Zahlenreihen: Definitionen, Eigenschaften, Konvergenzzeichen, Beispiele, Lösungen. Zahlenreihe erhöhter Komplexität. Formulierung in extremer Form

Mit Standardmethoden sind wir bei einem anderen Beispiel in eine Sackgasse geraten.

Was ist die Schwierigkeit und wo könnte es einen Haken geben? Lassen wir den seifigen Strick beiseite, analysieren wir in Ruhe die Gründe und machen wir uns mit praktischen Lösungen vertraut.

Das Erste und Wichtigste: Um die Konvergenz einer Reihe zu untersuchen, ist es in den allermeisten Fällen notwendig, eine bekannte Methode zu verwenden, aber der allgemeine Term der Reihe ist mit so kniffligen Füllungen gefüllt, dass es überhaupt nicht klar ist, was man damit machen soll . Und man dreht sich im Kreis: Das erste Zeichen funktioniert nicht, das zweite funktioniert nicht, die dritte, vierte, fünfte Methode funktioniert nicht, dann werden die Entwürfe beiseite geworfen und alles beginnt von vorne. Dies ist in der Regel auf mangelnde Erfahrung oder Lücken in anderen Bereichen der mathematischen Analyse zurückzuführen. Insbesondere beim Laufen Sequenzgrenzen und oberflächlich zerlegt Funktionsgrenzen, dann wird es schwierig.

Mit anderen Worten: Eine Person sieht aufgrund mangelnden Wissens oder mangelnder Erfahrung einfach nicht die notwendige Entscheidungsmethode.

Manchmal ist auch „Eclipse“ schuld, wenn beispielsweise das notwendige Kriterium für die Konvergenz einer Reihe nicht erfüllt ist, dieses aber aus Unwissenheit, Unaufmerksamkeit oder Nachlässigkeit außer Sicht gerät. Und es kommt wie in der Geschichte, in der ein Mathematikprofessor ein Kinderproblem mit wilden wiederkehrenden Folgen und Zahlenreihen löste =)

In bester Tradition unmittelbar lebendige Beispiele: Reihen und ihre Verwandten - sind anderer Meinung, da dies theoretisch bewiesen ist Sequenzgrenzen. Höchstwahrscheinlich wird man Ihnen im ersten Semester für einen Beweis von 1-2-3 Seiten die Seele aus dem Leib schütteln, aber jetzt reicht es völlig aus, das Scheitern der notwendigen Bedingung für die Konvergenz einer Reihe unter Berufung auf bekannte Fakten zu zeigen . Berühmt? Wenn der Schüler nicht weiß, dass die n-te Wurzel eine äußerst mächtige Sache ist, dann sagen wir die Reihe wird ihn in eine Sackgasse führen. Obwohl die Lösung wie zweimal zwei: lautet, d. h. Aus offensichtlichen Gründen weichen beide Reihen voneinander ab. Ein bescheidener Kommentar „Diese Grenzen sind theoretisch bewiesen“ (oder auch deren Fehlen) reicht für den Test völlig aus, schließlich sind die Berechnungen recht umfangreich und gehören definitiv nicht in den Bereich der Zahlenreihen.

Und nachdem Sie die folgenden Beispiele studiert haben, werden Sie über die Kürze und Transparenz vieler Lösungen erstaunt sein:

Beispiel 1

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Lösung: Zunächst prüfen wir die Ausführung notwendiges Konvergenzkriterium. Dies ist keine Formalität, sondern eine hervorragende Gelegenheit, mit „wenig Blutvergießen“ mit dem Beispiel umzugehen.

„Inspektion der Szene“ legt eine divergente Reihe nahe (den Fall einer verallgemeinerten harmonischen Reihe), aber es stellt sich erneut die Frage, wie der Logarithmus im Zähler berücksichtigt werden soll.

Ungefähre Beispiele für Aufgaben am Ende der Lektion.

Es ist nicht ungewöhnlich, dass Sie eine zweistufige (oder sogar dreistufige) Argumentation durchführen müssen:

Beispiel 6

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Lösung: Lassen Sie uns zunächst sorgfältig mit dem Kauderwelsch des Zählers umgehen. Reihenfolge – begrenzt: . Dann:

Vergleichen wir unsere Serie mit der Serie. Aufgrund der gerade erhaltenen doppelten Ungleichung gilt für alle „en“ Folgendes:

Vergleichen Sie nun die Reihe mit einer divergenten harmonischen Reihe.

Bruchnenner weniger Nenner des Bruchs also der Bruch selbst – mehr Brüche (schreiben Sie die ersten paar Begriffe auf, wenn es nicht klar ist). Für jedes „en“ gilt also:

Dies bedeutet, dass, basierend auf dem Vergleich, die Serie divergiert zusammen mit der harmonischen Reihe.

Wenn wir den Nenner leicht modifizieren: , dann wird der erste Teil der Argumentation ähnlich sein: . Um die Divergenz einer Reihe zu beweisen, können wir jedoch nur den limitierenden Vergleichstest anwenden, da die Ungleichung falsch ist.

Bei konvergenten Reihen ist die Situation „gespiegelt“, d. h. man kann beispielsweise für eine Reihe beide Vergleichskriterien verwenden (die Ungleichung ist wahr), für eine Reihe jedoch nur das begrenzende Kriterium (die Ungleichung ist falsch).

Wir setzen unsere wilde Natursafari fort, wo eine Herde anmutiger und üppiger Antilopen am Horizont auftaucht:

Beispiel 7

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Lösung: Das notwendige Konvergenzkriterium ist erfüllt, und wir stellen uns erneut die klassische Frage: Was tun? Vor uns liegt etwas, das an eine konvergente Reihe erinnert, allerdings gibt es hier keine klare Regel – solche Assoziationen sind oft trügerisch.

Oft, aber dieses Mal nicht. Mit Hilfe limitierendes Vergleichskriterium Vergleichen wir unsere Reihe mit einer konvergenten Reihe. Bei der Berechnung des Limits verwenden wir wunderbare Grenze , wohingegen unendlich klein steht:

konvergiert zusammen mit neben .

Anstatt die übliche künstliche Technik der Multiplikation und Division durch „drei“ zu verwenden, konnte zunächst ein Vergleich mit einer konvergenten Reihe durchgeführt werden.
Hier ist jedoch zu beachten, dass der konstante Faktor des allgemeinen Termes keinen Einfluss auf die Konvergenz der Reihe hat. Und die Lösung des folgenden Beispiels ist genau in diesem Stil gestaltet:

Beispiel 8

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Probe am Ende der Lektion.

Beispiel 9

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Lösung: In früheren Beispielen haben wir die Beschränktheit des Sinus verwendet, aber jetzt spielt diese Eigenschaft keine Rolle mehr. Höherer Bruchnenner Wachstumsordnung, als der Zähler also, wenn das Argument des Sinus und des gesamten gemeinsamen Termes unendlich klein. Wie Sie wissen, ist die notwendige Konvergenzbedingung erfüllt, was es uns nicht erlaubt, unserer Arbeit aus dem Weg zu gehen.

Führen wir Aufklärung durch: gemäß bemerkenswerte Gleichwertigkeit , verwerfen Sie im Geiste den Sinus und holen Sie sich die Reihe. Na ja es geht so...

Treffen wir eine Entscheidung:

Vergleichen wir die untersuchte Reihe mit einer divergenten Reihe. Wir verwenden das limitierende Vergleichskriterium:

Ersetzen wir das Infinitesimal durch ein äquivalentes: at .

Man erhält eine von Null verschiedene endliche Zahl, also die untersuchte Reihe divergiert zusammen mit der harmonischen Reihe.

Beispiel 10

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Um in solchen Beispielen weitere Aktionen zu planen, hilft es sehr, Sinus, Arkussinus, Tangens und Arkustangens gedanklich zu verwerfen. Aber denken Sie daran, diese Möglichkeit besteht nur, wenn unendlich klein Argument, vor nicht allzu langer Zeit bin ich auf eine provokante Serie gestoßen:

Beispiel 11

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe
.

Lösung: Es hat hier keinen Sinn, die Arkustangens-Einschränkung zu verwenden, und die Äquivalenz funktioniert auch nicht. Die Lösung ist überraschend einfach:

Serie im Studium divergiert, da das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe nicht erfüllt ist.

Der zweite Grund„Das Problem bei der Aufgabe“ besteht darin, dass das gemeinsame Mitglied recht anspruchsvoll ist, was zu Schwierigkeiten technischer Art führt. Grob gesagt: Wenn die oben besprochenen Serien zur Kategorie „Wer weiß“ gehören, dann fallen diese in die Kategorie „Wer weiß“. Eigentlich nennt man das Komplexität im „üblichen“ Sinne. Nicht jeder kann mehrere Fakultäten, Grade, Wurzeln und andere Bewohner der Savanne richtig auflösen. Die größten Probleme sind natürlich Fakultäten:

Beispiel 12

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Wie kann man eine Fakultät potenzieren? Leicht. Gemäß der Regel der Operationen mit Potenzen ist es notwendig, jeden Faktor des Produkts zu potenzieren:

Und natürlich Aufmerksamkeit und noch einmal Aufmerksamkeit; d’Alemberts Zeichen selbst funktioniert traditionell:

Somit ist die untersuchte Serie konvergiert.

Ich erinnere Sie an eine rationale Technik zur Beseitigung von Unsicherheit: wenn sie klar ist Wachstumsordnung Zähler und Nenner – es besteht kein Grund zu leiden und die Klammern zu öffnen.

Beispiel 13

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Das Biest ist sehr selten, aber es kommt vor, und es wäre unfair, es mit einem Kameraobjektiv zu ignorieren.

Was ist Fakultät mit doppeltem Ausrufezeichen? Die Fakultät „wickelt“ das Produkt positiver gerader Zahlen ab:

In ähnlicher Weise „ergibt“ die Fakultät das Produkt positiver ungerader Zahlen:

Analysieren Sie, was der Unterschied zu und ist

Beispiel 14

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Und versuchen Sie bei dieser Aufgabe, nicht mit Abschlüssen verwechselt zu werden, bemerkenswerte Äquivalenzen Und wunderbare Grenzen.

Beispiellösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Doch nicht nur Tiger ernähren den Schüler – auch listige Leoparden spüren ihre Beute auf:

Beispiel 15

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Lösung: Das notwendige Konvergenzkriterium, das Grenzkriterium und die D’Alembert- und Cauchy-Tests verschwinden fast augenblicklich. Aber das Schlimmste ist, dass das Zeichen der Ungleichheit, das uns immer wieder geholfen hat, machtlos ist. Tatsächlich ist ein Vergleich mit einer divergenten Reihe aufgrund der Ungleichheit unmöglich falsch – der Logarithmusmultiplikator erhöht nur den Nenner und verringert den Bruch selbst im Verhältnis zu einem Bruch. Und noch eine globale Frage: Warum sind wir zunächst zuversichtlich, dass unsere Serie notwendigerweise divergieren und mit einer divergenten Reihe verglichen werden? Was ist, wenn er überhaupt klarkommt?

Integrales Merkmal? Falsches Integral ruft eine traurige Stimmung hervor. Wenn wir nur einen Streit hätten … dann ja. Stoppen! So entstehen Ideen. Wir formulieren eine Lösung in zwei Schritten:

1) Zunächst untersuchen wir die Konvergenz der Reihe . Wir gebrauchen integrales Merkmal:

Integrand kontinuierlich An

So die Serie divergiert zusammen mit dem entsprechenden unechten Integral.

2) Vergleichen wir unsere Reihe mit der divergenten Reihe . Wir verwenden das limitierende Vergleichskriterium:

Man erhält eine von Null verschiedene endliche Zahl, also die untersuchte Reihe divergiert zusammen mit einer Nummer .

Und an einer solchen Entscheidung ist nichts Ungewöhnliches oder Kreatives – so sollte es entschieden werden!

Ich schlage vor, das folgende zweistufige Verfahren selbst zu erstellen:

Beispiel 16

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Ein Schüler mit etwas Erfahrung sieht in den meisten Fällen sofort, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert, aber es kommt vor, dass sich ein Raubtier geschickt im Gebüsch tarnt:

Beispiel 17

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Lösung: Auf den ersten Blick ist überhaupt nicht klar, wie sich diese Serie verhält. Und wenn vor uns Nebel liegt, ist es logisch, mit einer groben Prüfung der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Reihe zu beginnen. Um Unsicherheiten zu beseitigen, verwenden wir ein Unsinkbares Methode zum Multiplizieren und Dividieren durch seinen konjugierten Ausdruck:

Das notwendige Zeichen der Konvergenz funktionierte nicht, aber es brachte unseren Tambow-Kameraden ans Licht. Als Ergebnis der durchgeführten Transformationen wurde eine äquivalente Reihe erhalten , was wiederum stark einer konvergenten Reihe ähnelt.

Wir schreiben die endgültige Lösung auf:

Vergleichen wir diese Reihe mit einer konvergenten Reihe. Wir verwenden das limitierende Vergleichskriterium:

Multiplizieren und dividieren Sie mit dem konjugierten Ausdruck:

Man erhält eine von Null verschiedene endliche Zahl, also die untersuchte Reihe konvergiert zusammen mit neben .

Einige haben sich vielleicht gefragt: Woher kamen die Wölfe auf unserer afrikanischen Safari? Weiß nicht. Sie haben es wahrscheinlich mitgebracht. Der folgende Trophäen-Skin steht Ihnen zur Verfügung:

Beispiel 18

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Musterlösung am Ende der Lektion

Und zum Schluss noch ein Gedanke, der vielen Studenten in Verzweiflung geht: Sollten wir nicht einen selteneren Test für die Reihenkonvergenz verwenden?? Raabe-Test, Abel-Test, Gauß-Test, Dirichlet-Test und andere unbekannte Tiere. Die Idee funktioniert, wird aber in realen Beispielen nur sehr selten umgesetzt. Persönlich habe ich in all den Jahren der Praxis nur darauf zurückgegriffen Raabes Zeichen, als nichts aus dem Standardarsenal wirklich half. Ich werde den Verlauf meiner extremen Suche vollständig reproduzieren:

Beispiel 19

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Lösung: Ohne Zweifel ein Zeichen von d'Alembert. Bei Berechnungen nutze ich aktiv die Eigenschaften von Graden sowie zweite wunderbare Grenze:

So viel zu dir. D'Alemberts Zeichen gab keine Antwort, obwohl nichts einen solchen Ausgang vorhersagte.

Nachdem ich das Nachschlagewerk durchgestöbert hatte, fand ich einen wenig bekannten, theoretisch bewiesenen Grenzwert und wandte den stärkeren Radikal-Cauchy-Test an:

Hier sind zwei für Sie. Und vor allem ist völlig unklar, ob die Serie konvergiert oder divergiert (für mich eine äußerst seltene Situation). Notwendiges Vergleichszeichen? Ohne große Hoffnung – selbst wenn ich die Wachstumsreihenfolge von Zähler und Nenner unvorstellbar erkenne, ist dies noch keine Garantie für eine Belohnung.

Es ist ein völliger Irrtum, aber das Schlimmste ist, dass der Streit aufgeklärt werden muss. Müssen. Schließlich ist dies das erste Mal, dass ich aufgebe. Und dann fiel mir ein, dass es noch andere stärkere Anzeichen zu geben schien. Vor mir war kein Wolf, kein Leopard oder Tiger mehr. Es war ein riesiger Elefant, der mit seinem großen Rüssel wedelte. Ich musste einen Granatwerfer in die Hand nehmen:

Raabes Zeichen

Betrachten Sie eine positive Zahlenreihe.
Wenn es eine Grenze gibt , Das:
a) Wenn Reihe divergiert. Darüber hinaus kann der resultierende Wert Null oder negativ sein
b) Wenn Reihe konvergiert. Insbesondere konvergiert die Reihe bei .
c) Wann Raabes Zeichen gibt keine Antwort.

Wir erstellen einen Grenzwert und vereinfachen den Bruch sorgfältig und sorgfältig:

Ja, das Bild ist, gelinde gesagt, unangenehm, aber ich wundere mich nicht mehr. Solche Grenzen werden mit der Hilfe durchbrochen Die Regeln von L'Hopital, und der erste Gedanke erwies sich, wie sich später herausstellte, als richtig. Zunächst habe ich aber mit „normalen“ Methoden etwa eine Stunde lang am Limit gedreht und gedreht, doch die Unsicherheit wollte nicht beseitigt werden. Und das Laufen im Kreis ist, wie die Erfahrung zeigt, ein typisches Zeichen dafür, dass die falsche Lösung gewählt wurde.

Ich musste auf die russische Volksweisheit zurückgreifen: „Wenn alles andere fehlschlägt, lesen Sie die Anweisungen.“ Und als ich den 2. Band von Fichtenholtz aufschlug, entdeckte ich zu meiner großen Freude eine Studie zu einer identischen Reihe. Und dann folgte die Lösung dem Beispiel.

In Fällen, in denen die Tests von d'Alembert und Cauchy keine Ergebnisse liefern, können manchmal Zeichen, die auf einem Vergleich mit anderen Reihen basieren, die „langsamer“ als die geometrischen Progressionsreihen konvergieren oder divergieren, eine positive Antwort geben.

Wir präsentieren, ohne Beweis, die Formulierungen von vier umständlicheren Tests für die Konvergenz von Reihen. Die Beweise dieser Zeichen basieren auch auf den Vergleichssätzen 1–3 (Sätze 2.2 und 2.3) der untersuchten Reihe mit einigen Reihen, deren Konvergenz oder Divergenz bereits festgestellt wurde. Diese Beweise finden sich beispielsweise im Grundlagenlehrbuch von G. M. Fikhtengolts (, Bd. 2).

Satz 2.6. Raabes Zeichen. Wenn für Mitglieder einer positiven Zahlenreihe ab einer bestimmten Zahl M die Ungleichung gilt

(Rn £ 1), "n ³ M, (2.10)

dann konvergiert (divergiert) die Reihe.

Raabes Zeichen in seiner extremen Form. Wenn die Mitglieder der obigen Reihe die Bedingung erfüllen

Bemerkung 6. Wenn wir die Zeichen von D'Alembert und Raabe vergleichen, können wir zeigen, dass das zweite viel stärker ist als das erste.

Wenn es ein Limit für eine Serie gibt

dann hat die Raabe-Folge einen Grenzwert

Wenn also der d'Alembert-Test eine Antwort auf die Frage nach der Konvergenz oder Divergenz der Reihe gibt, dann gibt sie auch der Raabe-Test, und diese Fälle werden nur durch zwei der möglichen Werte von R abgedeckt: +¥ und – ¥. Alle anderen Fälle von endlichem R ¹ 1, in denen der Raabe-Test die Frage nach der Konvergenz oder Divergenz einer Reihe bejahend beantwortet, entsprechen dem Fall D = 1, d. h. dem Fall, in dem der D'Alembert-Test keine bejahende Antwort liefert Antwort auf die Frage nach der Konvergenz oder Divergenz einer Reihe.

Satz 2.7. Kummers Zeichen. Sei (сn) eine beliebige Folge positiver Zahlen. Wenn für Mitglieder einer positiven Zahlenreihe ab einer bestimmten Zahl M die Ungleichung gilt

(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)

dann konvergiert die Reihe .

Kummers Zeichen in seiner extremen Form. Wenn es für die oben genannte Serie ein Limit gibt

dann konvergiert die Reihe .

Aus dem Kummer-Test lassen sich daher leicht Beweise für die Tests von D'Alembert, Raabe und Bertrand erhalten. Letzteres erhält man, wenn man als Folge (сn) annimmt

сn=nln n, "n О N,

für die die Serie

divergiert (die Divergenz dieser Reihe wird in den Beispielen dieses Abschnitts gezeigt).

Satz 2.8. Bertrands Test in seiner extremen Form. Für Terme einer positiven Zahlenreihe gilt die Bertrand-Folge

(2.12)

(Rn ist die Raabe-Folge) hat einen Grenzwert

dann konvergiert (divergiert) die Reihe.

Im Folgenden formulieren wir den Gaußschen Test – den leistungsstärksten in der Reihe der Reihenkonvergenztests, die in aufsteigender Reihenfolge ihrer Anwendbarkeit angeordnet sind: D'Alembert, Raabe und Bertrand. Der Gauß-Test verallgemeinert die volle Stärke der vorherigen Zeichen und ermöglicht die Untersuchung viel komplexerer Reihen, andererseits erfordert seine Anwendung jedoch subtilere Studien, um eine asymptotische Entwicklung des Verhältnisses benachbarter Terme der Reihe bis zu zu erhalten die zweite Ordnung der Kleinheit in Bezug auf den Wert.

Satz 2.9. Gaußscher Test. Wenn für Mitglieder einer positiven Zahlenreihe ab einer bestimmten Zahl M die Gleichheit gilt

, "n ³ M, (2.13)

Dabei sind l und p Konstanten und tn ein begrenzter Wert.

a) für l > 1 oder l = 1 und p > 1 konvergiert die Reihe;

b) bei l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.

2.5. Integraler Cauchy-Maclaurin-Test,

„teleskopisches“ Cauchy-Zeichen und Ermakov-Zeichen

Die oben betrachteten Konvergenzzeichen von Reihen basieren auf Vergleichssätzen und sind hinreichend, d nicht erfüllt sind, kann über die Konvergenz der Reihe keine Aussage getroffen werden, sie kann entweder konvergieren oder divergieren.

Der Cauchy-Maclaurin-Integraltest unterscheidet sich von den oben untersuchten im Inhalt, da er notwendig und ausreichend ist, sowie in der Form, da er auf dem Vergleich einer unendlichen Summe (Reihe) mit einem unendlichen (uneigentlichen) Integral basiert und die natürliche Beziehung zwischen ihnen demonstriert die Theorie der Reihen und die Theorie der Integrale. Dieser Zusammenhang lässt sich auch am Beispiel von Vergleichstests leicht nachvollziehen, zu denen es Analoga für unechte Integrale gibt und deren Formulierungen fast wörtlich mit den Formulierungen für Reihen übereinstimmen. Eine vollständige Analogie lässt sich auch bei der Formulierung ausreichender Tests für die Konvergenz beliebiger Zahlenreihen, die im nächsten Abschnitt untersucht werden, und Tests für die Konvergenz uneigentlicher Integrale – wie etwa der Tests für die Konvergenz von Abel und Dirichlet – beobachten.

Im Folgenden stellen wir auch den „teleskopischen“ Cauchy-Test und den Originaltest für die Konvergenz von Reihen vor, der vom russischen Mathematiker V.P. Ermakow; Der Ermakov-Test hat ungefähr den gleichen Anwendungsbereich wie der Cauchy-Maclaurin-Integraltest, enthält in seiner Formulierung jedoch nicht die Begriffe und Konzepte der Integralrechnung.

Satz 2.10. Cauchy-Maclaurin-Test. Lassen Sie die Mitglieder einer positiven Zahlenreihe, beginnend mit einer Zahl M, die Gleichheit erfüllen

wobei die Funktion f(x) nicht negativ ist und auf der Halblinie (x ³ M) nicht ansteigt. Eine Zahlenreihe konvergiert genau dann, wenn das unechte Integral konvergiert

Das heißt, die Reihe konvergiert, wenn es einen Grenzwert gibt

, (2.15)

und die Reihe divergiert, wenn der Grenzwert I = +¥ ist.

Nachweisen. Aufgrund der Bemerkung 3 (siehe § 1) ist es offensichtlich, dass wir ohne Verlust der Allgemeinheit M = 1 annehmen können, da (M – 1) Terme der Reihe verworfen und die Ersetzung durch k = (n – M + 1) vorgenommen wird ), kommen wir, um die Reihe zu betrachten, für die

, ,

und dementsprechend das Integral zu betrachten.

Als nächstes stellen wir fest, dass eine nicht negative und nicht steigende Funktion f(x) auf der Halbgeraden (x ³ 1) die Bedingungen der Riemannschen Integrierbarkeit für jedes endliche Intervall erfüllt und daher die Betrachtung des entsprechenden uneigentlichen Integrals sinnvoll ist.

Kommen wir zum Beweis. Auf jedem Segment der Einheitslänge m £ x £ m + 1 gilt aufgrund der Tatsache, dass f(x) nicht wächst, die Ungleichung

Wenn wir es über das Segment integrieren und die entsprechende Eigenschaft des bestimmten Integrals verwenden, erhalten wir die Ungleichung

, . (2.16)

Wenn wir diese Ungleichungen Term für Term von m = 1 bis m = n summieren, erhalten wir:

Da f (x) eine nicht negative Funktion ist, gilt das Integral

ist eine nicht abnehmende stetige Funktion des Arguments A. Dann

, .

Daraus und aus Ungleichung (15) folgt:

1) wenn ich< +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм ist beschränkt, d. h. die Reihe konvergiert;

2) wenn I = +¥ (d. h. das uneigentliche Integral divergiert),

dann ist auch die nicht abnehmende Folge der Teilsummen unbeschränkt, d. h. die Reihe divergiert.

Wenn wir andererseits bezeichnen, erhalten wir aus der Ungleichung (16):

1) wenn S< +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³ 1 существует номер n такой, что n + 1 ³ А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £ S, а следовательно, , d. h. das Integral konvergiert;

2) Wenn S = +¥ (d. h. die Reihe divergiert), dann gibt es für jedes ausreichend große A n £ A mit I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥ ), d. h. das Integral divergiert. Q.E.D.

Wir präsentieren zwei weitere interessante Konvergenzzeichen ohne Beweis.

Satz 2.11. „Teleskopisches“ Cauchy-Zeichen. Eine positive Zahlenreihe, deren Terme monoton fallend sind, konvergiert genau dann, wenn die Reihe konvergiert.

Satz 2.12. Ermakovs Zeichen. Die Terme einer positiven Zahlenreihe seien so, dass ausgehend von einer Zahl M0 die Gleichungen erfüllt sind

an = ¦(n), "n ³ М0,

wobei die Funktion ¦(x) stückweise stetig, positiv ist und monoton mit x ³ M0 abnimmt.

Dann gibt es eine Zahl M ³ M0, so dass für alle x ³ M die Ungleichung gilt

dann konvergiert (divergiert) die Reihe.

2.6. Beispiele für die Verwendung von Konvergenztests

Mit Satz 2 ist es einfach, die folgende Reihe auf Konvergenz zu untersuchen

(a > 0, b ³ 0; "a, b О R).

Wenn a £ 1, dann ist das notwendige Konvergenzkriterium (Eigenschaft 2) verletzt (siehe § 1).

daher divergiert die Reihe.

Ist a > 1, so liegt für cn eine Schätzung vor, aus der aufgrund der Konvergenz der Reihe der geometrischen Folge die Konvergenz der betrachteten Reihe folgt.

konvergiert aufgrund des Vergleichstests 1 (Satz 2.2), da wir die Ungleichung haben

und die Reihe konvergiert als Reihe einer geometrischen Progression.

Zeigen wir die Divergenz mehrerer Reihen, die sich aus Vergleichskriterium 2 ergibt (Korollar 1 von Satz 2.2). Reihe

divergiert, weil

(p>0)

divergiert, weil

konvergiert nach dem d'Alembert-Kriterium (Satz 2.4). Wirklich

konvergiert nach dem d'Alembert-Test. Wirklich

konvergiert nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 2.5). Wirklich

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Anwendung des Raabe-Tests geben. Betrachten Sie die Serie

Wo ist die Bezeichnung (k)!! bedeutet das Produkt aller geraden (ungerade) Zahlen von 2 bis k (1 bis k), wenn k gerade (ungerade) ist. Mit dem d'Alembert-Test erhalten wir

Das D'Alembert-Kriterium erlaubt also keine eindeutige Aussage über die Konvergenz der Reihe. Wenden wir das Raabe-Kriterium an:

daher konvergiert die Reihe.

Lassen Sie uns Beispiele für die Anwendung des Cauchy-Maclaurin-Integraltests geben.

Verallgemeinerte harmonische Reihe

konvergiert oder divergiert gleichzeitig mit dem unechten Integral

Es ist offensichtlich, dass ich< +¥ при p >1 (das Integral konvergiert) und I = +¥ für p £ 1 (divergiert). Somit konvergiert die ursprüngliche Reihe auch für p > 1 und divergiert für p £ 1.

divergiert gleichzeitig mit dem unechten Integral

also divergiert das Integral.

§ 3. Wechselnde Zahlenreihen

3.1. Absolute und bedingte Konvergenz von Reihen

In diesem Abschnitt untersuchen wir die Eigenschaften von Reihen, deren Mitglieder reelle Zahlen mit beliebigem Vorzeichen sind.

Definition 1. Zahlenreihe

heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergiert

Definition 2. Eine Zahlenreihe (3.1) heißt bedingt konvergent oder nicht absolut konvergent, wenn die Reihe (3.1) konvergiert und die Reihe (3.2) divergiert.

Satz 3.1. Wenn eine Reihe absolut konvergiert, dann konvergiert sie.

Nachweisen. Gemäß dem Cauchy-Kriterium (Satz 1.1) ist die absolute Konvergenz der Reihen (3.1) gleichbedeutend mit der Erfüllung der Beziehungen

" e > 0, $ M > 0 mit " n > M, " p ³ 1 Þ

(3.3)

Da bekannt ist, dass der Modul der Summe mehrerer Zahlen die Summe ihrer Module nicht überschreitet („Dreiecksungleichung“), folgt aus (3.3) die Ungleichung (gültig für die gleichen Zahlen wie in (3.3), e, M, n, p)

Die Erfüllung der letzten Ungleichung bedeutet die Erfüllung der Bedingungen des Cauchy-Kriteriums für die Reihe (3.1), daher konvergiert diese Reihe.

Korollar 1. Die Reihe (3.1) konvergiere absolut. Aus den positiven Termen der Reihe (3.1) nummerieren wir sie der Reihe nach (wie sie bei der Indexerhöhung auftreten) und stellen eine positive Zahlenreihe zusammen

, (uk = ). (3.4)

In ähnlicher Weise bilden wir aus den Modulen der negativen Terme der Reihe (3.1) durch Nummerierung der Reihe nach die folgende positive Zahlenreihe:

, (vm = ). (3.5)

Dann konvergieren die Reihen (3.3) und (3.4).

Wenn wir die Summen der Reihen (3.1), (3.3), (3.4) mit den Buchstaben A, U bzw. V bezeichnen, dann ist die Formel gültig

A = U – V. (3.6)

Nachweisen. Bezeichnen wir die Summe der Reihe (3.2) mit A*. Nach Satz 2.1 haben wir, dass alle Teilsummen der Reihe (3.2) durch die Zahl A* begrenzt sind, und da die Teilsummen der Reihe (3.4) und (3.5) durch Summieren einiger Terme der Teilsummen erhalten werden der Reihe (3.2) ist es offensichtlich, dass sie stärker durch die Anzahl von A* begrenzt sind. Dann erhalten wir durch Einführung der entsprechenden Notation die Ungleichungen

;

woraus aufgrund von Satz 2.1 die Konvergenz der Reihen (3.4) und (3.5) folgt.

(3.7)

Da die Zahlen k und m von n abhängen, ist es offensichtlich, dass für n ® ¥ sowohl k ® ¥ als auch m ® ¥ gilt. Wenn wir dann die Gleichung (3.7) auf den Grenzwert anwenden (alle Grenzwerte existieren aufgrund von Satz 3.1 und dem, was oben bewiesen wurde), erhalten wir:

d.h. Gleichheit (3.6) ist bewiesen.

Korollar 2. Die Reihe (3.1) konvergiere bedingt. Dann divergieren die Reihen (3.4) und (3.5) und die Formel (3.6) für bedingt konvergente Reihen ist nicht wahr.

Nachweisen. Wenn wir die n-te Teilsumme der Reihe (3.1) betrachten, kann sie wie im vorherigen Beweis geschrieben werden

(3.8)

Andererseits können wir für die n-te Teilsumme der Reihe (3.2) den Ausdruck ähnlich schreiben

(3.9)

Nehmen wir das Gegenteil an, das heißt, dass mindestens eine der Reihen (3.3) oder (3.4) konvergiert. Aus Formel (3.8) folgt dann im Hinblick auf die Konvergenz der Reihen (3.1), dass die Sekunde der Reihe (bzw. (3.5) bzw. (3.4)) als Differenz zweier konvergenter Reihen konvergiert. Und dann folgt aus Formel (3.9), dass die Reihe (3.2) konvergiert, d. h. die Reihe (3.1) absolut konvergiert, was den Bedingungen des Satzes über seine bedingte Konvergenz widerspricht.

Aus (3.8) und (3.9) folgt also das da

Q.E.D.

Bemerkung 1. Kombinationseigenschaft für Reihen. Die Summe einer unendlichen Reihe unterscheidet sich erheblich von der Summe einer endlichen Anzahl von Elementen dadurch, dass sie einen Übergang zum Grenzwert beinhaltet. Daher werden die üblichen Eigenschaften endlicher Summen bei Reihen häufig verletzt oder sie bleiben nur dann erhalten, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind.

Für endliche Summen gilt also ein kombinatorisches (assoziatives) Gesetz, nämlich: Die Summe ändert sich nicht, wenn die Elemente der Summe in beliebiger Reihenfolge gruppiert werden

Betrachten wir eine beliebige Gruppierung (ohne Umordnung) von Mitgliedern der Zahlenreihe (3.1). Bezeichnen wir die aufsteigende Zahlenfolge

und führen Sie die Notation ein

Dann kann die mit der obigen Methode erhaltene Reihe in das Formular geschrieben werden

Der unten angegebene Satz enthält ohne Beweis mehrere wichtige Aussagen zur kombinatorischen Eigenschaft von Reihen.

Satz 3.2.

1. Wenn die Reihe (3.1) konvergiert und die Summe A hat (bedingte Konvergenz ist ausreichend), dann konvergiert eine beliebige Reihe der Form (3.10) und hat die gleiche Summe A. Das heißt, eine konvergente Reihe hat die kombinatorische Eigenschaft.

2. Die Konvergenz einer Reihe der Form (3.10) impliziert nicht die Konvergenz der Reihen (3.1).

3. Wenn die Reihe (3.10) durch eine spezielle Gruppierung erhalten wird, sodass innerhalb jeder der Klammern Terme mit nur einem Vorzeichen stehen, dann impliziert die Konvergenz dieser Reihe (3.10) die Konvergenz der Reihe (3.1).

4. Wenn die Reihe (3.1) positiv ist und jede Reihe der Form (3.10) dafür konvergiert, dann konvergiert die Reihe (3.1).

5. Wenn die Folge der Terme der Reihe (3.1) unendlich klein (d. h. an) ist und die Anzahl der Terme in jeder Gruppe – einem Mitglied der Reihe (3.10) – auf eine Konstante M (d. h. nk –nk–1) begrenzt ist £ М, "k = 1, 2,…), dann folgt aus der Konvergenz der Reihen (3.10) die Konvergenz der Reihen (3.1).

6. Wenn die Reihe (3.1) bedingt konvergiert, ist es ohne Umordnung immer möglich, die Terme der Reihe so zu gruppieren, dass die resultierende Reihe (3.10) absolut konvergent ist.

Bemerkung 2. Kommutative Eigenschaft für Reihen. Für endliche numerische Summen gilt ein Kommutativgesetz, nämlich: Die Summe ändert sich bei jeder Umordnung der Terme nicht

wobei (k1, k2, …, kn) eine beliebige Permutation aus der Menge der natürlichen Zahlen (1, 2, …, n) ist.

Es stellt sich heraus, dass eine ähnliche Eigenschaft für absolut konvergente Reihen gilt, nicht aber für bedingt konvergente Reihen.

Es handele sich um eine Eins-zu-eins-Abbildung der Menge der natürlichen Zahlen auf sich selbst: N ® N, d. h. jede natürliche Zahl k entspricht einer eindeutigen natürlichen Zahl nk, und die Menge gibt die gesamte natürliche Zahlenreihe lückenlos wieder. Bezeichnen wir die aus der Reihe (3.1) erhaltene Reihe unter Verwendung einer willkürlichen Permutation, die der obigen Abbildung entspricht, wie folgt:

Die Regeln für die Anwendung der kommutativen Eigenschaften von Reihen sind in den unten aufgeführten Sätzen 3.3 und 3.4 ohne Beweis wiedergegeben.

Satz 3.3. Wenn die Reihe (3.1) absolut konvergiert, dann konvergiert die Reihe (3.11), die durch willkürliche Neuanordnung der Reihenglieder (3.1) erhalten wird, ebenfalls absolut und hat die gleiche Summe wie die ursprüngliche Reihe.

Satz 3.4. Satz von Riemann. Wenn die Reihe (3.1) bedingt konvergiert, können die Terme dieser Reihe so umgeordnet werden, dass ihre Summe einer beliebigen vorgegebenen Zahl D (endlich oder unendlich: ±¥) entspricht oder undefiniert ist.

Basierend auf den Sätzen 3.3 und 3.4 lässt sich leicht feststellen, dass die bedingte Konvergenz der Reihe als Ergebnis der gegenseitigen Aufhebung des Wachstums der n-ten Teilsumme als n ® ¥ durch Hinzufügen entweder positiver oder negativer Terme zur Summe erhalten wird , und daher hängt die bedingte Konvergenz der Reihe wesentlich von der Reihenfolge des Auftretens der Mitglieder der Reihe ab. Die absolute Konvergenz der Reihe ist das Ergebnis einer schnellen Abnahme der Absolutwerte der Reihenglieder

und hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der sie erscheinen.

3.2. Abwechselnde Reihe. Leibniz-Test

Unter den Wechselserien sticht eine wichtige Sonderklasse von Serien hervor – die Wechselserien.

Definition 3. Sei eine Folge positiver Zahlen bп > 0, "n О N. Dann eine Reihe der Form

heißt alternierende Reihe. Für Reihen der Form (3.12) gilt die folgende Aussage.

Satz 5. Leibniz-Test. Wenn eine Folge, die sich aus den Absolutwerten der Terme der alternierenden Reihe (3.8) zusammensetzt, monoton auf Null abnimmt

bn > bn+1, "n О N; (3.13)

dann heißt eine solche alternierende Reihe (3.12) Leibniz-Reihe. Die Leibniz-Reihe konvergiert immer. Für den Rest der Leibniz-Reihe

es gibt eine Wertung

rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nОN. (3.14)

Nachweisen. Schreiben wir eine beliebige Teilsumme der Reihe (3.12) mit einer geraden Anzahl von Termen in die Form

Gemäß Bedingung (3.13) ist jede der Klammern auf der rechten Seite dieses Ausdrucks eine positive Zahl, daher nimmt die Folge mit zunehmendem k monoton zu. Andererseits kann jedes Mitglied der B2k-Sequenz in der Form geschrieben werden

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,

und da nach Bedingung (3.13) in jeder Klammer der letzten Gleichheit eine positive Zahl steht, dann gilt offensichtlich die Ungleichung

B2k< b1, "k ³ 1.

Wir haben also eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge, und eine solche Folge hat nach dem bekannten Satz aus der Grenzwerttheorie einen endlichen Grenzwert

B2k–1 = B2k + b2k,

und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der allgemeine Term der Reihe (gemäß den Bedingungen des Satzes) als n ® ¥ gegen Null tendiert, erhalten wir

Damit ist bewiesen, dass die Reihe (3.12) unter der Bedingung (3.13) konvergiert und ihre Summe gleich B ist.

Beweisen wir die Schätzung (3.14). Oben wurde gezeigt, dass Teilsummen gerader Ordnung B2k, die monoton wachsen, zum Grenzwert B tendieren – der Summe der Reihe.

Betrachten Sie Teilsummen ungerader Ordnung

B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).

Aus diesem Ausdruck ist ersichtlich (da Bedingung (3.13) erfüllt ist), dass die Folge abnimmt und daher, wie oben bewiesen wurde, von oben zu ihrem Grenzwert B tendiert. Damit ist die Ungleichung bewiesen

0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)

Betrachten wir nun den Rest der Reihe (3.12)

als neue alternierende Reihe mit dem ersten Term bp+1, dann kann diese Reihe, basierend auf der Ungleichung (3.15), für gerade bzw. ungerade Indizes geschrieben werden

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,

r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.

Somit ist bewiesen, dass der Rest der Leibniz-Reihe immer das Vorzeichen seines ersten Gliedes hat und im absoluten Wert kleiner als dieses ist, d. h. die Schätzung (3.14) ist für ihn erfüllt. Der Satz ist bewiesen.

3.3. Konvergenzzeichen beliebiger Zahlenreihen

In diesem Unterabschnitt stellen wir ohne Beweis ausreichende Konvergenztests für Zahlenreihen mit Termen vor, die beliebige reelle Zahlen (beliebigen Vorzeichens) sind; darüber hinaus sind diese Tests auch für Reihen mit komplexen Termen geeignet.

2) Die Folge ist eine gegen Null konvergierende Folge (bп ® 0 für n ® ¥) mit begrenzter Änderung.

Dann konvergiert die Reihe (3.16).

Satz 3.9. Dirichlet-Test. Die Mitglieder der Zahlenreihe (3.16) sollen die Bedingungen erfüllen:

die Folge der Teilsummen der Reihe ist beschränkt (Ungleichungen (3.17));

2) Die Folge ist eine monotone Folge, die gegen Null konvergiert (bп ® 0 als n ®¥).

Dann konvergiert die Reihe (3.16).

Satz 3.10. Abels zweites verallgemeinertes Zeichen. Die Mitglieder der Zahlenreihe (3.16) sollen die Bedingungen erfüllen:

1) die Reihe konvergiert;

2) Die Folge ist eine beliebige Folge mit begrenzter Änderung.

Dann konvergiert die Reihe (3.16).

Satz 3.11. Abels Zeichen. Die Mitglieder der Zahlenreihe (3.16) sollen die Bedingungen erfüllen:

1) die Reihe konvergiert;

2) Die Folge ist eine monoton begrenzte Folge.

Dann konvergiert die Reihe (3.16).

Satz 3.12. Satz von Cauchy. Wenn die Reihen und absolut konvergieren und ihre Summen gleich A bzw. B sind, dann ist eine Reihe bestehend aus allen Produkten der Form aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) , in beliebiger Reihenfolge nummeriert, konvergiert ebenfalls absolut und seine Summe ist gleich AB.

3.4. Beispiele

Betrachten wir zunächst einige Beispiele für die absolute Konvergenz von Reihen. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die Variable x eine beliebige reelle Zahl sein kann.

2) divergiert bei |x| > e nach dem gleichen D'Alembert-Kriterium;

3) divergiert bei |x| = e nach d’Alemberts Kriterium in unbegrenzter Form, da

aufgrund der Tatsache, dass die Exponentialfolge im Nenner an ihre Grenze tendiert und monoton ansteigt,

(a ¹ 0 ist eine reelle Zahl)

1) konvergiert absolut für |x/a|< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5);

2) divergiert bei |x/a| ³ 1, also für |x| ³ |a|, da in diesem Fall das notwendige Konvergenzkriterium verletzt wird (Eigenschaft 2 (siehe § 1))

Betrachten Sie eine positive Zahlenreihe.
Wenn es eine Grenze gibt, dann:
a) Wenn Reihe divergiert. Darüber hinaus kann der resultierende Wert Null oder negativ sein
b) Wenn Reihe konvergiert. Insbesondere konvergiert die Reihe bei .
c) Wann Raabes Zeichen gibt keine Antwort.

Wir erstellen einen Grenzwert und vereinfachen den Bruch sorgfältig und sorgfältig:

Ja, das Bild ist, gelinde gesagt, unangenehm, aber ich wundere mich nicht mehr. Solche Grenzen werden mit der Hilfe durchbrochen Die Regeln von L'Hopital, und der erste Gedanke erwies sich, wie sich später herausstellte, als richtig. Zunächst habe ich aber etwa eine Stunde damit verbracht, die Grenze mit „üblichen“ Methoden zu drehen und zu drehen, aber die Unsicherheit wollte nicht beseitigt werden. Und das Laufen im Kreis ist, wie die Erfahrung zeigt, ein typisches Zeichen dafür, dass die falsche Lösung gewählt wurde.

Weil das Zahlenfolge als Sonderfall einer Funktion betrachtet wird, dann nehmen wir im Limit die Ersetzung vor: . Wenn, dann.

Ergebend:

Jetzt habe ich Grenze einer Funktion und anwendbar Die Herrschaft von L'Hopital. Im Prozess der Differenzierung müssen wir vorgehen Ableitung einer Potenzexponentialfunktion, was technisch bequem getrennt von der Hauptlösung zu finden ist:

Seien Sie geduldig, da Sie bereits hierher geklettert sind – Barmaley warnte am Anfang des Artikels =) =)

Ich verwende die Regel von L'Hopital zweimal:

divergiert.

Es hat lange gedauert, aber mein Tor hat gehalten!

Nur zum Spaß habe ich 142 Terme der Reihe in Excel berechnet (für mehr hatte ich nicht genug Rechenleistung) und es scheint (aber nicht streng theoretisch garantiert!), dass nicht einmal der notwendige Konvergenztest für diese Reihe erfüllt ist. Sie können das epische Ergebnis sehen hier >>> Nach solchen Missgeschicken konnte ich der Versuchung nicht widerstehen, das Limit auf die gleiche Amateurart auszutesten.

Nutzen Sie es für Ihre Gesundheit, die Lösung ist legal!

Und das ist Ihr Elefantenbaby:

Beispiel 20

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe

Wenn Sie von den Ideen dieser Lektion gut inspiriert sind, können Sie mit diesem Beispiel umgehen! Es ist viel einfacher als das vorherige ;-)

Unsere Reise endete mit einer positiven Note und hinterließ hoffentlich für alle ein unvergessliches Erlebnis. Wer das Bankett fortsetzen möchte, kann auf die Seite gehen Vorgefertigte Probleme in der höheren Mathematik und laden Sie ein Archiv mit zusätzlichen Aufgaben zum Thema herunter.

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung: Vergleichen Sie diese Reihe mit einer konvergenten Reihe. Für alle natürlichen Zahlen gilt die Ungleichung, was bedeutet, dass im Vergleich die untersuchte Reihe konvergiert zusammen mit neben .

Beispiel 4: Lösung: Vergleichen Sie diese Reihe mit einer divergenten harmonischen Reihe. Wir verwenden das limitierende Vergleichskriterium:

(Das Produkt eines Infinitesimalen und eines Begrenzten ist eine Infinitesimalfolge)
divergiert zusammen mit der harmonischen Reihe.

Beispiel 5: Lösung: Nehmen wir den konstanten Faktor des allgemeinen Termes außerhalb der Summe; die Konvergenz oder Divergenz der Reihe hängt nicht davon ab:

Vergleichen wir diese Reihe mit einer konvergenten, unendlich abnehmenden geometrischen Folge. Die Folge ist begrenzt: , daher gilt für alle natürlichen Zahlen die Ungleichung . Und daher, basierend auf dem Vergleich, die untersuchte Serie konvergiert zusammen mit neben .

Beispiel 8: Lösung: Vergleichen Sie diese Reihe mit einer divergenten Reihe (der konstante Faktor des gemeinsamen Termes hat keinen Einfluss auf die Konvergenz oder Divergenz der Reihe). Zum Vergleich nutzen wir das Grenzkriterium und die bemerkenswerte Grenze:

Man erhält eine von Null verschiedene endliche Zahl, also die untersuchte Reihe divergiert zusammen mit neben .

Beispiel 13: Lösung

Somit ist die untersuchte Serie konvergiert.

Beispiel 14: Lösung: Wir verwenden das d’Alembert-Zeichen:

Ersetzen wir Infinitesimalzahlen durch äquivalente: für .
Nutzen wir die zweite wunderbare Grenze: .

Daher die untersuchte Serie divergiert.
Multiplizieren und dividieren Sie mit dem konjugierten Ausdruck:

Man erhält eine von Null verschiedene endliche Zahl, also die untersuchte Reihe divergiert zusammen mit neben .

Beispiel 20: Lösung: Überprüfen wir die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe. Im Zuge der Berechnungen ermitteln wir mit einer Standardtechnik den zweiten bemerkenswerten Grenzwert:

Somit ist die untersuchte Serie divergiert.

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