Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μεταβολής των σταθερών online. Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. Παραδείγματα λύσεων. Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για την κατασκευή λύσης σε γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση
Διάλεξη 44. Γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης. Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. Γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. (ειδική δεξιά πλευρά).
Κοινωνικοί μετασχηματισμοί. Κράτος και εκκλησία.
Η κοινωνική πολιτική των Μπολσεβίκων υπαγορεύτηκε σε μεγάλο βαθμό από την ταξική τους προσέγγιση.Με διάταγμα της 10ης Νοεμβρίου 1917 καταστράφηκε το ταξικό σύστημα, καταργήθηκαν οι προεπαναστατικοί βαθμοί, οι τίτλοι και τα βραβεία. Καθιερώθηκε η εκλογή των δικαστών. πραγματοποιήθηκε εκκοσμίκευση των πολιτικών κρατών. Καθιερώθηκε δωρεάν εκπαίδευση και ιατρική περίθαλψη (διάταγμα της 31ης Οκτωβρίου 1918). Οι γυναίκες είχαν ίσα δικαιώματα με τους άνδρες (διατάγματα 16 και 18 Δεκεμβρίου 1917). Με το Διάταγμα του Γάμου εισήχθη ο θεσμός του πολιτικού γάμου.
Με διάταγμα του Συμβουλίου των Λαϊκών Επιτρόπων της 20ης Ιανουαρίου 1918, η εκκλησία διαχωρίστηκε από το κράτος και από το εκπαιδευτικό σύστημα. Το μεγαλύτερο μέρος της εκκλησιαστικής περιουσίας κατασχέθηκε. Ο Πατριάρχης Μόσχας και Πασών των Ρωσιών Τίχων (εξελέγη στις 5 Νοεμβρίου 1917) στις 19 Ιανουαρίου 1918 αναθεματοποίησε τη σοβιετική εξουσία και κάλεσε σε αγώνα κατά των Μπολσεβίκων.
Θεωρήστε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης
Η δομή της γενικής λύσης μιας τέτοιας εξίσωσης καθορίζεται από το ακόλουθο θεώρημα:
Θεώρημα 1.Η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης (1) παριστάνεται ως το άθροισμα κάποιας συγκεκριμένης λύσης αυτής της εξίσωσης και η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης
Απόδειξη. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι το ποσό
είναι μια γενική λύση της εξίσωσης (1). Ας αποδείξουμε πρώτα ότι η συνάρτηση (3) είναι λύση της εξίσωσης (1).
Αντικατάσταση του αθροίσματος στην εξίσωση (1) αντί για στο, θα έχω
Εφόσον υπάρχει λύση στην εξίσωση (2), η έκφραση στις πρώτες αγκύλες είναι πανομοιότυπα ίση με μηδέν. Εφόσον υπάρχει λύση στην εξίσωση (1), η έκφραση στις δεύτερες αγκύλες είναι ίση με f(x). Επομένως, η ισότητα (4) είναι ταυτότητα. Έτσι, το πρώτο μέρος του θεωρήματος αποδεικνύεται.
Ας αποδείξουμε τη δεύτερη πρόταση: η έκφραση (3) είναι γενικόςλύση της εξίσωσης (1). Πρέπει να αποδείξουμε ότι οι αυθαίρετες σταθερές που περιλαμβάνονται σε αυτήν την έκφραση μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες:
όποιοι κι αν είναι οι αριθμοί x 0, y 0και (αν μόνο x 0ελήφθη από την περιοχή όπου λειτουργούν ένα 1, ένα 2Και f(x)συνεχής).
Παρατηρώντας ότι μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή . Στη συνέχεια, με βάση τις προϋποθέσεις (5), θα έχουμε
Ας λύσουμε αυτό το σύστημα και ας προσδιορίσουμε Γ 1Και Γ 2. Ας ξαναγράψουμε το σύστημα με τη μορφή:
Σημειώστε ότι η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronski για τις συναρτήσεις στο 1Και στις 2στο σημείο x=x 0. Εφόσον αυτές οι συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες από συνθήκη, η ορίζουσα Wronski δεν είναι ίση με μηδέν. επομένως το σύστημα (6) έχει οριστική λύση Γ 1Και Γ 2, δηλ. υπάρχουν τέτοιες έννοιες Γ 1Και Γ 2, σύμφωνα με τον οποίο ο τύπος (3) καθορίζει τη λύση της εξίσωσης (1) που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες. Q.E.D.
Ας προχωρήσουμε στη γενική μέθοδο εύρεσης μερικών λύσεων σε μια ανομοιογενή εξίσωση.
Ας γράψουμε τη γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης (2)
Θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση (1) στη μορφή (7), λαμβάνοντας υπόψη Γ 1Και Γ 2όπως κάποιες ακόμη άγνωστες λειτουργίες από Χ.
Ας διαφοροποιήσουμε την ισότητα (7):
Ας επιλέξουμε τις λειτουργίες που αναζητάτε Γ 1Και Γ 2ώστε να ισχύει η ισότητα
Αν λάβουμε υπόψη αυτήν την πρόσθετη συνθήκη, τότε η πρώτη παράγωγος θα πάρει τη μορφή
Διαφοροποιώντας τώρα αυτήν την έκφραση, βρίσκουμε:
Αντικαθιστώντας την εξίσωση (1), παίρνουμε
Οι εκφράσεις στις δύο πρώτες αγκύλες γίνονται μηδέν, αφού y 1Και y 2– λύσεις ομογενούς εξίσωσης. Επομένως, η τελευταία ισότητα παίρνει τη μορφή
Έτσι, η συνάρτηση (7) θα είναι μια λύση στην ανομοιογενή εξίσωση (1) εάν οι συναρτήσεις Γ 1Και Γ 2ικανοποιεί τις εξισώσεις (8) και (9). Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων από τις εξισώσεις (8) και (9).
Δεδομένου ότι η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronski για γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις y 1Και y 2εξίσωση (2), τότε δεν είναι ίση με μηδέν. Επομένως, λύνοντας το σύστημα, θα βρούμε και τις δύο συγκεκριμένες λειτουργίες του Χ:
Επιλύοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε , από όπου, ως αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης, παίρνουμε . Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις που βρέθηκαν στον τύπο, παίρνουμε μια γενική λύση στην ανομοιογενή εξίσωση, όπου υπάρχουν αυθαίρετες σταθερές.
Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών
Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για την κατασκευή λύσης σε γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση
ένα n (t)z (n) (t) + ένα n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + ένα 1 (t)z"(t) + ένα 0 (t)z(t) = φά(t)
αποτελείται από την αντικατάσταση αυθαίρετων σταθερών ντο κστη γενική λύση
z(t) = ντο 1 z 1 (t) + ντο 2 z 2 (t) + ... + ντο n z n (t)
αντίστοιχη ομοιογενής εξίσωση
ένα n (t)z (n) (t) + ένα n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + ένα 1 (t)z"(t) + ένα 0 (t)z(t) = 0
για βοηθητικές λειτουργίες ντο κ (t) , των οποίων οι παράγωγοι ικανοποιούν το γραμμικό αλγεβρικό σύστημα
Η ορίζουσα του συστήματος (1) είναι το Wronskian των συναρτήσεων z 1 ,z 2 ,...,z n , το οποίο εξασφαλίζει τη μοναδική επιλυτότητά του σε σχέση με το .
Εάν είναι αντιπαράγωγα για , λαμβάνονται σε σταθερές τιμές των σταθερών ολοκλήρωσης, τότε η συνάρτηση
είναι μια λύση στην αρχική γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση. Η ολοκλήρωση μιας ανομοιογενούς εξίσωσης παρουσία μιας γενικής λύσης στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση μειώνεται έτσι σε τετράγωνα.
Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για την κατασκευή λύσεων σε σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων σε διανυσματική κανονική μορφή
συνίσταται στην κατασκευή μιας συγκεκριμένης λύσης (1) στη μορφή
Οπου Ζ(t) είναι η βάση των λύσεων στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση, γραμμένη με τη μορφή πίνακα, και η διανυσματική συνάρτηση , που αντικατέστησε το διάνυσμα των αυθαίρετων σταθερών, ορίζεται από τη σχέση . Η απαιτούμενη συγκεκριμένη λύση (με μηδενικές αρχικές τιμές στο t = t 0 μοιάζει
Για ένα σύστημα με σταθερούς συντελεστές, η τελευταία έκφραση απλοποιείται:
Μήτρα Ζ(t)Ζ− 1 (τ)που ονομάζεται Μήτρα Cauchyχειριστής μεγάλο = ΕΝΑ(t) .
Εξετάζεται μια μέθοδος επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων υψηλότερων τάξεων με σταθερούς συντελεστές με τη μέθοδο μεταβολής των σταθερών Lagrange. Η μέθοδος Lagrange είναι επίσης εφαρμόσιμη για την επίλυση οποιωνδήποτε γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων εάν είναι γνωστό το θεμελιώδες σύστημα λύσεων στην ομογενή εξίσωση.
ΠεριεχόμενοΔείτε επίσης:
Μέθοδος Lagrange (μεταβολή σταθερών)
Θεωρήστε μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές αυθαίρετης νης τάξης:
(1)
.
Η μέθοδος μεταβολής μιας σταθεράς, την οποία θεωρήσαμε για μια εξίσωση πρώτης τάξης, ισχύει και για εξισώσεις υψηλότερης τάξης.
Η λύση πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Στο πρώτο βήμα, πετάμε τη δεξιά πλευρά και λύνουμε την ομοιογενή εξίσωση. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια λύση που περιέχει n αυθαίρετες σταθερές. Στο δεύτερο στάδιο μεταβάλλουμε τις σταθερές. Δηλαδή θεωρούμε ότι αυτές οι σταθερές είναι συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής x και βρίσκουμε τη μορφή αυτών των συναρτήσεων.
Αν και εξετάζουμε εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές εδώ, Η μέθοδος του Lagrange είναι επίσης εφαρμόσιμη για την επίλυση τυχόν γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων. Για αυτό όμως πρέπει να είναι γνωστό το θεμελιώδες σύστημα λύσεων της ομογενούς εξίσωσης.
Βήμα 1. Επίλυση της ομοιογενούς εξίσωσης
Όπως και στην περίπτωση των εξισώσεων πρώτης τάξης, αναζητούμε πρώτα τη γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης, εξισώνοντας τη δεξιά ανομοιογενή πλευρά με μηδέν:
(2)
.
Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι:
(3)
.
Εδώ είναι αυθαίρετες σταθερές. - n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ομογενούς εξίσωσης (2), που σχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων αυτής της εξίσωσης.
Βήμα 2. Μεταβολή σταθερών - αντικατάσταση σταθερών με συναρτήσεις
Στο δεύτερο στάδιο θα ασχοληθούμε με τη μεταβολή των σταθερών. Με άλλα λόγια, θα αντικαταστήσουμε τις σταθερές με συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής x:
.
Δηλαδή, αναζητούμε μια λύση στην αρχική εξίσωση (1) με την ακόλουθη μορφή:
(4)
.
Αν αντικαταστήσουμε το (4) με το (1), παίρνουμε μια διαφορική εξίσωση για n συναρτήσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να συνδέσουμε αυτές τις συναρτήσεις με πρόσθετες εξισώσεις. Τότε παίρνετε n εξισώσεις από τις οποίες μπορούν να προσδιοριστούν n συναρτήσεις. Οι πρόσθετες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν με διάφορους τρόπους. Αλλά θα το κάνουμε αυτό ώστε η λύση να έχει την απλούστερη μορφή. Για να το κάνετε αυτό, κατά τη διαφοροποίηση, πρέπει να εξισώσετε με μηδέν τους όρους που περιέχουν παραγώγους των συναρτήσεων. Ας το δείξουμε αυτό.
Για να αντικαταστήσουμε την προτεινόμενη λύση (4) στην αρχική εξίσωση (1), πρέπει να βρούμε τις παραγώγους των πρώτων n τάξεων της συνάρτησης που είναι γραμμένη στη μορφή (4). Διαφοροποιούμε το (4) χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης αθροίσματος και γινομένου:
.
Ας ομαδοποιήσουμε τα μέλη. Αρχικά, γράφουμε τους όρους με παράγωγα του , και μετά τους όρους με τα παράγωγα του :
.
Ας επιβάλουμε την πρώτη προϋπόθεση στις συναρτήσεις:
(5.1)
.
Τότε η έκφραση για την πρώτη παράγωγο σε σχέση με θα έχει απλούστερη μορφή:
(6.1)
.
Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο:
.
Ας επιβάλουμε μια δεύτερη προϋπόθεση στις συναρτήσεις:
(5.2)
.
Επειτα
(6.2)
.
Και ούτω καθεξής. Σε πρόσθετες συνθήκες, εξισώνουμε τους όρους που περιέχουν παραγώγους συναρτήσεων με μηδέν.
Έτσι, εάν επιλέξουμε τις ακόλουθες πρόσθετες εξισώσεις για τις συναρτήσεις:
(5.k) ,
τότε οι πρώτες παράγωγοι σε σχέση με θα έχουν την απλούστερη μορφή:
(6.k) .
Εδώ .
Βρείτε την nη παράγωγο:
(6.n)
.
Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση (1):
(1)
;
.
Ας λάβουμε υπόψη ότι όλες οι συναρτήσεις ικανοποιούν την εξίσωση (2):
.
Τότε το άθροισμα των όρων που περιέχουν δίνει μηδέν. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
(7)
.
Ως αποτέλεσμα, λάβαμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων για παραγώγους:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Λύνοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε εκφράσεις για παραγώγους ως συνάρτηση του x. Ενσωματώνοντας, παίρνουμε:
.
Εδώ υπάρχουν σταθερές που δεν εξαρτώνται πλέον από το x. Αντικαθιστώντας το (4), παίρνουμε μια γενική λύση της αρχικής εξίσωσης.
Σημειώστε ότι για τον προσδιορισμό των τιμών των παραγώγων, δεν χρησιμοποιήσαμε ποτέ το γεγονός ότι οι συντελεστές a i είναι σταθεροί. Να γιατί Η μέθοδος του Lagrange είναι εφαρμόσιμη για την επίλυση τυχόν γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων, αν είναι γνωστό το θεμελιώδες σύστημα λύσεων της ομογενούς εξίσωσης (2).
Παραδείγματα
Λύστε εξισώσεις με τη μέθοδο της μεταβολής των σταθερών (Lagrange).
Λύση παραδειγμάτων > > >
Επίλυση εξισώσεων υψηλότερης τάξης με τη μέθοδο Bernoulli
Επίλυση γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων υψηλότερων τάξεων με σταθερούς συντελεστές με γραμμική αντικατάσταση
Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων. Αυτό το μάθημα προορίζεται για εκείνους τους μαθητές που γνωρίζουν ήδη λίγο πολύ καλά το θέμα. Εάν μόλις αρχίζετε να εξοικειωθείτε με το τηλεχειριστήριο, π.χ. Εάν είστε τσαγιέρα, προτείνω να ξεκινήσετε με το πρώτο μάθημα: Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Και αν τελειώνετε ήδη, απορρίψτε την πιθανή προκατάληψη ότι η μέθοδος είναι δύσκολη. Γιατί είναι απλό.
Σε ποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών;
1) Για την επίλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης. Εφόσον η εξίσωση είναι πρώτης τάξης, τότε η σταθερά είναι επίσης μία.
2) Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εδώ διαφέρουν δύο σταθερές.
Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το μάθημα θα αποτελείται από δύο παραγράφους... Έγραψα λοιπόν αυτή τη φράση και για περίπου 10 λεπτά σκεφτόμουν με πόνο τι άλλο έξυπνο χάλι θα μπορούσα να προσθέσω για μια ομαλή μετάβαση σε πρακτικά παραδείγματα. Αλλά για κάποιο λόγο δεν έχω καμία σκέψη μετά τις διακοπές, αν και δεν φαίνεται να έχω καταχραστεί τίποτα. Επομένως, ας πάμε κατευθείαν στην πρώτη παράγραφο.
Μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς
για γραμμική ανομοιογενή εξίσωση πρώτης τάξης
Πριν εξετάσετε τη μέθοδο μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς, καλό είναι να εξοικειωθείτε με το άρθρο Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε εκείνο το μάθημα εξασκηθήκαμε πρώτη λύσηανομοιογενής 1ης τάξης ΔΕ. Αυτή η πρώτη λύση, θυμίζω, λέγεται μέθοδος αντικατάστασηςή Μέθοδος Bernoulli(δεν πρέπει να συγχέεται με εξίσωση Bernoulli!!!)
Τώρα θα κοιτάξουμε δεύτερη λύση– μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς. Θα δώσω μόνο τρία παραδείγματα και θα τα πάρω από το προαναφερθέν μάθημα. Γιατί τόσο λίγοι; Γιατί στην πραγματικότητα, η λύση με τον δεύτερο τρόπο θα μοιάζει πολύ με τη λύση με τον πρώτο τρόπο. Επιπλέον, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά από τη μέθοδο αντικατάστασης.
Παράδειγμα 1
(Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 2 του μαθήματος Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης)
Λύση:Αυτή η εξίσωση είναι γραμμική ανομοιογενής και έχει μια γνωστή μορφή: 
Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να λυθεί μια απλούστερη εξίσωση: 
Δηλαδή, ανόητα μηδενίζουμε τη δεξιά πλευρά και αντί γι' αυτό γράφουμε μηδέν.
Η εξίσωση θα τηλεφωνήσω βοηθητική εξίσωση.
Σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη βοηθητική εξίσωση:
Πριν από εμάς διαχωρίσιμη εξίσωση, η λύση του οποίου (ελπίζω) να μην είναι πλέον δύσκολη για εσάς: 
Ετσι: 
– γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης.
Στο δεύτερο σκαλοπάτι θα αντικαταστήσουμεκάποια σταθερά προς το παρόνάγνωστη συνάρτηση που εξαρτάται από το "x":
Εξ ου και το όνομα της μεθόδου - μεταβάλλουμε τη σταθερά. Εναλλακτικά, η σταθερά θα μπορούσε να είναι κάποια συνάρτηση που τώρα πρέπει να βρούμε.
ΣΕ πρωτότυποανομοιογενής εξίσωση ας κάνουμε μια αντικατάσταση:
Ας αντικαταστήσουμε και 
στην εξίσωση :
Σημείο ελέγχου - οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται. Εάν αυτό δεν συμβεί, θα πρέπει να αναζητήσετε το παραπάνω σφάλμα.
Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, προέκυψε μια εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές και ενσωματώνουμε.
Τι ευλογία, οι εκθέτες ακυρώνουν επίσης:
Προσθέτουμε μια «κανονική» σταθερά στη συνάρτηση που βρέθηκε:
Στο τελικό στάδιο, θυμόμαστε την αντικατάστασή μας:
Η συνάρτηση μόλις βρέθηκε!
Η γενική λύση λοιπόν είναι: 
Απάντηση:κοινή απόφαση: 
Εάν εκτυπώσετε τις δύο λύσεις, θα παρατηρήσετε εύκολα ότι και στις δύο περιπτώσεις βρήκαμε τα ίδια ολοκληρώματα. Η μόνη διαφορά είναι στον αλγόριθμο επίλυσης.
Τώρα για κάτι πιο περίπλοκο, θα σχολιάσω και το δεύτερο παράδειγμα:
Παράδειγμα 2
Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 
(Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 8 του μαθήματος Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης)
Λύση:Ας μειώσουμε την εξίσωση στη μορφή :
Ας επαναφέρουμε τη δεξιά πλευρά και ας λύσουμε τη βοηθητική εξίσωση:
Γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης:
Στην ανομοιογενή εξίσωση κάνουμε την αντικατάσταση:
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων: 
Ας αντικαταστήσουμε και στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση:
Οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται, πράγμα που σημαίνει ότι είμαστε στο σωστό δρόμο: 
Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη. Το νόστιμο γράμμα από τον τύπο ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα εμπλέκεται ήδη στη λύση, επομένως χρησιμοποιούμε, για παράδειγμα, τα γράμματα "a" και "be":
Ας θυμηθούμε τώρα την αντικατάσταση:
Απάντηση:κοινή απόφαση:
Και ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:
Παράδειγμα 3
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη.
,
(Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 4 του μαθήματος Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης)
Λύση:
Αυτή η ΔΕ είναι γραμμική ανομοιογενής. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. Ας λύσουμε τη βοηθητική εξίσωση:
Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές και ενσωματώνουμε: 
Κοινή απόφαση: 
Στην ανομοιογενή εξίσωση κάνουμε την αντικατάσταση: 
Ας κάνουμε την αντικατάσταση: 
Η γενική λύση λοιπόν είναι: 
Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη: 
Απάντηση:ιδιωτική λύση:
Η λύση στο τέλος του μαθήματος μπορεί να χρησιμεύσει ως πρόχειρο παράδειγμα για την ολοκλήρωση της εργασίας.
Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών
για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης
με σταθερούς συντελεστές
Έχω ακούσει συχνά την άποψη ότι η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για μια εξίσωση δεύτερης τάξης δεν είναι εύκολη υπόθεση. Υποθέτω όμως το εξής: πιθανότατα, η μέθοδος φαίνεται δύσκολη σε πολλούς γιατί δεν συμβαίνει τόσο συχνά. Αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες - η πορεία της απόφασης είναι σαφής, διαφανής και κατανοητή. Και όμορφη.
Για να κυριαρχήσετε τη μέθοδο, είναι επιθυμητό να μπορείτε να λύσετε ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης επιλέγοντας μια συγκεκριμένη λύση με βάση τη μορφή της δεξιάς πλευράς. Αυτή η μέθοδος συζητείται λεπτομερώς στο άρθρο. Ανομοιογενείς ΔΕ 2ης τάξης. Υπενθυμίζουμε ότι μια δεύτερης τάξης γραμμική ανομοιογενής εξίσωση με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή:
Η μέθοδος επιλογής, η οποία συζητήθηκε στο παραπάνω μάθημα, λειτουργεί μόνο σε περιορισμένο αριθμό περιπτώσεων όταν η δεξιά πλευρά περιέχει πολυώνυμα, εκθετικές τιμές, ημίτονο και συνημίτονο. Τι να κάνουμε όμως όταν στα δεξιά, για παράδειγμα, είναι ένα κλάσμα, λογάριθμος, εφαπτομένη; Σε μια τέτοια κατάσταση, η μέθοδος μεταβολής των σταθερών έρχεται στη διάσωση.
Παράδειγμα 4
Βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης 
Λύση:Υπάρχει ένα κλάσμα στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης, οπότε μπορούμε να πούμε αμέσως ότι η μέθοδος επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης δεν λειτουργεί. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.
Δεν υπάρχουν σημάδια καταιγίδας, η αρχή της λύσης είναι εντελώς συνηθισμένη:
Θα βρούμε κοινή απόφασηκατάλληλος ομοιογενήςεξισώσεις: 
Ας συνθέσουμε και λύσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση: 
– λαμβάνονται συζευγμένες σύνθετες ρίζες, οπότε η γενική λύση είναι:
Δώστε προσοχή στην εγγραφή της γενικής λύσης - εάν υπάρχουν παρενθέσεις, τότε ανοίξτε τις.
Τώρα κάνουμε σχεδόν το ίδιο κόλπο με την εξίσωση πρώτης τάξης: μεταβάλλουμε τις σταθερές, αντικαθιστώντας τις με άγνωστες συναρτήσεις. Αυτό είναι, γενική λύση ανομοιογενούςθα αναζητήσουμε εξισώσεις με τη μορφή:
Οπου - προς το παρόνάγνωστες λειτουργίες.
Μοιάζει με χωματερή οικιακών απορριμμάτων, αλλά τώρα θα τακτοποιήσουμε τα πάντα.
Οι άγνωστοι είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων. Στόχος μας είναι να βρούμε παραγώγους και οι ευρεθείσες παράγωγοι πρέπει να ικανοποιούν τόσο την πρώτη όσο και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος.
Από πού προέρχονται οι «Έλληνες»; Τα φέρνει ο πελαργός. Εξετάζουμε τη γενική λύση που λήφθηκε νωρίτερα και γράφουμε:
Ας βρούμε τα παράγωγα:
Τα αριστερά μέρη έχουν αντιμετωπιστεί. Τι είναι στα δεξιά;
είναι η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης, σε αυτήν την περίπτωση:
Ο συντελεστής είναι ο συντελεστής της δεύτερης παραγώγου:
Στην πράξη, σχεδόν πάντα, και το παράδειγμά μας δεν αποτελεί εξαίρεση.
Όλα είναι ξεκάθαρα, τώρα μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σύστημα: 
Το σύστημα συνήθως λύνεται σύμφωνα με τους τύπους του Cramerχρησιμοποιώντας έναν τυπικό αλγόριθμο. Η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για αριθμούς έχουμε συναρτήσεις.
Ας βρούμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος: 
Αν έχετε ξεχάσει πώς αποκαλύπτεται ο προσδιοριστής δύο προς δύο, ανατρέξτε στο μάθημα Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;Ο σύνδεσμος οδηγεί στον πίνακα της ντροπής =)
Άρα: αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.
Εύρεση της παραγώγου: 
Αλλά δεν είναι μόνο αυτό, μέχρι στιγμής έχουμε βρει μόνο το παράγωγο.
Η ίδια η λειτουργία αποκαθίσταται με την ενσωμάτωση:
Ας δούμε τη δεύτερη συνάρτηση: 
Εδώ προσθέτουμε μια «κανονική» σταθερά
Στο τελικό στάδιο της λύσης, θυμόμαστε με ποια μορφή αναζητούσαμε μια γενική λύση στην ανομοιογενή εξίσωση; Σε τέτοια:
Οι λειτουργίες που χρειάζεστε μόλις βρέθηκαν! 
Το μόνο που μένει είναι να κάνετε την αντικατάσταση και να γράψετε την απάντηση:
Απάντηση:κοινή απόφαση:
Κατ' αρχήν, η απάντηση θα μπορούσε να διευρύνει τις παρενθέσεις.
Πραγματοποιείται πλήρης έλεγχος της απάντησης σύμφωνα με το τυπικό σχήμα, το οποίο συζητήθηκε στο μάθημα. Ανομοιογενείς ΔΕ 2ης τάξης. Αλλά η επαλήθευση δεν θα είναι εύκολη, καθώς είναι απαραίτητο να βρεθούν αρκετά βαριά παράγωγα και να πραγματοποιηθεί μια δυσκίνητη αντικατάσταση. Αυτό είναι ένα δυσάρεστο χαρακτηριστικό όταν επιλύετε τέτοιους διαχυτές.
Παράδειγμα 5
Να λύσετε μια διαφορική εξίσωση μεταβάλλοντας αυθαίρετες σταθερές
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Μάλιστα στη δεξιά πλευρά υπάρχει και ένα κλάσμα. Ας θυμηθούμε τον τριγωνομετρικό τύπο παρεμπιπτόντως, θα πρέπει να εφαρμοστεί κατά τη διάρκεια της λύσης.
Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών είναι η πιο καθολική μέθοδος. Μπορεί να λύσει οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να λυθεί μέθοδος επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης με βάση τη μορφή της δεξιάς πλευράς. Τίθεται το ερώτημα: γιατί να μην χρησιμοποιήσουμε και εκεί τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών; Η απάντηση είναι προφανής: η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης, η οποία συζητήθηκε στην τάξη Ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης, επιταχύνει σημαντικά τη λύση και συντομεύει την εγγραφή - χωρίς φασαρία με ορίζουσες και ολοκληρώματα.
Ας δούμε δύο παραδείγματα με Πρόβλημα Cauchy.
Παράδειγμα 6
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που αντιστοιχεί στις δεδομένες αρχικές συνθήκες
, 
Λύση:Και πάλι το κλάσμα και ο εκθέτης βρίσκονται σε ενδιαφέρουσα θέση.
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.
Θα βρούμε κοινή απόφασηκατάλληλος ομοιογενήςεξισώσεις: 
– λαμβάνονται διαφορετικές πραγματικές ρίζες, οπότε η γενική λύση είναι:
Γενική λύση ανομοιογενούςαναζητούμε εξισώσεις με τη μορφή: , όπου – προς το παρόνάγνωστες λειτουργίες.
Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:
Σε αυτήν την περίπτωση:
,
Εύρεση παραγώγων: 
, 
Ετσι: 
Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer:
, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.
Επαναφέρουμε τη συνάρτηση με ενσωμάτωση:
Χρησιμοποιείται εδώ μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο.
Επαναφέρουμε τη δεύτερη συνάρτηση με ενσωμάτωση: 
Αυτό το ολοκλήρωμα έχει λυθεί μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης:
Από την ίδια την αντικατάσταση εκφράζουμε:
Ετσι: 
Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί μέθοδος πλήρους τετραγωνικής εξαγωγής, αλλά σε παραδείγματα με διαχυτές προτιμώ να επεκτείνω το κλάσμα μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών:
Βρέθηκαν και οι δύο λειτουργίες:
Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης είναι:
Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες .
Τεχνικά, η αναζήτηση λύσης πραγματοποιείται με τυπικό τρόπο, ο οποίος συζητήθηκε στο άρθρο Ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης.
Περιμένετε, τώρα θα βρούμε την παράγωγο της γενικής λύσης που βρέθηκε:
Αυτό είναι τόσο ντροπή. Δεν είναι απαραίτητο να το απλοποιήσουμε, είναι ευκολότερο να δημιουργήσουμε αμέσως ένα σύστημα εξισώσεων. Σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες :
Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές των σταθερών που βρέθηκαν 
στη γενική λύση:
Στην απάντηση, οι λογάριθμοι μπορούν να συσσωρευτούν λίγο.
Απάντηση:ιδιωτική λύση: 
Όπως μπορείτε να δείτε, δυσκολίες μπορεί να προκύψουν σε ολοκληρώματα και παραγώγους, αλλά όχι στον αλγόριθμο της ίδιας της μεθόδου μεταβολής των αυθαίρετων σταθερών. Δεν είμαι εγώ που σε πτοήσα, είναι όλη η συλλογή του Kuznetsov!
Για χαλάρωση, ένα τελευταίο, πιο απλό παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας:
Παράδειγμα 7
Λύστε το πρόβλημα του Cauchy
, 
Το παράδειγμα είναι απλό, αλλά δημιουργικό, όταν δημιουργείτε ένα σύστημα, κοιτάξτε το προσεκτικά πριν αποφασίσετε ;-),
Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση είναι:
Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που να αντιστοιχεί στις αρχικές συνθήκες .
Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές των σταθερών που βρέθηκαν στη γενική λύση:
Απάντηση:ιδιωτική λύση:
Ας εξετάσουμε τώρα τη γραμμική ανομοιογενή εξίσωση
. (2)
Έστω y 1 ,y 2 ,.., y n ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων και έστω η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0. Παρόμοια με την περίπτωση των εξισώσεων πρώτης τάξης, θα αναζητήσουμε μια λύση στην εξίσωση (2) στη μορφή
. (3)
Ας βεβαιωθούμε ότι υπάρχει λύση σε αυτή τη μορφή. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τη συνάρτηση στην εξίσωση. Για να αντικαταστήσουμε αυτή τη συνάρτηση στην εξίσωση, βρίσκουμε τις παράγωγές της. Η πρώτη παράγωγος ισούται με 
. (4)
Κατά τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου, τέσσερις όροι θα εμφανίζονται στη δεξιά πλευρά της (4), κατά τον υπολογισμό της τρίτης παραγώγου, θα εμφανίζονται οκτώ όροι κ.ο.κ. Επομένως, για διευκόλυνση περαιτέρω υπολογισμών, ο πρώτος όρος στο (4) τίθεται ίσος με μηδέν. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, η δεύτερη παράγωγος ισούται με 
. (5)
Για τους ίδιους λόγους όπως και πριν, στο (5) ορίσαμε επίσης τον πρώτο όρο ίσο με το μηδέν. Τέλος, η ντη παράγωγος είναι 
. (6)
Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές των παραγώγων στην αρχική εξίσωση, έχουμε 
. (7)
Ο δεύτερος όρος στο (7) είναι ίσος με μηδέν, αφού οι συναρτήσεις y j , j=1,2,..,n, είναι λύσεις της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0. Σε συνδυασμό με την προηγούμενη, λαμβάνουμε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων για την εύρεση των συναρτήσεων C" j (x) 
(8)
Η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronski του θεμελιώδους συστήματος λύσεων y 1 ,y 2 ,..,y n της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0 και επομένως δεν ισούται με μηδέν. Κατά συνέπεια, υπάρχει μια μοναδική λύση στο σύστημα (8). Αφού το βρήκαμε, λαμβάνουμε τις συναρτήσεις C" j (x), j=1,2,…,n, και, κατά συνέπεια, C j (x), j=1,2,…,n Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές σε (3), λαμβάνουμε λύση σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση.
Η παρουσιαζόμενη μέθοδος ονομάζεται μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς ή μέθοδος Lagrange.
Παράδειγμα Νο. 1. Ας βρούμε τη γενική λύση της εξίσωσης y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Θεωρούμε την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση y"" + 4y" + 3y = 0. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής της εξίσωσης r 2 + 4r + 3 = 0 ισούται με -1 και -3. Επομένως, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων μιας ομοιογενούς εξίσωσης αποτελείται από τις συναρτήσεις y 1 = e - x και y 2 = e -3 x. Αναζητούμε λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μορφή y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Για να βρούμε τις παραγώγους C" 1 , C" 2 συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
λύνοντας τα οποία, βρίσκουμε , Ενσωματώνοντας τις συναρτήσεις που προέκυψαν, έχουμε 
Τελικά παίρνουμε
Παράδειγμα Νο. 2. Να λύσετε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών: 
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Λύση:
Αυτή η διαφορική εξίσωση αναφέρεται σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.
Θα αναζητήσουμε λύση της εξίσωσης με τη μορφή y = e rx. Για να γίνει αυτό, συνθέτουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: r 1 = 4, r 2 = 2
Κατά συνέπεια, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων αποτελείται από τις συναρτήσεις: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Αναζήτηση μιας συγκεκριμένης λύσης με τη μέθοδο της μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς.
Για να βρούμε τις παραγώγους του C" i συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Ας εκφράσουμε το C" 1 από την πρώτη εξίσωση:
C" 1 = -c 2 e -2x
και αντικαταστήστε το με το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Ενσωματώνουμε τις ληφθείσες συναρτήσεις C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Εφόσον y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, γράφουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν με τη μορφή:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Έτσι, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ή
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση υπό την προϋπόθεση:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Αντικαθιστώντας x = 0 στην εξίσωση που βρέθηκε, παίρνουμε:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της λαμβανόμενης γενικής λύσης:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Αντικαθιστώντας x = 0, παίρνουμε:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Παίρνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ή
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ή
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Από: C 1 = 0, C * 2 = 2
Η ιδιωτική λύση θα γραφτεί ως:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
