definito. Diamo la notazione che 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Il valore x = 9 significa che z = 2 9 - 9 = 9 = 3, e per x = 18 otteniamo che z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, quindi g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Sostituendo i valori ottenuti nella formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z otteniamo che

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Secondo la tabella degli integrali indefiniti, abbiamo che una delle antiderivative della funzione 2 z 2 + 9 assume il valore 2 3 a r c t g z 3 . Quindi, applicando la formula di Newton-Leibniz, otteniamo questo

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

La ricerca potrebbe essere fatta senza utilizzare la formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Se utilizzando il metodo di sostituzione utilizziamo un integrale della forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, allora possiamo arrivare al risultato ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

Da qui eseguiremo i calcoli utilizzando la formula di Newton-Leibniz e calcoleremo l'integrale definito. Lo capiamo

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 =π18

I risultati erano gli stessi.

Risposta: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrazione per parti nel calcolo di un integrale definito

Se sul segmento [ a ; b ] le funzioni u (x) e v (x) sono definite e continue, allora le loro derivate del primo ordine v " (x) · u (x) sono integrabili, quindi da questo segmento per la funzione integrabile u " (x) · v ( x) l'uguaglianza ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x è vera.

La formula può essere utilizzata quindi, è necessario calcolare l'integrale ∫ a b f (x) d x, e ∫ f (x) d x è stato necessario cercarlo utilizzando l'integrazione per parti.

Esempio 5

Calcola l'integrale definito ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Soluzione

La funzione x · sin x 3 + π 6 è integrabile sull'intervallo - π 2 ; 3 π 2, il che significa che è continuo.

Sia u (x) = x, allora d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, e d (u (x)) = u " (x) d x = d x, e v (x) = - 3 cos π 3 + π 6. Dalla formula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x otteniamo che

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 peccato π 2 + π 6 - peccato - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

L'esempio può essere risolto in un altro modo.

Trova l'insieme delle antiderivative della funzione x · sin x 3 + π 6 utilizzando l'integrazione per parti utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3π4 + 932

Risposta: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

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